ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 08 de julho de 2013

REVISÃO

1. INTRODUÇÃO GERAL 1.1 Engenharia 1.2 Engenharia Química 1.3 Sistema 1.4 Engenharia de Sistemas 1.5 Inteligência Artificial 1.6 Engenharia de Processos 1.6.1 Estrutura dos Processos 1.6.2 Projeto de Processos 1.6.3 Síntese 1.6.4 Análise 1.6.5 Otimização 1.6.6 Métodos de Projeto 1.6.7 Nova Sistemática para o Projeto 1.3 Organização do Texto/Disciplina 1.4 Origem e Evolução da Engenharia de Processos 1.5 Computação 1.6 Bibliografia. 3

ENGENHARIA Do Artesanato à Dedica-se à aquisição e à aplicação de conhecimentos de natureza física, técnica, matemática e econômica para a criação, aperfeiçoamento e implementação de materiais, estruturas, máquinas e aparelhos, sistemas ou processos, com a finalidade de satisfazer as necessidades básicas da sociedade. Com ela, vieram os cursos superiores para a formação profissional de engenheiros, que vieram substituir os artesãos.

Engenharia Química É o ramo da Engenharia dedicado ao projeto, à construção e à operação dos processos químicos de produção.

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Investigar disponibilidade de matéria prima Investigar mercado para o produto Calcular o consumo de utilidades Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o fluxograma do processo Investigar reagentes plausíveis Calcular a vazão das correntes intermediárias Estabelecer as condições da reação e sub-produtos Avaliar a lucratividade do processo Definir o número e o tipo de trocadores de calor Definir o número e o tipo dos separadores Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de insumos Calcular o consumo de matéria prima Estabelecer malhas de controle

Uma maior organização da execução do projeto veio com a Engenharia de Processos CIÊNCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS ENG. DE EQUIPAMENTOS 8

Engenharia de Sistemas: No tratamento de conjuntos complexos A Engenharia de Processos surgiu com a “Fertilização” da Eng. Química tradicional com elementos de: Resumindo: Engenharia de Sistemas: No tratamento de conjuntos complexos de elementos interdependentes Resultando: Utilização mais organizada e mais eficiente dos conhecimento específicos da Engenharia Química no Projeto de Processos: - Projeto mais rápido e mais eficiente. Processos mais econômicos, seguros e limpos. Inteligência Artificial: Na resolução de problemas combinatórios 9

Um fato relevante ao final da década de 60 Começou a surgir uma TEORIA DE PROJETO Com de elementos de Engenharia de Sistemas e Inteligência Artificial As Teorias existentes, até então, explicavam apenas fenômenos naturais ...(Química, Física, Biologia...). 10

Conhecimento específico de cada área utilizado intuitivamente Eng. Química Eng. Naval Teoria de Projeto Engenharia de Processos Aplicável a todas as áreas  Eng. Elétrica Eng. Mecânica As engenharias experimentaram um ganho expressivo

O quê estes objetos têm em comum? São meios de transporte! OK! E agora ? E agora ????

Apesar de inteiramente distintos quanto à forma e a finalidade, os seus processos de criação e montagem seguem uma metodologia inteiramente análoga (exceto o corpo humano) Esses objetos recebem, então, uma denominação genérica SISTEMAS

Para uma dada finalidade Um sistema (do grego sietemiun), é um conjunto de elementos interconectados, de modo a formar um todo organizado. 2 1 3 4 5 7 6 Para uma dada finalidade

Observa-se que SISTEMA é um conceito abrangente: Abstratos Intangíveis Quanto à origem: constatados ou criados pelo homem Quanto à natureza dos elementos e conexões: concretos (tangíveis) , abstratos (intangíveis) 2 1 3 4 5 7 6 Concretos Tangíveis Abstratos Intangíveis Origem Constatados Eco - Sistemas Corpo Humano Criados Processo Químico ! Sistemas Econômicos

O Processo Químico como um SISTEMA Um conjunto de elementos especializados (equipamentos) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 extrato água vapor EVAPORADOR EXTRATOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR alimentação bomba DECANTADOR 20 HP rafinado produto W11 T11 W6 T6 W4 T4 f14 f24 x14 W7 T7 T3 W1 T1 x11 f11 f21 T2 f12 Ar Ae Vl t r f32 f23 Ac W8 T8 W15 T15 W13 T13 W14 T14 W12 T12 W10 T10 W9 T9 W5 T5 f13 e interdependentes (através das correntes) reunidos para um determinado fim (produção de um produto). 16

Engenharia de Sistemas Com o aumento da complexidade dos sistemas desenvolvidos pelo homem, pesquisadores sentiram a necessidade de estudar formalmente as propriedades de sistemas em geral. Sentiram que não bastava conhecer o comportamento individual dos elementos. Tornou-se necessário estudar o comportamento dos elementos quando interligados a outros: o comportamento do conjunto e desenvolver técnicas para a construção de sistemas de maneira rápida e confiável Esse novo campo do conhecimento foi batizado na década de 1940, no Laboratório da Bell, de Engenharia de Sistemas.

INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL Ramo da Ciência da Computação que estuda a forma como o homem utiliza intuitivamente Inteligência e Raciocínio na solução de problemas complexos, implementando-as em máquinas Estratégias Básicas Decomposição Representação

Os subproblemas são resolvidos de forma coordenada SP 1 SP 2 SP 3 SP 4 Os subproblemas são resolvidos de forma coordenada DECOMPOSIÇÃO Problema Resolvido SP 1 SP 2 SP 3 SP 4 O conjunto das soluções dos sub-problemas forma a solução do Problema original.

Ao longo dos ramos estão os estados intermediários percorridos durante a resolução do problema. De cada estado sai uma bifurcação para os estados que dele se originam: há uma decisão associada. raiz REPRESENTAÇÃO Nas extremidades dos ramos encontram-se os estados finais, configurações completas, que são as soluções alternativas do problema.

ENGENHARIA DE PROCESSOS Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos

 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS É o conjunto de documentos elaborados por uma equipe de engenheiros com detalhes suficientes para a construção e a operação de uma planta industrial O Projeto resulta de um conjunto de ações desenvolvidas Desde A decisão de se produzir um determinado produto Até À conclusão do Projeto   As ações são numerosas e diversificadas !!!

Investigar disponibilidade de matéria prima Investigar mercado para o produto Calcular o consumo de utilidades Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o fluxograma do processo Investigar reagentes plausíveis Calcular a vazão das correntes intermediárias Estabelecer as condições da reação e sub-produtos Avaliar a lucratividade do processo Definir o número e o tipo de trocadores de calor Definir o número e o tipo dos separadores Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de insumos Calcular o consumo de matéria prima Estabelecer malhas de controle

Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de matéria prima Calcular o consumo de utilidades Calcular o consumo dos insumos Calcular a vazão das correntes intermediárias Avaliar a lucratividade do processo Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo Investigar mercado para o produto Investigar disponibilidade das matérias primas Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados Investigar reagentes plausíveis SELEÇÃO DE ROTAS QUÍMICAS SÍNTESE ANÁLISE

Seleção da Rota Química MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES Primeiro passo Seleção da Rota Química DIFICULDADE: MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

Rotas para a produção de fenol

MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES SÍNTESE DIFICULDADE NA SÍNTESE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

Este problema é simples Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do Processo Ilustrativo RM Reator de mistura RT Reator tubular DS Coluna de destilação simples DE Coluna de destilação extrativa A Aquecedor R Resfriador T Trocador de Integração Este problema é simples O espaço das soluções é constituido apenas de 8 fluxogramas

UM RISCO INERENTE À SÍNTESE . . .

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!! Muitas soluções para analisar

MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES ANÁLISE DIFICULDADE NA ANÁLISE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série 1 2 Q = 10.000 kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W kgB/h y kgAB/kgB x kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB Para cada par de valores x1,x2 resultam valores de W1, W2, y1, y2 e Lucro

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Dificuldade: infinidade de soluções viáveis A cada par (x1,x2) corresponde uma solução viável Dificuldade: infinidade de soluções viáveis

Todo problema com Multiplicidade de Soluções OTIMIZAÇÃO Todo problema com Multiplicidade de Soluções Exige a busca da sua Solução Ótima através da OTIMIZAÇÃO

O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização. Constata-se, assim, que ... O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização. Primeiro fator de complexidade: multiplicidade de soluções nos três níveis. Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química. Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima. Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.

Resolução por Busca Orientada por Árvore de Estados Segundo fator de complexidade: Os 3 problemas são interdependentes. A solução ótima de um está atrelada à solução ótima dos outros dois. Uma abordagem... Resolução por Busca Orientada por Árvore de Estados 37

Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? ? A+B P+C A,B P,C ?? D+E P+F D,E P,F ?? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? 1 P A B C x ? T D 2 P A B C x ? T P 3 D E F x ? M P F 4 D E x ? M Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? L x 6 x o = 3 x* 8 L x x o = 4 x* L 10 x x o = 6 x* L x 7 x o = 5 x* Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4

Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? ? Vantagem Varre todas as soluções sem repetições sem omitir a ótima D+E P+F D,E P,F ?? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? ? P 3 D E F x Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Desvantagem Explosão Combinatória (outros métodos) L x 4 10 Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4  demais dimensões.

INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 OTIMIZAÇÃO AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 5 ANÁLISE INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA

2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2.1 Objetivo e Procedimento Geral 2.2 Etapas Preparatórias 2.2.1 Reconhecimento do Processo 2.2.2 Modelagem Matemática 2.2.3 Propriedades Físicas e Coeficientes Técnicos 2.3 Etapas Executivas: dimensionamento e simulação 2.3.1 Informações Relevantes: condições conhecidas, metas de projeto e de operação 2.3.2 Balanço de Informação: conceito e finalidade, elementos envolvidos, graus de liberdade 2.3.3 Execução: dimensionamento, simulação, otimização 2.3.4 Módulos Computacionais: Estratégia de Cálculo, Avaliação Econômica Preliminar, Otimização Paramétrica 2.4 Um Programa Computacional para Análise de Processos

OBJETIVO E PROCEDIMENTO GERAL Objetivo da Análise Prever e avaliar o desempenho físico e econômico de um processo já existente (em operação) ou ainda inexistente (em fase de projeto) “Bola de Cristal”

Prever e avaliar o desempenho FÍSICO Consiste em (a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto. (b) prever o comportamento do processo em condições diferentes daquelas para qual foi dimensionado. Base Modelo Matemático

Prever e avaliar o desempenho ECONÔMICO Consiste em Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação. Base Critério Econômico

Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais Resumo da Análise de Processos Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 OTIMIZAÇÃO 5 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3    MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões Calculadas Lucro MODELO FÍSICO

Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Evaporador Condensador Resfriador Misturador Simular Processo

ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA ANÁLISE DE PROCESSOS 1. Reconhecer ou desenhar o fluxograma: equipamentos,correntes, variáveis do processo. 2. Escrever o modelo matemático.  fundamental 3. Identificar as variáveis conhecidas e as metas de projeto. 4. Efetuar o Balanço de Informação. 5. Estabelecer uma estratégia de cálculo. 6. Resolver o problema. 7. Avaliar criticamente o resultado.  mais importante

MOTIVAÇÃO PARA O CAPÍTULO 3

Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos f1(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 f2(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 . . . . . . fN(x1, x2, ..., xi,..., xM) = 0 N equações M incógnitas

Modelo do Processo Ilustrativo 01. f11 - f12 - f13 = 0 02. W15 - f23 = 0 03. f31 - f32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k – x13 / x12 = 0 06. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 0 08. r - f13/f11 = 0 09. T2 – Td = 0 10. T3 – Td = 0 11. f13 - f14 = 0 12. f23 - f24 - W5 = 0 13. W6 - W7 = 0 14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0 16. Qe - Ue Ae e = 0 17. e - (T6- Te) = 0 18. T4 – Te = 0 19. T5 – Te = 0

Modelo do Processo Ilustrativo 20. W8 - W9 = 0 21. W5 - W10 = 0 22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Qc - Uc Ac c = 0 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 26. W11 - W12 = 0 27. W10 - W13 = 0 28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Qr - Ur Ar r = 0 31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 / W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/ W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 / W3 = 0 40. f14 + f24 - W4 = 0 41. x14 - f14/ W4 = 0 32. W13 + W14 - W15 = 0 33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0

Modelo do Processo Ilustrativo 01. f11 - f12 - f13 = 0 02. W15 - f23 = 0 03. f31 - f32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k – x13 / x12 = 0 06. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 0 08. r - f13/f11 = 0 09. T2 – Td = 0 10. T3 – Td = 0 20. W8 - W9 = 0 21. W5 - W10 = 0 22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Qc - Uc Ac c = 0 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 26. W11 - W12 = 0 27. W10 - W13 = 0 28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Qr - Ur Ar r = 0 31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0 11. f13 - f14 = 0 12. f23 - f24 - W5 = 0 13. W6 - W7 = 0 14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0 16. Qe - Ue Ae e = 0 17. e - (T6- Te) = 0 18. T4 – Te = 0 19. T5 – Te = 0 32. W13 + W14 - W15 = 0 33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 / W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/ W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 / W3 = 0 40. f14 + f24 - W4 = 0 41. x14 - f14/ W4 = 0

É pré-requisito para esta Disciplina. Formulação e Resolução !!! Competem ao Engenheiro Químico CIÊNCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS ENG. DE EQUIPAMENTOS ENG. DE PROCESSOS Formulação e Resolução dos Modelos (a) Formulação (Modelagem Matemática): Consiste em utilizar os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos para representar o processo matematicamente. É pré-requisito para esta Disciplina. (b) Resolução : Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação na resolução dos modelos em problemas de dimensionamento, simulação e otimização. Formulação e Resolução !!!

Em geral, os modelos de processos são muito complexos. Fontes de complexidade: (a) grande número de equações e de variáveis (b) não-linearidades em muitas equações (c) presença de reciclos nos processos Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ??? A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma Estratégia de Cálculo Tema deste Capítulo

Objetivo de uma Estratégia de Cálculo Minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos (problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos). MODELO FÍSICO MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões Calculadas Lucro

FINALIDADE DO CAPÍTULO 3

3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não - Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro

Motivação para o estudo de equações não-lineares isoladas No dimensionamento e na simulação de equipamentos e de processos podem surgir sistemas de equações que só podem ser resolvidos por métodos iterativos de tentativas. Esses métodos são extensões de métodos empregados na resolução de equações isoladas.

Pode ser representada como um “processador de informação” 3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação A equação f (x1, ..., xi-1, xi, xi+1,…, xM) = 0 Pode ser representada como um “processador de informação” f j . . . . . . . . . x1 x2 x i - 1 x i + 1 xM x i 59

Os elementos desse sistema são as equações. As equações do modelo podem ser interligadas pelas variáveis comuns formando um sistema. Os elementos desse sistema são as equações. As conexões são as variáveis comuns. Os sistemas de equações podem ser considerados sistemas de processadores que, durante a resolução de um problema, passam informação de uns para os outros. Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas. 60

Estruturas Básicas Estrutura Cíclica Estrutura Acíclica f 1 (x o ,x 3 ) = 0 2 ) = 0 x Estrutura Cíclica f 1 (x o , x ) = 0 2 ,x 3 Estrutura Acíclica 61

Estrutura Acíclica Estrutura Cíclica f 1 (x o , x ) = 0 2 ,x 3 Estrutura Acíclica f 1 (x o ,x 3 ) = 0 2 ) = 0 x Estrutura Cíclica Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo). Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada). 62

Exemplo de estrutura complexa A estrutura de um sistema pode conter partes cíclicas e acíclicas. Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema. Exemplo de estrutura complexa 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14

Características Especiais na Engenharia de Processos (a) o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações. (b) em problemas de simulação corretamente formulados, o número de equações é igual ao de incógnitas. (c ) em problemas de dimensionamento, corretamente formulados, o número de incógnitas pode ser igual ou superior ao de equações. Quando maior  otimização.

01. f11 - f12 - f13 = 0 02. W15 - f23 = 0 03. f31 - f32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k – x13 / x12 = 0 06. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 0 08. r - f13/f11 = 0 09. T2 – Td = 0 10. T3 – Td = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 / W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/ W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 / W3 = 0

pode ser tratado como se fosse uma única equação Um sistema de equações f1 (xo, x1) = 0 f2 (x1, x2) = 0 f3 (x2, x3) = 0 xo x1 x2 x3 pode ser tratado como se fosse uma única equação f3 (x2,x3) = f3 (f2 (x1), x3) = f3 (f2 (f1(xo)) , x3) f1 (xo, x1) = 0 f2 (x1, x2) = 0 f3 (x2, x3) = 0 xo x1 x2 x3 f (xo, x3) = 0

Uma estratégia para resolver o Sistema 1. f1(xo,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 Uma estratégia para resolver o Sistema PARTIÇÃO Decomposição em sub-sistemas Resolução seqüencial dos sub-sistemas  solução do Sistema x x* 1 2 3 4 5 6 7 8 o [ 3, 4 , 5 ,6 ] Parte Cíclica x6 1, 2 [ ] Parte Acíclica xo* x2 7, 8 [ ] Parte Acíclica x8

Assim, este Capítulo começa com métodos de resolução de equações isoladas. Em seguida, eles são estendidos aos sistemas de equações encontrados em equipamentos e processos.

3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES Trata-se de equações do tipo f (x1*, x2*,…, xi,…, xn*) = 0 em que a incógnita xi é calculada a partir dos valores conhecidos das demais variáveis xj*.

3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não-Lineares 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.1.1 Representação

f (x1*, ..., xi - 1*, xi, xi + 1*,…, xM*) = 0 3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.1.1 Representação A equação f (x1*, ..., xi - 1*, xi, xi + 1*,…, xM*) = 0 pode ser vista como um “processador de informação” assim representado graficamente: f j . . . . . . . . . x1 x2 x i - 1 x i + 1 xM x i

f (x1*, ..., xi - 1*, xi , xi + 1*,…, xM*) = 0 A dificuldade da resolução de f (x1*, ..., xi - 1*, xi , xi + 1*,…, xM*) = 0 depende da sua forma funcional. Exemplo: x1 x2 + ln x1 = 0 Se a incógnita fôr x2: x1* x2 + ln x1* = 0 A resolução pode ser analítica simples: x2 = - (ln x1*) / x1* Se a incógnita fôr x1: x1 x2* + ln x1 = 0 A resolução tem que ser numérica por tentativas (inúmeros métodos).

3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.1.2 Resolução

Aproximações Sucessivas 3.1.2 Resolução Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares. Métodos de Redução de Intervalos Métodos de Aproximações Sucessivas Partem de um intervalo inicial. (limites inferior e superior) Partem de um valor inicial. Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. Por diferentes raciocínios lógicos, testam novos valores até que a diferença relativa entre valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.

(a) Métodos de Redução de Intervalos Dados os limites superior xs e inferior xi , define-se o intervalo de incerteza xs - xi . Este é reduzido sucessivamente até se tornar menor do que uma tolerância  pré-estabelecida: xs - xi  . x i s x s i  f (x) Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução.

