Introdução à Estatística Prof. Marco Fisbhen

População e Amostra População (ou universo): conjunto de elementos com pelo menos uma característica comum. Ex: estudantes univesitários, moradores de uma mesma rua, pais de filhos únicos Amostra: subconjunto finito de uma população Ex: 10% dos estudantes de uma turma, 20% dos moradores de uma rua

Estatística Descritiva x Indutiva Estatística descritiva: métodos que buscam somente descrever e analisar certo grupo de dados, independentemente de serem extraídos de uma amostra ou de toda a população Estatística indutiva: parte da estatística que tira conclusões sobre a população partindo do conhecimento da amostra. Se uma amostra é representativa de uma população, e tiramos conclusões a respeito desta população com os dados extraídos da amostra, temos uma aplicação da estatística indutiva.

Amostragem Técnicas de seleção da amostra A amostragem pode ser probabilística ou não-probabilística Probabilística: Aleatória simples, Sistemática, Estratificada

Amostragem não-probabilística Inacessibilidade de toda a população Amostragem a esmo Amostragem intencional Amostragem por voluntários

Variáveis Qualitativas – quando expressas por tipos ou atributos: sexo (masculino ou feminino), cor dos olhos (azuis, castanhos, etc.). Quantitativas – quando expressas por números. Discretas: Enumeráveis. Obtidas por contagens Contínuas: Não Enumeráveis. Obtidas por medições

Técnicas de descrição Gráfica Tabelas: quadro resumindo o nosso conjunto de observações. Toda tabela deve conter: Título, Cabeçalho, Células e Fonte Altura média dos estudantes do Ensino Médio de Japaraíbe Título Escola Altura (m) A 1,65 B 1,71 C 1,63 D 1,67 E 1,70 F 1,69 Média Geral 1,675 Cabeçalho Células Fonte Fonte: Censo Escolar do Município de Japaraíbe, 2006

Técnicas de descrição Gráfica Gráficos

Técnicas de descrição Gráfica Cartogramas

Técnicas de descrição Gráfica Pictogramas

Distribuição de Frequência Tabela - Número de irmãos de alunos do curso de Estatística Número de irmãos Frequência Frequência Relativa Frequência Acumulada 1 0.067 4 0.267 5 2 6 0.4 11 3 0.2 14 15 Total Frequência simples: número de vezes que um valor foi observado. Frequência relativa: razão entre frequência simples e frequência total Frequência acumulada: total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior de uma dada classe

Representações Gráficas Histogramas e Polígonos de frequência

Medidas de Tendência Central Média Aritmética: soma de todos os valores observados da variável dividida pelo número total de observações. A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada para representar a massa de dados.

Propriedades e observações sobre a média aritmética Depende de todos os dados coletados, sendo portanto afetada por valores extremos É única em um conjunto de dados e nem sempre tem existência real. A média não necessariamente é um dado da série de valores observados. Por depender de todos os valores observados, qualquer modificação nos dados fará com que a média fique alterada. Somando-se, subtraindo-se, multiplicando-se ou dividindo-se uma constante a cada valor observado, a média ficará acrescida, diminuída, multiplicada ou dividida deste mesmo valor.

Medidas de Tendência Central Moda: o valor que mais se repete em uma sequência de dados. Considere a série: 1, 3, 4, 4, 4, 6, 8, 32 Como o valor que aparece com maior frequência é o “4”, ele é o valor modal, ou simplesmente a moda. Uma série numérica pode ser: Amodal: quando nenhum valor se repete; Modal: quando um valor se repete; Bimodal: quando dois valores se repetem; Trimodal: quando três valores se repetem; Polimodal: quando mais do que três valores se repetem.

Medidas de Tendência Central Mediana: valor que ocupa a posição central da série de observações de uma variável, dividindo o conjunto em duas partes iguais. 50% dos valores são maiores ou iguais ao valor da mediana e 50% dos valores são menores ou iguais ao valor da mediana. Se a quantidade de dados for ímpar, a mediana é simplesmente o valor central, e se a quantidade de dados for par a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais. Empregamos a mediana sempre que há valores extremos que afetam muito a média.

