Estudo dos Poliedros

Enchendo a piscina A piscina de um clube de minha cidade, vista de cima, tem formato retangular. O comprimento dela é de 18 m. o fundo é uma rampa reta. Vista lateralmente, ela tem o formato apresentado na figura. 18 m x Outro dia, a piscina estava vazia. O funcionário do clube abriu o registro e começou a enchê-la. A água jorrava a uma vazão de 4 litros por segundo.

Enchendo a piscina O gráfico a seguir mostra o nível x da água, em metros, na parte mais funda, em função do volume V de água despejada, em litros. Qual é a profundidade da piscina na parte mais rasa? x (m) 1,8 E na parte mais funda? Qual é a capacidade da piscina, em litros? 0,8 Em quanto tempo a piscina ficará cheia? 43.200 C V ( L)

Poliedro: uma forma muito especial Determinados sólidos tem uma forma muito particular. Observe os sólidos representados a seguir. B C D A E F M N Q P

Definição Os sólidos apresentados têm algumas característica comuns: São limitados por polígonos; Cada lado desses polígonos pertence a exatamente a dois dos polígonos; Dois desses polígonos nunca são coplanares. Todo sólido que obedece a essas condições é chamado de poliedro.

Elementos de um poliedro Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.

Elementos de um poliedro Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do poliedro.

Elementos de um poliedro Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. B C D A F G E H Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do poliedro.

Elementos de um poliedro Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais. O conjunto de todas as faces de um poliedro é chamado Superfície poliédrica. É a parte externa, visível. É a “casca” do poliedro.

Poliedro convexo e poliedro côncavo Observe os sólidos representados abaixo. B C D A E F Todo plano que contém qualquer de suas faces deixa todas as outras num mesmo semi-espaço. Dizemos, por isso, que eles são poliedros convexos.

Poliedro convexo e poliedro côncavo Observe agora o sólido representado abaixo. M N Q P O plano que contém a face MNPQ, por exemplo, deixa as faces do poliedro em semi-espaços diferentes. Dizemos, por isso, que ele é um poliedro côncavo.

Nomenclatura dos poliedros Os poliedros recebem nomes especiais, de acordo com o numero n de suas faces (F). F Poliedro F Poliedro 4 tetraedro 9 eneaedro 5 pentaedro 10 decaedro 6 hexaedro 12 dodecaedro 7 heptaedro 20 icosaedro 8 octaedro

Veja alguns desses poliedros Hexaedro (P1) Octaedro (P2) Eneaedro (P3) Heptaedro (P4)

Relação de Euler Existe uma relação muito importante entre o número de faces (F), vértices (V) e arestas (A) de um poliedro convexo. Poliedro V F A P1 8 6 12 P2 6 8 12 P3 9 9 16 P4 10 7 15 V + F – A = 2

Exemplos Um poliedro convexo tem 6 vértices e 12 arestas. Quantas faces tem? V + F – A = 2 ⇒ 6 + F – 12 = 2 ⇒ F – 6 = 2 ⇒ F = 8

Exemplos Um poliedro convexo tem 9 faces, sendo 7 quadran-gulares e 2 triangulares. Quantos são seus vértices? Primeiro vamos achar o número de arestas. 7 quadrang. ⇒ A = 7.4 = 28 9 Faces ⇒ 2 triang. ⇒ A = 2.3 = 6 ⇒ 2A = 34 ⇒ A = 17 V + F – A = 2 ⇒ V + 9 – 17 = 2 ⇒ V – 8 = 2 ⇒ V = 10

Poliedros regulares Poliedro regular é todo poliedro em que: Todas as faces são polígonos regulares, congruentes entre si; De cada vértice, parte o mesmo número de arestas. Existem apenas cinco classes de poliedros regulares.

Existem somente cinco poliedros regulares. TETRAEDRO 4 faces triangulares equiláteras 4 vértices 6 arestas

Poliedros regulares... HEXAEDRO(cubo) 6 faces quadradas 8 vértices 12 arestas

Poliedros regulares... OCTAEDRO 8 faces triangulares equiláteras 6 vértices 12 arestas

Poliedros regulares... ICOSAEDRO 20 faces triangulares equiláteras 12 vértices 30 arestas

Poliedros regulares... DODECAEDRO 12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas

Propriedades... Consideremos um poliedro convexo em que n é o número de lados de cada face e p é o número de arestas que concorrem em cada vértice. Assim, temos: 2A = nF = pV 2A = nF 2A = pV nF = pV Ex: CUBO A= 12, V= 8, F= 6 2 . 12 = 4 . 6 = 3 . 8

Propriedades... SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO A soma S dos ângulos das faces de um poliedro convexo que possui V vértices é: S = (V – 2) . 360º Ex: Uma pirâmide de base quadrada. V = 5, S = (5 – 2) . 360º , S = 3 . 360º , S = 1080º