Método da Bisseção ou Busca Binária Um método típico de Redução de Intervalos Método da Bisseção ou Busca Binária A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.

SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs BISS f (x) f(x) ALGORITMO Estabelecer xi, xs,  (tolerância) fs Calcular fi em xi Calcular fs em xs xi REPETIR x x = (xi + xs)/2 fi f xs x Calcular f em x Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f Senão atualizar : xs = x : fs = f ATÉ xs - xi   f(x) xs fs SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs x f xi fi x

Fixando : x2* = 2, Intervalo: xi = 0, xs = 1 Tolerância:  = 0,1 Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f Estabelecer xi, xs,  (tolerância) Calcular fi em xi Calcular fs em xs REPETIR x = (xi + xs)/2 Calcular f em x Senão atualizar : xs = x : fs = f ATÉ xs - xi   Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 f = x1 x2* + ln x1 Fixando : x2* = 2, Intervalo: xi = 0, xs = 1 Tolerância:  = 0,1 xi fi x f xs fs  0,00005 -11,51 1 2 1 0,5 0,307 0,00005 -11,51 0,25 -0,88 0,5 0,307 0,5 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,5 0,307 0,25 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,5 0,307 0,125 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,0625 Solução para  = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048 Com 6 cálculos de f, o intervalo foi reduzido a 6,25%. Com 9 cálculos, o intervalo é reduzido a menos de 1%

(b) Métodos de Aproximações Sucessivas Atribui-se um valor inicial para a incógnita. Esse valor é atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(xk - xk-1)/ xk], seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida. xi xs x1 x2 x3 x4

Duas formas de explicitar a incógnita Um método típico: Método da Substituição Direta Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente: f(xi ) = 0  xi = F(xi) Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 Duas formas de explicitar a incógnita x1 = - (1/ x2*) ln x1  F(x1) = - (1/ x2*) ln x1 x1 = e - x1 x2*  F(x1) = e - x1 x2*

A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi . f(xi ) = 0 explicitando  xi = F(xi) A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi . F(x) x Em cada iteração, o valor arbitrado para xi é o valor de F(xi - 1) obtido na iteração anterior.

Estabelecer xinicial,  (tolerância) F = xinicial REPETIR x = F ALGORITMO Estabelecer xinicial,  (tolerância) F = xinicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir xsolução = F Condição para Convergência : |F´(x)| < 1 Modos de Convergência F’(x) > 0: Comportamento Monotônico Convergir = |(F-x)/x| <  (erro relativo) F(x) x 1 2 3 (b) F'(x)>0 |F'(x)|>1 divergência monotonica x 1 2 3 F(x) (a) F'(x)>0 |F'(x)<1 convergência monotonica

Estabelecer xinicial,  (tolerância) F = xinicial REPETIR x = F ALGORITMO Estabelecer xinicial,  (tolerância) F = xinicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir xsolução = F Condição para Convergência : |F´(x)| < 1 Modos de Convergência F’(x) < 0: Comportamento Oscilatório Convergir = |(F-x)/x| <  (erro relativo) (c) F'(x)<0 |F'(x)| <1 convergência oscilante x 1 3 2 F(x) F(x) x 1 2 3 (d) F'(x) <0 |F'(x)| >1 divergência oscilante

Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 F(x1) = - (1/ x2*) ln x1 F(x1) = e - x1 x2* x F  x F  0,5 0,346 0,308 0,5 0,367 0,264 0,346 0,529 0,529 0,367 0,479 0,302 0,529 0,317 0,400 0,479 0,383 0,199 0,317 0,573 0,806 0,383 0,464 0,210 0,573 0,278 0,515 0,464 0,395 0,149 Divergência Oscilatória F’(x1) = - 1,17 Convergência Oscilatória F’(x1) = - 0,85 x 1 3 2 F(x) F(x) x 1 2 3 Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 x1 = F(x1) (x2* = 2 : x1 inicial = 0,5) Solução: x = 0,4263

Equações que representam processos de operação estável, também apresentam comportamento estável, ou seja, convergem

Esses métodos serão evocados a seguir em Em resumo Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos: redução de intervalos (ex.: bisseção) aproximações sucessivas (ex.: substituição direta) Esses métodos serão evocados a seguir em Sistemas de Equações. f1 (xo, x1) = 0 f2 (x1, x2) = 0 f3 (x2, x3) = 0 xo x1 x2 x3

3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e Representação

Pode ser representada como um “processador de informação” 3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação A equação f (x1, ..., xi-1, xi, xi+1,…, xM) = 0 Pode ser representada como um “processador de informação” f j . . . . . . . . . x1 x2 x i - 1 x i + 1 xM x i

Os elementos desse sistema são as equações. As equações do modelo podem ser interligadas pelas variáveis comuns formando um sistema. Os elementos desse sistema são as equações. As conexões são as variáveis comuns. Os sistemas de equações podem ser considerados sistemas de processadores que, durante a resolução de um problema, passam informação de uns para os outros. Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas. 89

Estruturas Básicas Estrutura Cíclica Estrutura Acíclica f 1 (x o ,x 3 ) = 0 2 ) = 0 x Estrutura Cíclica f 1 (x o , x ) = 0 2 ,x 3 Estrutura Acíclica

Estrutura Acíclica Estrutura Cíclica f 1 (x o , x ) = 0 2 ,x 3 Estrutura Acíclica f 1 (x o ,x 3 ) = 0 2 ) = 0 x Estrutura Cíclica Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo). Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada).

Exemplo de estrutura complexa A estrutura de um sistema pode conter partes cíclicas e acíclicas. Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema. Exemplo de estrutura complexa 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14

Características Especiais na Engenharia de Processos (a) o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações. (b) em problemas de simulação corretamente formulados, o número de equações é igual ao de incógnitas. (c ) em problemas de dimensionamento, corretamente formulados, o número de incógnitas pode ser igual ou superior ao de equações. Quando maior  otimização.

Um Sistema de Equações Típico de um Modelo de Processo 1. f1(xo*, x1) = 0 2. f2(x1, x2) = 0 3. f3(x2, x3, x6) = 0 4. f4(x3, x4) = 0 5. f5(x4, x5) = 0 6. f6(x5, x6) = 0 7. f7(x6, x7) = 0 8. f8(x7, x8) = 0

Representação da Estrutura Através da representação é possível enxergar como os processadores trocam informações. E, assim, conceber métodos eficientes de resolução. ANALOGIA Somente descobrindo túneis e câmaras dos formigueiros que foi possível observar e compreender o sistema social e de sobrevivência das formigas.

Representação Matricial X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 2 3 4 5 6 7 8 Matriz Incidência (Numérica) 1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 * 2 3 4 5 6 7 8 Matriz Incidência (Gráfica) Matrizes Esparsas !

Representação Gráfica (Grafo) 1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 Ciclo ! x 1 2 3 4 5 6 7 8 o

3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e Representação 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.2.2 Resolução

3.2.2 Resolução Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos - método seqüencial.

Métodos Simultâneos Todas as variáveis são alteradas simultaneamente. Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em disciplinas de Métodos Numéricos. Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ... Calcular F1 x1(k+1) = F1 Calcular F2 x2(k+1) = F2 TESTE x1 = x1(k+1) x1k x2k x1(k+1) x2(k+1) x2 = x2(k+1)

Método Sequencial É um procedimento alternativo em que as equações são acionadas uma-a-uma, passando informação de uma para a outra, numa sequência lógica previamente estabelecida. Baseia-se no conhecimento da estrutura do sistema.  Com isso, torna-se um método flexível e eficiente Este método é chamado de Resolução por Equações ("equation oriented").

ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES Este método pode ser implementado através do ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES

Algoritmo de Ordenação de Equações (A.O.E.) É um algoritmo de atribuição de tarefas 1. Atribui a cada equação a tarefa de calcular uma das incógnitas do sistema. 2. Ao mesmo tempo, organiza as equações segundo uma Sequencia de Cálculo que evita cálculos iterativos desnecessários, minimizando o esforço computacional na resolução do sistema.

Outros resultados 3. Efetua automaticamente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos. 4. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo. 5. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura.

PARTIÇÃO "partitioning" 1. f1(xo,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 PARTIÇÃO "partitioning" Consiste em decompor o sistema em sub-sistemas Resolve-se os sub-sistemas sequencialmente x x* 1 2 3 4 5 6 7 8 o 1, 2 [ 3, 4 , 5 ,6 7, 8 [ ] Parte Cíclica Parte Acíclica xo* x2 x6 x8

A lógica do Algoritmo é muito simples Ele simplesmente formaliza ações intuitivas inteiramente óbvias relativas aos seguintes elementos encontrados em sistemas de equações Equações de Incógnita Única Variáveis de Frequência Unitária Ciclos

Equações de Incógnita Única São equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma! Exemplo: equação 1 no sistema f1 (xo*, x1) = 0 f2 (x1, x2) = 0 xo* 1 2 x Pela lógica: são as primeiras a serem resolvidas ! Devem ser colocadas no início da Sequência de Cálculo

Varáveis de Freqüência Unitária São variáveis que pertencem a uma só equação Exemplo: x8 na equação 8 f7 (x6*, x7) = 0 f8 (x7, x8) = 0 7 8 x* 6 x Pela lógica: só podem ser calculadas por esta equação e depois de todas as anteriores terem sido resolvidas. Devem ser colocadas no final da Sequência de Cálculo

Solução exclusivamente por métodos iterativos Ciclos São conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma. x 3 4 5 6 x2 x6 x6 = f6(x5) = f6(f5(x4)) = f6(f5(f4(x3))) = f6(f5(f4(f3(x2,x6)))) = F(x6) Solução exclusivamente por métodos iterativos

META DO ALGORITMO Produzir uma sequência de cálculo a ser obedecida para a resolução do sistema com mínimo esforço computacional

Sequencia de Cálculo Resultante META DO ALGORITMO Sequencia de Cálculo Resultante 1 2 X o * 7 8 6 3 4 5 Equação Final EQUAÇÃO VARIÁVEL x final X6 Variável de Abertura x6

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo. (c) remover a variável (X na vertical). Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação (X na horizontal). Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação (X na horizontal).