Medidas Separatrizes - Quartis Os quartis dividem o conjunto de valores em quatro subconjuntos de mesmo número de elementos Estatística Notação Interpretação Posição 1o Quartil Q1 25% dos dados são menores ou iguais ao do 1o Quartil p = 0,25 (n + 1) 2o Quartil Q2 = Md 50% dos dados são menores ou iguais ao do 2o Quartil p = 0,50 (n + 1) 3o Quartil Q3 75% dos dados são menores ou iguais ao do 3o Quartil p = 0,75 (n + 1)

Medidas Separatrizes - Percentis São os noventa e nove valores que dividem uma série de dados em 100 partes com o mesmo número de elementos. Indicamos o 1º percentil como P1, o 2º como P2 e assim por diante. É importante notar que P25 = Q1, P50 = Md e P75 = Q3 Estatística Notação Interpretação Posição 5o Percentil P5 5% dos dados são menores ou iguais ao do 5o Percentil p = 0,05 (n + 1) 50o Percentil P50 = Q2 = Md 50% dos dados são menores ou iguais ao do 50o Percentil p = 0,50 (n + 1) 95o Percentil P95 95% dos dados são menores ou iguais ao do 95o Percentil p = 0,95 (n + 1)

Medidas de Dispersão Amplitude Total (AT): diferença entre o maior e o menor valor coletado AT = xmax − xmin

Medidas de Dispersão Variância média aritmética dos quadrados dos desvios

Medidas de Dispersão Desvio Padrão Raiz quadrada da variância Propriedades: Se somarmos ou subtrairmos uma constante de todos os valores da série, o desvio padrão não se altera. Se multiplicarmos ou dividirmos uma constante por todos os valores da série, o desvio padrão será multiplicado ou divido por esta mesma constante.

Medidas de Dispersão Coeficiente de Variação Grandeza admensional (sem unidades) e ponderada pelo seu valor médio

Noções de Assimetria Se x = Md = Mo, a curva é simétrica Se Mo < Md < x, a curva é assimétrica positiva. Se x < Md < Mo, a curva é assimétrica negativa.

Distribuição Normal A variável X pode assumir qualquer valor real Graficamente, a distribuição tem a forma de um sino, simétrico em torno da média. A curva recebe o nome de Curva de Gauss o Curva Normal A área total sob a curva tem valor 1 e é a probabilidade da variável X assumir qualquer valor real. Dada a simetria da vurva, a probabilidade vale 0,5 para cada lado da média

Noções de probabilidade probabilidade de um evento A é o número real P(A), de modo que: Eventos complementares p + q = 1 Eventos independentes probabilidade de que eles se realizem simultâneamente é: p = p1 . p2 Eventos mutuamente exclusivos probabilidade de que um OU outro evento se realize é: p = p1 + p2

Correlação Mede a força, ou grau de relacionamento entre duas variáveis. Quanto maior a correlação, maior a intensidade de relacionamento

Correlação Aluno Nota em Matemática Nota em Estatística 1 5 6 4 7.5 8 7 6.5 13 9 15 9.5 10 22 3 26 5.5 31 33 40 2 2.5 Exemplo:

Coeficiente de Correlação O valor de r varia de –1,00 a +1,00; Um relacionamento positivo (r é +) indica uma correlação positiva entre duas variáveis. Os valores altos (baixos) de uma das variáveis, correspondem valores altos (baixos) da outra; Um relacionamento negativo (r é -) indica uma correlação negativa entre duas variáveis. Os valores altos (baixos) de uma das variáveis, correspondem valores baixos (altos) da outra.

Regressão Problema - descrever a relação entre duas variáveis de acordo com o modelo matemático: Y = aX + b b = y – ax

Números Índices Usados para indicar variações relativas em quantidades, preços, ou valores de um artigo, durante um período de tempo ou em diferentes espaços Relativo de preço: Relativo de quantidade: Relativo de valor:

Índice Agregativo - Laspeyres caracteriza a variação de preços de um conjunto de bens (agregado)

Testes de Hipótese Hipótese nula x hipótese alternativa Erros tipo I e tipo II Nível de significância (α) Tipos de testes Média Proporção Diferença entre médias Diferença entre proporções