Exercícios... Resolução: 1) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais. Obtenha: a) O número total de vértices, faces e arestas do poliedro. b) A soma dos ângulos internos de todas as faces. Resolução: a) F = 3 + 1 + 1 + 2 F = 7 V + F = A + 2 V + 7 = 15 + 2 V = 17 – 7 V = 10 2.A=n.F 2.A = 3.3 + 1.4 + 1.5 + 2.6 2.A = 9 + 4 + 5 + 12 2.A = 30 A = 15 b) S = (10 – 2).360º S = 8.360º S = 2880º

Exercícios... Resolução: 2) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares, duas faces quadrangulares, uma face pentagonal e duas faces hexagonais. Resolução: F = 3 + 2 + 1 + 2 F = 8 2.A = n.F 2.A = 3.3 + 2.4 + 1.5 + 2.6 2.A = 9 + 8 +5 +12 2.A = 34 A = 17 V + F = A + 2 V + 8 = 17 + 2 V = 19 – 8 V = 11

Exercícios... 3) Em um poliedro convexo o número de vértices corresponde a do número de arestas e o número de faces é 3 unidades a menos do que o de vértices. Descubra quantas são as faces, os vértices e as arestas desse poliedro. Resolução: V + F = A + 2 V = . 15 V = . A .A + .A – 3 = A + 2 V = 10 F = V – 3 V = F + 3 . A = F + 3 2A + 2A -9 = 3A + 6 A = 15 F = . 15 – 3 F = 10 – 3 F = 7 F = . A – 3

O prisma e suas formas

O prisma e suas formas Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.

Definição Observe a animação.   O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.

Elementos principais do prisma B C D E F A’ B’ C’ D’ E’ F’ O prisma tem dois tipos de faces bases (polígonos congruentes). faces laterais (paralelogramos). Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.

Elementos principais do prisma B C D E F A’ B’ C’ D’ E’ F’ O prisma tem dois tipos de arestas arestas das bases (AB, A’B’, ..., FA, F’A’). arestas laterais (AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).

Elementos principais do prisma B C D E F A’ B’ C’ D’ E’ F’ h A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.

Nomenclatura dos prismas Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases. Polígonos das bases Prisma triângulo P. triangular quadrilátero P. quadrangular pentágono P. pentagonal hexágono P. hexagonal

Veja alguns desses prismas Prisma triangular Prisma Pentagonal

Classificação dos prismas Um prisma pode ser classificado, também, pela posição das arestas laterais em relação ao plano da base. Dizemos que ele é: prisma reto, se as arestas laterais são perpendicu-lares aos planos das bases; prisma oblíquo, se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Nos prismas retos, as arestas laterais são alturas e as faces laterais são retângulos.

Classificação dos prismas h h Prisma triangular reto Prisma Pentagonal oblíquo

Prisma regular Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular. A B C O prisma é reto e ABC é triângulo eqüilátero O prisma é reto e a Base é hexágono regular ⇒ ⇒ Prisma triangular regular Prisma hexagonal regular

Prisma quadrangulares

Prismas quadrangulares Todo prisma cujas bases são paralelogramos é chamado paralelepípedo. Paralelepípedo

Prismas quadrangulares Se as bases de um paralelepípedo reto são retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo. Paralelepípedo retângulo ou ortoedro

Prismas quadrangulares Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular. Cubo ou hexaedro regular

Estudo do cubo

a → medida de cada uma das arestas Estudo do cubo O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base. a → medida de cada uma das arestas a a a

Diagonais no cubo Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais. a → medida de cada uma das arestas D d → diagonal da face d D → diagonal do cubo

Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. a d D d2 = a2 + a2 ⇒ d = 2a2 ⇒ d = a√2 a

Diagonais no cubo Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta. D2 = a2 + d2 D a ⇒ D = a2 + 2a2 a ⇒ D = 3a2 d a ⇒ D = a√3 a

Área da superfície total do cubo Planificando a superfície total de um cubo de aresta a, obtemos a figura. a a a a a AT = 6a2

Exemplo A área da superfície total de um cubo é 54 cm2. Obter a medida da diagonal da face e da diagonal do cubo? AT = 6a2 ⇒ 6a2 = 54 ⇒ a2 = 9 ⇒ a = 3 d = a√2 ⇒ d = 3√2 D = a√3 ⇒ D = 3√3

O cubo como unidade de volume Se considerarmos a medida da aresta de um cubo como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume. 1 u 1 u V = 1 u3 1 u 1 u Definida a unidade de comprimento, a unidade de volume fica automaticamente definida.

O cubo como unidade de volume Se considerarmos a medida da aresta de um cubo como unidade de medida de comprimento, a medida do volume desse cubo é a unidade de volume. 1 u 1 u V = 1 u3 1 u 1 u Se a unidade de comprimento é 1 m, a unidade de volume é 1 m3. Se a unidade de comprimento é 1 dm, a unidade de volume é 1 dm3.