Etapa 1 1.f1(xo*, x1) = 0 2.f2 (x1, x2) = 0 3.f3 (x2, x3, x6) = 0 Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. 1.f1(xo*, x1) = 0 2.f2 (x1, x2) = 0 3.f3 (x2, x3, x6) = 0 4.f4 (x3, x4) = 0 5.f5 (x4, x5) = 0 6.f6 (x5, x6) = 0 7.f7 (x6, x7) = 0 8.f8 (x7, x8 ) = 0  1. x1 = f1(xo*) 2.f2 (x1, x2) = 0  2. x2 = f2 (x1) xo* 1 2 x Não há mais EIU !

Estágio Atual da Seqüência de Cálculo 1 2 3 4 5 6 7 8 X o * x2 = f2(x1) = f2(f1(xo)) = f(xo)

Etapa 2 1. x1 = f1(xo*) 2. x2 = f2 (x1) 3.f3 (x2, x3, x6) = 0 Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. 1. x1 = f1(xo*) 2. x2 = f2 (x1) 3.f3 (x2, x3, x6) = 0 4.f4 (x3, x4) = 0 5.f5 (x4, x5) = 0 6.f6 (x5, x6) = 0 7.f7 (x6, x7) = 0 8.f8 (x7, x8 ) = 0 7 8 x 6  7. x7 = f7 (x6)  8. x8 = f8 (x7) Não há mais VFU !

Estágio Atual da Seqüência de Cálculo 1 2 3 4 5 6 7 8 X o * x2 = f2(x1) = f2(f1(x0)) = f(x0) x8 = f8(x7) = f8(f7(x6)) = f(x6) As equações remanescentes formam um ciclo !!!

Preparação do sub-sistema cíclico para resolução por tentativas (a) Selecionar uma Equação Final (b) Retornar à Etapa 2 (VFU) (c) Identificar a Variável de Abertura (a não atribuída a qualquer equação) (d) Estabelecer o esquema de convergência X6 Variável de Abertura 1 2 X o * 3 4 5 X 6 3 4 5 X 6 7 8 X 6 Equação Final EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 7 6 final 8 EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 7 3 4 5 6 final 8 x6

Formalmente no Algoritmo Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação. X6 Variável de Abertura 1 2 X o * 3 4 5 X 6 3 4 5 X 6 7 8 X 6 Equação Final EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 7 6 final 8 EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 7 3 4 5 6 final 8 x6

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo. (c) remover a variável (X na vertical). Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação (X na horizontal). Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação (X na horizontal).

APLICAÇÃO AO SISTEMA ILUSTRATIVO

1. f1(xo. , x1) = 0 2. f2(x1, x2) = 0 3. f3(x2, x3, x6) = 0 4 1. f1(xo*, x1) = 0 2. f2(x1, x2) = 0 3. f3(x2, x3, x6) = 0 4. f4(x3, x4) = 0 5. f5(x4, x5) = 0 6. f6(x5, x6) = 0 7. f7(x6, x7) = 0 8. f8(x7, x8) = 0

Equações de Incógnita Única (EIU) X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X * 2 3 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

Equações de Incógnita Única (EIU) X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 * 3 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável  inscrição no primeiro lugar  x na vertical

Equações de Incógnita Única (EIU) X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável  inscrição no primeiro lugar  x na vertical

* X X X O 1 2 1 2 EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2

Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - x8 Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

1 2 X O * 7 8 X 6 EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 7 8

Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - x7 8 - x8 Ciclo! X0* X1 X2

Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 final 7 - x7 8 - x8 O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 final 7 - x7 8 - x8 Equação Final: 6

Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - final 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - x5 6 - final 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - x4 5 - x5 6 - final 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - x3 4 - x4 5 - x5 6 - final 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

Variável de Abertura: x6 1 X O 2 3 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - x3 4 - x4 5 - x5 6 - final 7 - x7 8 - x8 x6 Variável de Abertura: x6

x6: variável de abertura Resolução do Ciclo 1 2 3 4 5 6 7 8 X O * x6: variável de abertura equação final EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 3 4 5 6 final 7 8 x6

ESTABELECIMENTO DO ESQUEMA DE CONVERGÊNCIA Insere-se um Promotor de Convergência São apresentados dois Promotores de Convergência baseados nos métodos para equações não-lineares: (a) Bisseção (b) Substituição Direta

Relembrando o Método da Bisseção x f BISS f (x) f(x) ALGORITMO Estabelecer xi, xs,  (tolerância) fs Calcular fi em xi Calcular fs em xs xi REPETIR x x = (xi + xs)/2 fi f xs x Calcular f em x Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f Senão atualizar : xs = x : fs = f ATÉ xs - xi   f(x) xs fs SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs x f xi fi x

x6a 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 f6 (x5, x6) A cada iteração: (a) BISSSEÇÃO x6a 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 BISS f6 (x5, x6) f3 (x2,x3,x4) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0 f(x) fs xi x fi f xs x A cada iteração: - arbitra-se x6a . resolve-se sucessivamente as equações 3, 4 e 5. pela equação 6 calcula-se f6 (x5, x6). avalia-se a convergência pelo critério do método da bisseção.

RELEMBRANDO O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA                                                                                                                                                               f (x) = 0 explicitando x x = F ( x) A solução é a interseção de F(x) com a reta de 45º onde ela é igual ao próprio x. ALGORITMO Estabelecer xinicial,  (tolerância) F = xinicial F(x) F(x)  REPETIR x = F x3 x2 x1 x2 x3 x1 x x Calcular a Função F em x F'(x) > 0 |F'(x) < 1 F'(x) < 0 |F'(x)| < 1 ATÉ Convergir convergência monotonica convergência oscilante xsolução = F (a) (c) Convergir = |(F - x)/x| < 

(b) SUBSTITUIÇÃO DIRETA x6c 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 SD x6a x 1 2 3 x6c x6a Arbitra-se x6c inicial. A cada iteração: toma-se x6a = x6c . resolve-se sucessivamente as equações 3, 4, 5 e 6, que calcula x6c. avalia-se a convergência através do erro relativo ABS (x6c – x6a) / x6a

COMPARAÇÃO DOS PROMOTORES DE CONVERGÊNCIA (b) Substituição Direta f6 (x5, x6) (a) Bisseção x6a 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 BISS f3 (x2,x3,x6) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0 Arbitra-se x6a. A cada iteração, a eq.6 calcula f6 (x5, x6) (até convergir) x6c 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 SD x6a f3 (x2,x3,x4) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0 (b) Substituição Direta Arbitra-se x6a . A cada iteração, a eq.6 calcula x6c = f6(x5) : x6a = x6c (até convergir).

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. x* 1 2 x o 7 8 x 6 Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. 3 4 5 X 6 x6 Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação.

Mostrar o Programa AOE.xls

Uma vez ordenadas, as equações podem ser resolvidas na seqüência estabelecida, com o mínimo de esforço computacional.

Algoritmo de Ordenação de Equações Aplicação a 4 Sistemas típicos em Engenharia de Processos.

G = 0 : solução única, sem variável de projeto 1 f1(x1, x2) 2 f2(x2, x3, x4) = 0 3 f3(x3, x4) = 0 4 f4(x4) = 0 Sistema 1 1 * 2 3 4 x1 x2 x3 x4 Matriz Incidência 1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 Grafo G = 0 : solução única, sem variável de projeto Ciclo potencial: pode haver variável de abertura

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Matriz Incidência Seqüência de Cálculo x1 x2 x3 x4 1 * * 2 * * * 3 * * 4 * Equação Variável 4 x4 X X X 3 x3 X 2 x2 1 x1

O Sistema 1 como um Problema de Simulação ou de Dimensionamento sem Otimização - Sequência Acíclica Seqüência de Cálculo Equação Variável 4 x4 3 x3 2 x2 1 x1 PROCESSO LE E* 4 3 2 1 x4 x3 x2 x1 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x4 x3 x2 x1

G = 1 : problema de otimização, com variável de projeto. Sistema 2 1 f1(x1,x2) 2 f2(x2,x3,x4) = 0 3 f3(x3,x4) = 0 4 f4(x4,x5) = 0 1 * x1 x2 x3 x4 x5 2 3 4 Matriz Incidência 1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 x5 Grafo G = 1 : problema de otimização, com variável de projeto. Ciclo potencial: pode haver variável de abertura.

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Seqüência de Cálculo Matriz Incidência x1 x2 x3 x4 x5 1 * * 2 * * * 3 * * 4 * * Equação Variável 3 x3 X 2 x2 X X X 1 x1 x4 variável de projeto 4 x5 X

O Sistema 2 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Acíclica x1 x2 x3 x4 x5 Equação Variável 1 o x 3 2 4 PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE E* 3 2 1 x3 4 x2 x1 x5 x4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x1 x2 x3 x5 x4 : variável de projeto

G = 0: solução única, sem variável de projeto Sistema 3 1 f1(x1,x2) 2 f2(x1,x2,x3,x4) = 0 3 f3(x3,x4) = 0 4 f4(x4) = 0 x1 x2 x3 x4 1 * 2 3 4 Matriz Incidência 1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 Grafo G = 0: solução única, sem variável de projeto Ciclos potenciais: podem haver variáveis de abertura

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Matriz Incidência x1 x2 x3 x4 1 * * 2 * * * * 3 * * 4 * Seqüência de Cálculo Equação Variável 4 x4 X X X X X 3 x3 X 1 x2 2 final x1: Variável de Abertura

x1 x2 x3 x4 Equação Variável 1 x o 4 2 3 final E* x4 x3 x2 LE 4 3 1 2 O Sistema 3 como um Problema Simulação ou de Dimensionamento sem Otimização - Sequência Cíclica x1 x2 x3 x4 Equação Variável 1 x o 4 2 3 final PROCESSO E* x4 x3 x2 x1 x2 x3 x4 AVALIAÇÃO LE 4 3 1 2 ECONÔMICA x1 x1 : variável de abertura

G = 1: problema de otimização com variável de projeto Sistema 4 1 f1(x1,x2) 2 f2(x1,x2,x3,x4) = 0 3 f3(x3,x4) = 0 4 f4(x4,x5) = 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 * 2 3 4 Matriz Incidência Grafo G = 1: problema de otimização com variável de projeto Ciclos potenciais: pode haver variáveis de abertura

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Seqüência de Cálculo Matriz Incidência Equação Variável x1 x2 x3 x4 x5 1 * * 2 * * * * 3 * * 4 * * 1 x2 X 3 x3 X X X X 2 final X 4 x5 X

x4: variável de abertura x1 : variável de projeto O Sistema 4 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Cíclica Seqüência de Cálculo Equação Variável Matriz Incidência x1 x2 x3 x4 x5 1 * * 2 * * * * 3 * * 4 * * x1 1 x2 X x4 3 x3 X X X X 2 final X 4 x5 X PROCESSO x 1 2 3 5 E* x x x AVALIAÇÃO LE 2 3 5 OTIMIZAÇÃO 1 3 2 4 ECONÔMICA x4 x1 x4: variável de abertura x1 : variável de projeto

COMPARAÇÃO DOS 4 PROBLEMAS

Sol.única sem ciclo Otimização sem ciclo Sol.única com ciclo PROCESSO * E x x x x x x x x AVALIAÇÃO LE Sol.única sem ciclo 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 ECONÔMICA PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 3 2 4 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Otimização sem ciclo PROCESSO * LE E x 1 4 3 2 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Sol.única com ciclo PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 3 2 4 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Otimização com ciclo

REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DO ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES - Variáveis discretas - Variáveis de cálculo direto e iterativo - Variáveis limitadas - Ciclos múltiplos - Variáveis de abertura e de projeto - Eliminação de ciclos.

Seus valores são limitados a um conjunto finito. Exemplos: Variáveis Discretas Seus valores são limitados a um conjunto finito. Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores. - diâmetros comerciais de tubos. - número de estágios. Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto. Assim: - assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador. - não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.

Exemplo: y = a x [a = 1 ou a = 0,5] G = 2 (duas variáveis de projeto) a = 0,5 : x = 1  y = 0,5 a = 1 : y = 1  x = 1 x = 1 : y = 3  a = 3 (não existe !) Logo: a tem que ser uma das duas variáveis de projeto

Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações. Exemplo Nesta equação: -  é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas) - qualquer T é de cálculo iterativo (dado  e as demais T’s) As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas.

Varáveis Limitadas Os seus valores variam entre limites bem definidos. Exemplos: - frações mássicas ou molares - temperaturas em trocadores de calor Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de projeto. Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo para que essa preferência seja concretizada.

Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos. Ciclos Múltiplos Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos. Ciclos em Sequência Primeira entrada de x3: eq. 1 Primeira entrada de x7: eq. 5 Fechar o ciclo com a final mais próxima x3 f 1 ( x o , 3 ) 2 4 5 7 6 = 1 2 4 5 6 1. x 2. x 3. final 4. x 5. x 6. x 7. final x7

f x ( , ) = X7 7. x6 6. x5 X4 4. x3 5. final 3. x2 1. x1 2. final Ciclos Múltiplos Ciclos Aninhados Primeira entrada de x4: eq. 4 Primeira entrada de x7: eq. 7 Fechar o ciclo com a final mais próxima X7 f x 1 o 7 2 6 3 5 4 ( , ) = 1. x1 4. x3 6. x5 3. x2 5. final 7. x6 2. final X4

Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o menor número de equações. (a) 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 5 5. final 7. x 8 Escolha Conveniente Ciclo com 3 equações 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 5 5. final (b) 7. x 8 Escolha Inconveniente Ciclo com 4 equações

Eliminação de Ciclos 31 = 1 - X 11 31. X 32 12 13 = k X / [1 + (k - 1) X ] 3 = W 1 X r / X 01. W 2 / X 02. W * - W = 0 32. X 23 = 03. W 15 T 07. W 06. T 05. V d 08. 04. X 33. X 31 = 1 - X 11 31. X 32 12 13 = k X / [1 + (k - 1) X ] 3 = W 1 X r / X 01. W 2 / X 32. X 23 = 03. W 15 T 02'.X = X (1 - r) / [X + (1 - r) 07. W 06. T 05. V d 08. 04. X 33. X Substituindo 01, 07, 04 e 32 em 02, esta fica só com x12 como incógnita. Explicitando x12, resulta 02’, localizada logo depois de 31. A seqüência fica sem ciclo.

3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos

Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas. 3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos Motivação para estudar os equipamentos isolados: Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de integrá-los no processo (livres de interações). Montar as rotinas de dimensionamento e de simulação que integram o programa de análise do processo. Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas.

ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS Projeto e Análise dos Equipamentos de Processo Reatores Trocadores de calor Separadores Torres de destilação Torres de absorção Extratores Cristalizadores Filtros Outros... Instrumentos de Controle Automático Tratamento compartimentado!

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Genericamente: análise significa decompor um todo em suas partes, PROJETO = SÍNTESE  ANÁLISE Genericamente: análise significa decompor um todo em suas partes, depreender o comportamento do todo a partir do comportamento das partes.

No caso de processos químicos, a Análise consiste em prever e avaliar o desempenho de cada fluxograma gerado na Síntese, para fins de comparação Dimensões dos principais Equipamentos. Consumo de utilidades matérias primas e insumos Modelo Matemático  previsão Especificações de projeto Dimensões dos principais equipamentos Consumo de utilidades matérias primas e insumos Modelo Econômico  avaliação Lucro

W6 T6 W10 T10 W13 T13 W11 T11 W8 T8 W1 x11 T1 f11 f31 W7 T7 W5 T5 W3 x13 T3 f13 f23 W4 x14 T4 f14 f24 W12 T12 W14 T14 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Vd Ae Ac Ar Alimentação Vapor Água Benzeno Produto Condensado W15 T15

Fragmentando o Processo ... W10 T10 W13 T13 W12 T12 RESFRIADOR 10 11 12 13 Ar Água W8 T8 W5 T5 W12 T12 CONDENSADOR 5 8 9 Ac Água W10 T10 10 Benzeno Fragmentando o Processo ... W6 T6 W7 T7 W3 x13 T3 f13 f23 W4 x14 T4 f14 f24 EVAPORADOR 4 6 7 Ae Vapor W5 T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato W1 x11 T1 f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 Vd W3 x13 T3 f13 f23 W15 T15

EXTRATOR 01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f11 - f12 - f13 = 0 W1 x11 T1 f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 Vd W3 x13 T3 f13 f23 W15 T15 01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f11 - f12 - f13 = 0 02. Balanço Material do Benzeno: W15 - f23 = 0 03. Balanço Material da Água: f31 - f32 = 0 04. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: x13 - k x12 = 0 05. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 Td) = 0 06. Balanço de Energia: (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Equação de Dimensionamento: Vd -  (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) = 0 08. Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f13 / f11 = 0 09. Fases em Equilíbrio T2 – Td = 0 10. Fases em Equilíbrio T3 – Td = 0 34. Vazão Total na Corrente 1: f11 + f31 - W1 = 0 35. Fração Mássica na Corrente 1: x11 - f11 / W1 = 0 36. Vazão Total na Corrente 2: f12 + f32 – W2 = 0 37. Fração Mássica na Corrente 2: x12 - f12 / W2 = 0 38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 0 39. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 / W3 = 0

01. f11 - f12 - f13 = 0 02. W15 - f23 = 0 03. f31 - f32 = 0 04. x13 - k x12 = 0 05. k – (3 + 0,04 Td) = 0 06. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Vd -  (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) = 0 08. r - f13 / f11 = 0 09. T2 – Td = 0 10. T3 – Td = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 / W1 = 0 36. f12 + f32 – W2 = 0 37. x12 - f12 / W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 / W3 = 0 35 f11 8 f13 1 f12 34 f31 3 f32 36 W2 37 x12 W3 39 x13 4 k 5 Td 38 f23 6 W15 Final 2 10 T3 9 T2 7 Vd

DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC. Balanço de Informação V = 22 N = 16 C = 4 G = 2 ! W3 = 37.490 kg/h x13 = 0,0032 T3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.370 kg/h W3 x13 T3 f13 f23 15 W15 W15 = 37.370 kg/h T*15 = 25 oC EXTRATOR BOMBA 3 1 Vd Vd = 11.855l Extrato *= 0,0833 h r* = 0,60 Metas de Projeto Máximo = 2 W*1= 100.000 kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 f31 W2 = 99.880 kg/h x12 = 0,0008 T2 = 25 oC f12 = 80 kg/h f32 = 99.800 kg/h W2 x12 T2 f12 f32 2 V = 22 N = 16 C = 4 M = 2 G = 0 f11 = 200 kg/h f31 = 99.800 kg/h Alimentação Rafinado