Volume O volume de um sólido qualquer, numa certa unidade, é um número que indica quantas vezes o cubo de volume unitário “cabe” naquele sólido. Considerando o cubo da primeira figura como unidade de medida. Seu volume é 1 u3. qual o volume dos sólidos abaixo? V = 1 u3 V = 9 u3 V = 11 u3

Volume do cubo Analise as três figuras a seguir. a = 1 u V = 1 u3 a = 2 u a = 3 u V = 23 = 8 u3 V = 33 = 27 u3 De uma maneira geral, o volume de um cubo cuja aresta mede a é V = a3

Exemplo Uma diagonal de um cubo mede 6 m. Calcular a área da superfície total e o volume desse cubo? 6 D = a√3 ⇒ a√3 = 6 ⇒ a = ⇒ a = 2√3 m √3 AT = 6a2 ⇒ AT = 6.(2√3)2 ⇒ AT = 72 m2 V = a3 ⇒ V = (2√3)3 ⇒ V = 24√3 m3

Estudo do Paralelepípedo retângulo

Estudo do paralelepípedo retângulo O paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes. a, b e c → As dimensões do paralelepípedo. b c a Suas doze arestas são quatro a quatro congruen-tes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

Diagonal do paralelepípedo Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face. D c d b a d → diagonal da face inferior D → diagonal do paralelepípedo

Cálculo da diagonal do paralelepípedo Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b e c do paralelepípedo. c D b d a d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2 D2 = a2 + b2 + c2 ⇒ D = √a2 + b2 + c2

Exemplo O comprimento e a largura de um paralelepípedo medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura? D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √122 + 42 + c2 ⇒ 169 = 144 + 16 + c2 ⇒ c2 = 169 – 160 ⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3

Área da superfície total do paralelepípedo Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura. a ab b c bc ac bc b c ab a AT = 2ab + 2ac + 2bc ac AT = 2(ab + ac + bc)

Exemplo A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo? As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k. AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248 :(2) ⇒ ab + ac + bc = 124 ⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124 ⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124 ⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2

Exemplo A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo? Logo a = 4, b = 6 e c = 10. D = √42 + 62 + 102 D = √16 + 36 + 100 D = √152 D = 2√38

Volume do paralelepípedo retângulo Analise as duas figuras a seguir. 4 u cubo unitário V = 1 u3 3 u 5 u V = 5.3.4 = 60 u3 De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por V = a.b.c

Observação Podemos interpretar o volume de um paralelepípedo retângulo de outra forma. Veja a figura a seguir. c A = ab b a V = abc = (ab)c = (área da base) . (altura relativa) V = AB.h

Exemplos Uma caixa d’água tem forma de paralelepípedo retângulo. Suas dimensões internas são 1,2 m, 2,5 m e 0,8 m. Obter sua capacidade, em litros? A capacidade de uma caixa é o volume de água que cabe nela. V = abc = 1,2 . 2,5 . 0,8 = 2,4 m3 Sabemos que 1 m3 = 1 000 dm3 e que 1 L = 1 dm3. V = 2 400 dm3 = 2 400 L

Exemplos Uma das dimensões de um paralelepípedo é aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a terceira em 10%. O que ocorre com o volume do paralelepípedo? Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume original é V = xyz. Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x. Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y. Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z. V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z = 1,716.xyz = 1,716.V Concluímos que o volume aumenta 71,6%.

Estudo geral do prisma

Estudo geral do prisma Vamos aprender a calcular áreas e volumes em prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que As arestas laterais são alturas; As faces laterais são retângulos; A B C

Áreas no prisma No prisma as áreas. Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos; Área da base (AB) – Área do polígono da base; Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases AT = AL + 2AB

Exemplo A figura a seguir mostra um prisma triangular reto, com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma. AL = 3.6 + 4.6 + 5.6 AL = 18 + 24 + 30 = 72 AB = (3.4)/2 = 6 6 4 3 AT = AL + 2.AB 5 AT = 72 + 2.6 = 84

Exemplo Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral. 3x2√3 A = 24√3 ⇒ = 24√3 2 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4 6 Af = b.h ⇒ Af = 4.6 = 24 AL = 6.Af ⇒ AL = 6.24 = 144 m2 x

Princípio de Cavalieri

Princípio de Cavalieri Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria.

Princípio de Cavalieri Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo plano , se Todos têm a mesma altura; Todo plano  paralelo a  e que corte os sólidos determina, em todos eles, seções planas de mesma área; Então os sólidos têm o mesmo volume.

Princípio de Cavalieri A figura abaixo ilustra o princípio de Cavalieri.

Volume do prisma Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri. V = AB.h

Exemplos As bases de um prisma oblíquo são retângulos cujos lados medem 5 cm e 4 cm. Suas arestas laterais medem 6 cm e formam, com o plano da base, ângulo de 60º. Achar o volume do prisma. 5 4 h 60º 6

Exemplos O volume de um prisma hexagonal regular é igual a 486 cm3, e sua altura é igual ao apótema da base. Calcular sua área total. h L