Resultando a rotina DimensionarExtrator do programa BenzoDSO (diferente) f11 = x11 * W1 '35 f13 = r * f11 '08 f12 = f11 - f13 '01 f31 = W1 - f11 '34 f32 = f31 '03 W2 = f12 + f32 '36 x12 = f12 / W2 '37 W = Cp1 * f11 + f31 a = (25 / x12) * (W + f13 * Cp2l) b = W * (T15 + 75) - f13 * Cp2l * (T15 + 75 + 25 / x12) c = f13 * Cp2l * (T15 + 75) discr = Sqr(b ^ 2 + 4 * a * c) x13 = (discr + b) / (2 * a) '06' (Variável de abertura) W3 = f13 / x13 '39 (Início do Ciclo) k = x13 / x12 '04 f23 = W3 - f13 '38 Td = 25 * (k - 3) '05 W15 = f23 '02 (Final do Ciclo) Vd = Tau * (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 T2 = Td '09 T3 = Td '10

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SIMULAÇÃO DO EXTRATOR G = 0 ! Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de Vd = 11.855L fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não com os 37.370 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto). W*1= 100.000 kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W3 x13 T3 f13 f23 T*15 = 25 oC *= 0,0833 h r* = 0,60 Vd W2 = 99.880 kg/h x12 = 0,0008 T2 = 25 oC f12 = 80 kg/h f32 = 99.800 kg/h W3 = 37.490 kg/h x13 = 0,0032 T3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.370 kg/h f11 = 200 kg/h f31 = 99.800 kg/h W15 = 37.370 kg/h W15 Vd = 11.855l W3 = 50.133 kg/h x13 = 0,0026 T3 = 25 oC f13 = 133 kg/h f23 = 50.000 kg/h W*15 = 50.000 kg/h T*15 =25 oC 15 EXTRATOR BOMBA 3 1 V*d = 11.855 l Extrato  = 0,075 h r = 0,67 W*1= 100.000 kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 = 200 kg/h f31 = 99.800 kg/h W2 = 99.867 kg/h x12 = 0,0007 T2 = 25 oC f12 = 67 kg/h f32 = 99.800 kg/h 2 Alimentação G = 0 ! Rafinado

Resulta a rotina SimularExtrator do programa BenzoDSO (diferente) f23 = W15 '02 f11 = W1 * x11 '35 f31 = W1 - f11 '34 f32 = f31 '03 a = f11 * Cp1 + f31 * Cp3 b = W15 * Cp2l Td = (a * T1 + b * T15) / (a + b) '06 Tau = Vd / (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 k = 3 + 0.04 * Td '05 T2 = Td '09 T3 = Td '10 a = k - 1: 'Cells(24, 7) = a b = k * (f11 + f23) + f32 - f11: 'Cells(25, 7) = b c = f11 * f32: Cells(26, 7) = c discr = Sqr(b ^ 2 - 4 * a * c): 'Cells(27, 7) = discr f12 = (b - discr) / (2 * a) '04' Variável de Abertura f13 = f11 - f12 '01 Início do Ciclo W2 = f12 + f32 '36 x12 = f12 / W2 '37 W3 = f13 + f23 '38 x13 = f13 / W3 '39 Final de Ciclo r = f13 / f11 '08

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RESFRIADOR 26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 0 27. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 0 28. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 0 31. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11) ] / ln[(T10 - T12) / (T13 - T11)] = 0 RESFRIADOR W10 T10 W13 T13 W12 T12 10 11 12 13 Ar Água

DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar 36.345 kg/h de benzeno liquido saturado até 25 oC. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC. W13 = T*13 = 25 oC W*10 = 36.345 kg/h T*10 = 80 oC W12 = T*12 = 30 oC 10 11 12 13 Ar Água W11 = T*11 = 15 oC W*10 = 36.345 kg/h T*10 = 80 oC W12 = 59.969 kg/h T*12 = 30 oC 10 11 12 13 Ar = 362 m2 Água W11 = 59.969 kg/h T*11 = 15 oC W13 = 36.345 kg/h T*13 =25 oC V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !

RESFRIADOR 26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 0 27. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 0 28. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 0 31. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0 RESFRIADOR W10 T10 W13 T13 W12 T12 10 11 12 13 Ar Água

Resultando a rotina DimensionarResfriador 27. W13 = W10 29. Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) 28. W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) 26. W12 = W11 d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11 31. dr = (d1 - d2) / ln (d1 / d2) 30. Ar = Qr / (Ur dr )

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SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m2 fosse alimentado com 20.000 kg/h de benzeno ao invés de 36.345 kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento. W*10 = 20.000 kg/h T*10 = 80 oC W12 = 59.969 kg/h T12 = 24,5 oC 10 11 12 13 A*r = 362 m2 Água W*11 = 59.969 kg/h T*11 = 15 oC W13 = 20.000 kg/h T13 = 16,8 oC W*10 = 36.345 kg/h T*10 = 80 oC W12 = 59.969 kg/h T*12 = 30 oC 10 11 12 13 Ar = 362 m2 Água W11 = 59.969 kg/h T*11 = 15 oC W13 = 36.345 kg/h T*13 = 25 oC V = 11 N = 6 E = 5 G = 0 ! Resultado do dimensionamento Resultado da simulação

Resultou a rotina SimularResfriador (diferente) W12 = W11 '26 W13 = W10 '27 T = T10 - T11: a1 = 1 / (W10 * Cp2l) a2 = 1 / (W11 * Cp3): E1 = Exp(Ur * Ar * (a1 - a2)) Qr = T * (1 - E1) / (a2 - E1 * a1) '30 Variável de Abertura T12 = T11 + Qr * a2 '28 Inicio de Ciclo T13 = T10 - Qr * a1 '29 d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11 If Abs(d1 - d2) < 0.00001 Then Dr = d1 Else Dr = (d1 - d2) / Log(d1 / d2) '31 Final de Ciclo

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CONDENSADOR 20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 0 W5 T5 W10 T10 W9 T9 5 8 9 10 Ar Água W8 T8 CONDENSADOR 20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 0 21. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 0 22. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 0 25. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0

DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar 36.345 kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC . W10 = 36.345 kg/h T*10 = 80 oC W9 = 228.101 kg/h T*9 = 30 oC 5 8 9 10 Água W8 = 228.101 kg/h T*8 = 15 oC Ac = 120 m2 W*5 = 36.345 kg/h T*5 = 80 oC W*5 = 36.345 kg/h T*5 = 80 oC W10 T*10 = 80 oC W9 T*9 = 30 oC 5 8 9 10 Água W8 T*8 = 15 oC Ac V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !

CONDENSADOR 20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 0 W5 T5 W10 T10 W9 T9 5 8 9 10 Ar Água W8 T8 CONDENSADOR 20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 0 21. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 0 22. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 0 25. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0

Resultando a rotina DimensionarCondensador 21. W10 = W5 23. Qc = W5 2 d1 = T5 - T9: d2 = T10 - T8 22. W8 = Qc / (Cp3 * (T9 - T8)) 20. W9 = W8 25. dc = (d1 - d2) / ln (d1 / d2) 24. Ac = Qc / (Uc * dc)

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SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR Problema proposto: determinar a vazão de água necessária para condensar 20.000 kg/h de benzeno, ao invés dos 36.345 kg/h para os quais foi calculada a área de 119 m2. Pretende-se que o benzeno deixe o condensador como líquido saturado. A água se encontra a 15 oC. W10 = 36.345 kg/h T*10 = 80 oC W9 = 228.101 kg/h T*9 = 30 oC 5 8 9 10 Água W8 = 228.101 kg/h T*8 = 15 oC Ac = 120 m2 W*5 = 36.345 kg/h T*5 = 80 oC W*5 = 20.000 kg/h T*5 = 80 oC W10 = T*10 = 80 oC W9 = T9 = 5 8 9 10 Água W8 = 228.101 kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = - 1 !!! resultado do dimensionamento Pretendido na simulação

Este problema difere da simulação do extrator e do resfriador porque contem uma meta: o benzeno deve sair como líquido saturado, logo a 80 oC. Daí: G = -1. W*5 = 20.000 kg/h T*5 = 80 oC W10 = T*10 = 80 oC W9 = T9 = 5 8 9 10 Água W8 = 228.101 kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!!

V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! V = 11 N = 5 C = 5 M = 1 G = 0 W*5 = 20.000 kg/h T*5 = 80 oC W10 = T*10 = 80 oC W9 = T9 = 5 8 9 10 Água W8 = 228.101 kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! V = 11 N = 5 C = 5 M = 1 G = 0 O problema só pode ser resolvido se alguma condição conhecida deixar de sê-lo. W*5 = 20.000 kg/h T*5 = 80 oC W10 = 20.000 kg/h T*10 = 80 oC W9 = 35.718 kg/h T9 = 67,7 oC 5 8 9 10 Água W8 = 35.718 kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 Uma solução consiste em transformar W8 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle.

resultado do dimensionamento resultado da simulação W10 = 36.345 kg/h T*10 = 80 oC W9 = 228.101 kg/h T*9 = 30 oC 5 8 9 10 Água W8 = 228.101 kg/h T*8 = 15 oC Ac = 120 m2 W*5 = 36.345 kg/h T*5 = 80 oC resultado do dimensionamento W*5 = 20.000 kg/h T*5 = 80 oC W10 = 20.000 kg/h T*10 = 80 oC W9 = 35.727 kg/h T9 = 67,7 oC 5 8 9 10 Água W8 = 35.727 kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 resultado da simulação

Resulta a rotina SimularCondensador 21. W10 = W5 23. Qc = W5 2 24. dc = Qc / (Uc Ac) 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 (Resolução por Bisseção) 22. W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) 20. W9 = W8

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EVAPORADOR 11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f13 - f14 = 0 W6 T6 W7 T7 W3 x13 T3 f13 f23 W4 x14 T4 f14 f24 4 6 7 Ae Vapor W5 T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato 11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f13 - f14 = 0 12. Balanço Material do Benzeno: f23 - f24 - W5 = 0 13. Balanço Material do Vapor: W6 - W7 = 0 14. Balanço de Energia na Corrente de Vapor: W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Balanço de Energia na Corrente de Processo: Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0 16. Equação de Dimensionamento: Qe - Ue Ae e = 0 17. Definição da Diferença de Temperatura (e): e - (T6 - Te) = 0 18. Fases em Equilíbrio T4 – Te = 0 19. Fases em Equilíbrio T5 – Te = 0 38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 0 39. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 0 40. Vazão Total na Corrente 4: f14 + f24 - W4 = 0 41. Fração Mássica na Corrente 4: x14 - f14/W4 = 0

DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 oC e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com 37.545 kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 oC. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 oC . O evaporador opera a 1 atm. W6 T*6 = 150 oC W7 T*7 = 150 oC W*3 = 37.345 kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 f23 W4 x*14 = 0,10 T4 f14 f24 4 6 7 Ae Vapor W5 T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC W6 = 8.569 kg/h T*6 = 150 oC W7 = 8.569 kg/h T*7 = 150 oC W*3 = 37.545 kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.225 kg/h W4 = 1.195 kg/h x*14 = 0,10 T4 = 80 oC f14 = 120 kg/h f24 = 1.076kg/h 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor W5 = 36.150 kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC V = 20 N = 13 C = 4 M = 3 G = 0 !

Resulta a rotina DimensionarEvaporador 15. De = T6 - T 35. f13 = W3 x13 09. f14 = f13 34. f23 = W3 - f13 37. W4 = f14 / x14 36. f24 = W4 - f14 10. W5 = f23 - f24 13. Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T - T3) + W5 L2 12. W6 = Qe / (L 3 + Cp3 (T6 - T7)) 11. W7 = W6 14. Ae = Qe / (Ue De)

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SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR Problema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m2 de área de projeto, fosse alimentado com 50.000 kg/h de solução e não mais com 37.545 kg/h. Pretende-se que o condensado saia como líquido saturado (150 oC). resultado do dimensionamento pretendido na simulação W6 = 8.615 kg/h T*6 = 150 oC W7 = 8.615 kg/h T*7 = 150 oC W*3 = 37.545 kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h W4 = 1.201 kg/h x*14 = 0,10 T4 = 80 oC f14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC W6 = 8.615 kg/h T*6 = 150 oC W7 = T*7 = 150 oC W*3 = 50.000 kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h W4 = x14 = T4 = f14 = f24 = 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor W5 = T5 = 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!!

Situação semelhante à da simulação do condensador W5 = T5 = W6 = 8.615 kg/h T*6 = 150 oC W7 = T*7 = 150 oC W*3 = 50.000 kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h W4 = x14 = T4 = f14 = f24 = 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!! Situação semelhante à da simulação do condensador W6 = 8.569 kg/h T*6 = 150 oC W7 = 8.569 kg/h T*7 = 150 oC W*3 = 50.000 kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 160 kg/h f23 = 49.840 kg/h W4 = 17.177 kg/h x14 = 0,0093 T4 = 80 oC f14 = 160 kg/h f24 = 17.017 kg/h 4 6 7 Vapor W5 = 32.823 kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC Ae= 124 m2 Uma solução consiste em transformar W6 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle. V = 20 N = 13 C = 6 M = 1 G = 0

resultado do dimensionamento resultado da simulação W6 = 8.569 kg/h T*6 = 150 oC W7 = 8.569 kg/h T*7 = 150 oC W*3 = 37.545 kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h W4 = 1.201 kg/h x*14 = 0,10 T4 = 80 oC f14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC W6 = 8.569 kg/h T*6 = 150 oC W7 = 8.569 kg/h T*7 = 150 oC W*3 = 50.000 kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 160 kg/h f23 = 49.840 kg/h W4 = 17.177 kg/h x14 = 0,0093 T4 = 80 oC f14 = 160 kg/h f24 = 17.017 kg/h 4 6 7 Vapor W5 = 32.823 kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC Ae= 124 m2 resultado da simulação

Resulta a rotina SimularEvaporador 15. De = T6 - T 14. Qe = Ue Ae De 12. W6 = Qe / (l3 + Cpv * (T6 - T7)) 11.W7 = W6 35. f13 = W3 * x13 09. f14 = f13 34. f23 = W3 - f13 13. W5 = (Qe - (f13 * Cp1 + f23 * Cp2l) * (T - T3)) / l2 10. f24 = f23 - W5 36. W4 = f14 + f24 37. x14 = f14 / W4

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3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global

É a estratégia mais indicada para dimensionamento. 3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS Existem duas estratégias básicas: - Estratégia Global - Estratégia Modular 3.4.1 ESTRATÉGIA GLOBAL Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos a que pertencem. O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado. É a estratégia mais indicada para dimensionamento.

Dimensionamento do Processo – Estratégia Global 01. f11 - f12 - f13 = 0 02. W15 - f23 = 0 03. f31 - f32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k - x13 / x12= 0 06. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 0 08. r - f13/f11 = 0 09. T2 – Td = 0 10. T3 – Td = 0 20. W8 - W9 = 0 21. W5 - W10 = 0 22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Qc - Uc Ac c = 0 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 26. W11 - W12 = 0 27. W10 - W13 = 0 28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Qr - Ur Ar r = 0 31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0 11. f13 - f14 = 0 12. f23 - f24 - W5 = 0 13. W6 - W7 = 0 14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0 16. Qe - Ue Ae e = 0 17. e - (T6- Te) = 0 18. T4 – Te = 0 19. T5 – Te = 0 32. W13 + W14 - W15 = 0 33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 /W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 /W3 = 0 40. f14 + f24 - W4 = 0 41. x14 - f14/W4 = 0

Dimensionar Processo (03) T3 = T2 (13) T4 = T5 (16) e = T6 - T5 (22) D1 = T5 - T9: D2 = T10 - T8 : c = (D1 - D2) / ln (D1 / D2) (32) f11 = W1 x11 (08) f13 = f11 r (31) f31 = W1 - f11 (01) f12 = f11 - f13 (09) f14 = f13 (03) f32 = f31 (04) f23 = f13 f32 / (k f12) (34) W4 = f14 / x14 (02) W15 = f23 (33) f24 = W4 - f14 (05) T15 = T2 - (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - T2) / (W15 Cp2l) (07) Vd =  (f11 / 1 + W15 /  2 + f31 /  3) (10) W5 = f23 - f24 (14) Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T5 - T3) + W52

(18) W10 = W5 (20) Qc = W5 (2 + Cp2l (T5 - T10)) (12) W6 = Qe / ( 3 + Cp3 (T6 - T7)) (15) Ae = Qe / (Ue  e) (24) W13 = W10 (19) W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) (21) Ac = Qc / (Uc  c) (11) W7 = W6 (29) W14 = W15 - W13 (17) W9 = W8 (30) T13 = T15 + W14 (T15 - T14) / W13 (26) Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) (28) D1 = T10 - T12: D2 = T13 - T11:  r = (D1 - D2) / ln (D1 / D2) (25) W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) (27) Ar = Qr / (Ur  r) (23) W12 = W11

Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Evaporador Condensador Resfriador Misturador Simular Processo

3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.4.2 Estratégia Modular

Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento. 3.4.2 Estratégia Modular Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento. Cada módulo contem as equações já ordenadas para dimensionamento ou simulação (Seção 3.3). Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo. Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma. É a estratégia mais indicada para simulação.

Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Evaporador Condensador Resfriador Misturador Simular Processo

Simulação do Processo Ilustrativo Estratégia Modular

O fluxograma exibe um reciclo. MISTURADOR RESFRIADOR CONDENSADOR W*14 = 1.080 kg/h T*14 = 25 oC 14 W12 = 59.969 kg/h T12 = 29 oC W12 = 232.603 kg/h T12 = 29 oC 12 O fluxograma exibe um reciclo. 9 13 10 Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor número possível de variáveis (simplificar o gerenciamento da convergência): no caso, foi selecionada a corrente 5 (é preciso gerenciar apenas W5). W13 = 36.284 kg/h T13 = 25 oC W10 =36.284 kg/h T*10 = 80 oC A*r = 361 m2 A*c = 119 m2 11 8 W11 = 59.969 kg/h T*11 = 15 oC W8 = 232.603 kg/h T*8 = 15 oC W5 = 36.284 kg/h T*5 = 80 oC 15 W15 = 37.328 kg/h T13 = 25 oC Implementa-se um módulo promotor de convergência: no caso, o de Substituição Direta. W3 = 37.477 kg/h x13 = 0,004 T3 = 25 oC f13 = 149 kg/h f23 = 37.328 kg/h 5 EXTRATOR BOMBA EVAPORADOR O valor inicial arbitrado para W5 pode ser aquele obtido no Dimensionamento. 3 A*e = 124 m2 1 V*d = 11.859 l W6 =8.594 kg/h T*6 = 150 oC  = 0,0617 h Extrato W*1 = 150.000 kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 = 300 kg/h f31 = 149.700 kg/h r = 0,50 7 6 W2 = 149.850 kg/h x12 = 0,001 T2 = 25 oC f12 = 150 kg/h f32 = 149.700 kg/h A cada iteração o módulo confere a convergência e atualiza o valor de W5 W7 = 8.594 kg/h T*7 = 150 oC W4 = 1.130 kg/h x14 = 0,12 T4 = 80 oC f14 = 150 kg/h f24 = 1.080 kg/h 2 4 Rafinado

Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular W45 T14 RESFRIADOR CONDENSADOR 24. W13 23. W12 25'. Qr 28. T13 27. T12 26. r W10 T10 18. W10 20. Qc 19. c 22'. T9 21. W8 17. W9 W13 T13 MISTURADOR 29. W15 30. T15 Repetição até convergir |W5c – W5a| / W5a   erro relativo W15 T15 W5a T5 SS W5c W1 T1 x11 f11 f31 EXTRATOR EVAPORADOR 02. f23 32. f11 31. f31 03. f32 05. T2 07.  06. T3 01' f12 04. f13 08. r 09. f14 13. T4 16. e 15. Qe 12. W6 14. W5 10. f24 11. W7 33. W4 34. x14 f13 f23 T3 T2 f12 f32 W4 T4 x14 f14 f24

SUB SimularOProcesso '---------------------------------------------------------------------------- INPUT "W5= "; W5c W5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c)) NoDeIteracoes = 0 DO W5a = W5c SimularOCondensador SimularOResfriador SimularOMisturador SimularOExtrator SimularOEvaporador MostrarOResultado NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a PausaSeQuizer LOOP UNTIL Convergir END SUB

Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Evaporador Condensador Resfriador Misturador Simular Processo

Simulação de Processos com Estrutura Complexa 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Problema: Estabelecer uma estratégia de cálculo e implementá-la sob a forma de um algoritmo executável em computador. Cada equipamento é representado por um módulo computacional em que as equações se encontram ordenadas para simulação. A estratégia de cálculo é a ordem em que os equipamentos devem ser simulados.

Simulação de Processos com Estrutura Complexa 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Dificuldade: os diversos reciclos Procedimento: (a) identificação dos ciclos. (b) seleção das correntes de abertura (c ) construção do algoritmo de simulação

Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado. (a) Identificação dos Ciclos 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Pode-se utilizar o Método do Traçado de Percursos (labirinto) Percorre-se o fluxograma anotando, numa lista dupla, as correntes (LC) e os equipamentos visitados (LE). Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado. Corrente: 1 2 3 4 Destino : 1 2 3 1 Equipamento 1 já visitado : ciclo 2 3 4

ALGORITMO RESUMIDO (a) Identificação dos Ciclos 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 ALGORITMO RESUMIDO Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

Os Ciclos encontrados são registrados na MATRIZ CICLO - CORRENTE 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14

APLICAÇÃO AO PROBLEMA ILUSTRATIVO

3 4 5 6 7 1 1* 2 8 9 10 11 12 13 14 7 C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8 13 2 7 C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8 13 2 C: 1 2 3 5 D: 1 2 3 4 7 6 5 8 6 11 10 4 7 6 5 8 6 11 10 4 1 1 2 2 2 2 3 3 5 4 1 3 3 5 4 1 C: D: C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8 13 2 13 2 C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7 12 9 5 8 6 11 10 4 12 9 5 8 6 11 10 4 12 C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8 13 2 12 C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8 C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8 C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7 13 2 Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

(b) Seleção das Correntes de Abertura Matriz Ciclo - Corrente A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3 C ALGORITMO Calcular os elementos de C Repetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = 0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3 C A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0 0 0 2 1 1 1 3 0 0 0 0 0 0 4 1 1 1 1 5 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0 C 3 A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0 0 0 2 1 1 1 3 0 0 0 0 0 0 4 1 1 1 1 5 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0 C 3 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C 3 8 A

(c) Construção do Algoritmo de Simulação Corrente 1: única conhecida 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Abrir C3 REPETIR Simular E3 (C4,C5) Simular E1 (C2) Abrir C8 REPETIR Simular E6 (C10,C11) Simular E4 (C6,C7 ) Simular E7 (C9, C12) Simular E5 (C8) ATÉ Convergir C8 Simular E8 (C13, C14) Simular E2 (C3) ATÉ Convergir C3

3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade

ASSUNTO TRANSFERIDO PARA DEPOIS DO CAPÍTULO 4

Análise de Sensibilidade 3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE A Análise de Processos é executada em ambiente de muita incerteza. Fontes de incerteza: modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes... (b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis). A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da Análise de Sensibilidade

A Análise de Sensibilidade avalia os efeitos da incerteza através de dois questionamentos ao final do dimensionamento, (a) questionamento do próprio dimensionamento: Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ? (b) questionamento do desempenho futuro: Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto que serviram de base para o dimensionamento?

Fazem parte da Análise: - as variáveis características do dimensionamento: dimensões. - as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto). - os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros).

Fundamento da Análise de Sensibilidade Exemplo: Trocador de Calor T1* = 80 oC W1* = 30.000 kg/h A = 265,6 m2 T 2* = 25 oC W3 = 44.000 kg/h T3* = 15 oC T4* = 30 oC : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3. F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A.

Fundamento da Análise de Sensibilidade : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3. F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A. S (F; i): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro i. Exemplo: i * F i A Sensibilidade é função do parâmetro 

Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e i / i* Vantagens: (a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros. (b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau. Nova definição de Sensibilidade: Exemplo

Sensibilidade de F/F* à incerteza em i / i* 1 F/F* i / i * 

Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada Em processos complexos é impossível obter a derivada  aproximação linear Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada

|S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida S(F/F*;i/ i*) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza de 1% em i |S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida

DIMENSIONAMENTO ORIGINAL [U = 101] A = 262,93 m2 T1* = 80 oC W1* = 30.000 kg/h T3* = 15 oC W3 = 44.000 kg/h T4* = 30 oC T 2* = 25 oC QUESTIONAMENTO DO PROJETO Re-dimensionamento com U = 101 DIMENSIONAMENTO ORIGINAL (BASE) T1* = 80 oC W1* = 30.000 kg/h A = 265,6 m2 [U = 100] T 2* = 25 oC W3 = 44.000 kg/h T3* = 15 oC T4* = 30 oC S(W3;U) = 0 S(A;U) = 100 (262,93-265,6)/265,6 = - 0,99 S (T4;U) = 100(30,047-30)/30 = 0,156 S (T2;U) = 100 (24,828-25)/25 = - 0,686 [U = 101] T2 = 24,828 oC T1* = 80 oC W1* = 30.000 kg/h T3* = 15 oC W3* = 44.000 kg/h T4 = 30,047 oC A* = 265,6 m2 QUESTIONAMENTO DO DESEMPENHO Simulação com U = 101

A Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros, considerados simultaneamente, pode ser estimada: Para um incremento de 1% em todos os parâmetros (aproximação da derivada): Ou seja, a Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros é a soma das Sensibilidades a cada parâmetro:

Questionamento do Projeto Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e variável especificada e ao conjunto: i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i) W1 1 0,93 T1 1,45 0,45 1,21 T3 1,01 0,56 0,88 Cp1 Cp3 - 1 - 0,78 U - 0,13 S(F; ) 3,46 2,01 3,04 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.

Questionamento do Projeto Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e ao conjunto de parâmetros: i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i) S(F; ) 3,46 2,01 3,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores de corretos de W3, A e CT estariam afastados de seus valores-base (calculados no dimensionamento) nos percentuais acima.

Questionamento do Desempenho Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: i S(T2; i) S(T4; i) W1 0,80 0,32 T1 0,48 0,63 T3 0,37 W3 - 0,12 - 0,47 A - 0,68 0,17 Cp1 Cp3 U S(F; ) 0,96 1,04 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.

Questionamento do Desempenho Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: i S(T2; i) S(T4; i) S(F; ) 0,96 1,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores reais esperados para T2 e T4 , durante a operação do trocador, estariam afastados de seus valores-base nos percentuais acima.

FIM

EXTRATOR: DIMENSIONAMENTO

EXTRATOR: SIMULAÇÃO

EVAPORADOR: DIMENSIONAMENTO

EVAPORADOR: SIMULAÇÃO

EXEMPLO: convergência pela Bisseção 31. x31 = 1 – x11 32. x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x13 01. W2 = W1 x31 / x32 02. W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura x12a 32 04 07 02 01 x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

32 04 07 02 01 x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) Esquema de convergência pela Bisseção f (x) fs Até convergir f2 xi x1 fi f1 x2 xs x f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

EXEMPLO: convergência pela Substituição Direta 31. x31 = 1 – x11 32. x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x13 01. W2 = W1 x31 / x32 02. W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura x12a 32 04 07 02 01 x31 x32 x13 W3 W2 SD x12a = x12c x12c x12c = (W1 x11– W3 x13) / W2

Um instrumento fundamental para a resolução de problemas ALGORITMO

Algoritmos podem ser programas em computadores ALGORITMO é uma seqüência inequívoca de ações bem definidas que conduzem sempre à solução de um problema O exemplo mais trivial e prosaico de algoritmo é uma receita culinária. Um outro no campo da matemática é o da extração da raiz quadrada de um número. Algoritmos podem incluir etapas repetitivas (iterações) ou exigir decisões (lógica e comparações). Algoritmos podem ser programas em computadores Assim, qualquer pessoa, ou mesmo um computador por ela programado, chegará sempre à solução do problema. Existem algoritmos complexos e poderosos capazes de gerar outros algoritmos (Inteligência Artificial)

Origem dos Algoritmos An algorithm is a procedure or formula for solving a problem. The word derives from the name of the mathematician, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, who was part of the royal court in Baghdad and who lived from about 780 to 850. Al-Khwarizmi's work is the likely source for the word algebra as well. www.nist.gov/dads/html/algorithm.html