Tecnologias - Matemática Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 3ª Série Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse

Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Definição: Uma elipse é o lugar geométrico formado pelas posições ocupadas por um ponto que se move em um plano de maneira que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos no referido plano é sempre igual a uma constante maior do que a distância entre os dois pontos fixos. B1 B2 A1 A2 (0;b) P(x;y) (a;0) x y F2(c;0) (0; -b) a F1(-c;0) (-a;0) Ilustração baseada em: www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-elipse.htmlari

Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse OBSERVAÇÃO Os pontos fixos são denominados focos da elipse. A definição de uma elipse não exclui o caso em que o ponto móvel se encontra sobre o segmento retilíneo delimitado pelos focos. F1 F2

Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse A reta que passa pelos focos é chamada eixo focal. O eixo focal intercepta a elipse em dois pontos, A1 e A2, denominados vértices. A porção do eixo focal delimitada pelos vértices, o segmento A1A2, é denominado eixo maior. O ponto sobre o eixo focal, equidistante dos focos, é denominado centro. A reta que passa pelo centro perpendicularmente ao eixo focal é chamada de eixo normal. O eixo normal intercepta a elipse em dois pontos, B1 e B2, e o segmento B1B2 é denominado eixo menor. B1 B2 A1 A2 (0;b) P(x;y) (a;0) x y F2(c;0) (0; -b) a F1(-c;0) (-a;0) Imagem baseada em: www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-elipse.html

EQUAÇÃO PADRÃO DA ELIPSE MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse EQUAÇÃO PADRÃO DA ELIPSE Consideremos a elipse cujo centro está na origem e cujo eixo focal é coincidente com o eixo X. B1 B2 A1 A2 (0;b) P(x;y) (a;0) x y F2(c;0) (0; -b) a F1(-c;0) Imagem baseada em: www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-elipse.html (-a;0) Uma vez que o centro O é o ponto médio do segmento retilíneo F1F2, atribuímos a F1 e F2 as coordenadas (-c, 0) e (c, 0), respectivamente, sendo c uma constante positiva. Seja P(x, y) qualquer ponto sobre a elipse. Então, segundo a definição de elipse, o ponto P deve satisfazer a condição geométrica |F1P| + |F2P| = 2a, onde a é uma constante positiva maior do que c.

Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Dessa forma: √(x-c)²+y² + √(x+c)² +y²=2a B1 B2 A1 A2 (0;b) P(x;y) (a;0) x y F2(c;0) (0; -b) a F1(-c;0) (-a;0) Imagem baseada em: www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-elipse.html

(a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²) MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse A fim de simplificar a equação transpomos ao segundo membro o segundo radical, elevamos ao quadrado, simplificamos e reduzimos os termos seme-lhantes; isto nos dá cx + a² = a√(x + c)² + y² Novamente elevando ao quadrado e simplificando chegamos a (a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²) B1 B2 A1 A2 (0;b) P(x;y) (a;0) x y F2(c;0) (0; -b) a F1(-c;0) (-a;0) Imagem baseada em: www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-elipse.html

Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Visto ser 2a > 2c, a² > c² e (a² − c²) é um número positivo que podemos substituir pelo número positivo b². Obtemos: b²x² + a²y² = a²b² que, dividido por a²b² assume a forma x² + y² = 1 a² b² ̇ x F2 y a b

Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse OBSERVAÇÃO 1 Para elipses com focos no eixo Y e centro em O(0, 0) a equação é x² + y² = 1 b² a² ̇ F1 F2 a x y b

Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse OBSERVAÇÃO 2 Para elipses com centro C(x’, y’) em que x’ e/ou y’ é diferente de zero, temos (x – x’)² + (y – y’)² = 1 ou (x – x’)² + (y – y’)² = 1 a² b² b² a² ̇ elipse de eixo maior horizontal elipse de eixo maior vertical . F1 F2 a x y b x F2 y a b C(x’, y’) F1

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Excentricidade A excentricidade de uma elipse é dada pela expressão: e = c a Onde 0 < e < 1. e = 0,8 e = 0,6

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse OBSERVAÇÃO 1 e = 0 → circunferência

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse OBSERVAÇÃO 2 e = 1 → parábola Obs: e = 1 neste caso corresponde a y^2=0 (reta dupla) mas que de modo geral será a excentricidade de uma parábola (a ser visto em outra aula).

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse OBSERVAÇÃO 3 e > 1 → hipérbole Obs: corresponde à excentricidade de uma hipérbole.

Propriedades da elipse MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Propriedades da elipse A tangente à elipse b²x² + a²y² = a²b² em qualquer ponto P1(x1, y1) sobre a curva tem por equação b²x1x + a²y1y = a²b². y x P(x1, y1)

Propriedades da elipse MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Propriedades da elipse 2. As equações das tangentes de declividade m à elipse b²x² + a²y² = a²b² são y = mx ± √ a²m² + b² y x

Propriedades da elipse MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Propriedades da elipse 3. A normal a uma elipse em qualquer ponto sobre a curva é a bissetriz do ângulo formado pelos raios focais daquele ponto. a F F’ P tangente normal Imagem baseada em: http://alfaconnection.net/pag_avsm/geo0501.htm

Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Com base, então, nas propriedades da elipse, podemos determinar a equação da reta normal à elipse que passa por um ponto P(x’, y’) pertencente a ela mesma. Sabemos que a reta normal é perpendicular à elipse no ponto P e, portanto, perpendicular à reta tangente à elipse nesse mesmo ponto P. P(x’,y’) Reta tangente Reta normal y x

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Da primeira propriedade concluímos que o coeficiente angular da reta tangente à elipse que passa pelo ponto P(x’, y’) pertencente à elipse é dado por: mtg = ‗ b2x’ a2y’ Portanto: mnormal = a2y’ b2x’ Logo, a equação da reta normal será dada por: y – y’ = a2y’ (x − x’) Que, simplificando, resulta em: a2y’x − b2x’y = x’y’(a2 − b2)

CONSTRUÇÃO DE UMA ELIPSE MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse CONSTRUÇÃO DE UMA ELIPSE Em um plano cartesiano podemos construir uma elipse a partir de duas circunferências concêntricas, C(0, 0), e raios distintos. Primeiro traçamos raios da circunferência maior. Em seguida, a partir de cada ponto da circunferência maior determinado pelo respectivo raio traçamos segmentos paralelos ao eixo menor da elipse, tendo como outro extremo um ponto do eixo maior e, a partir dos pontos de interseção dos raios com a circunferência menor, traçamos segmentos paralelos ao eixo maior até interceptar o segmento anterior, esses pontos determinam a elipse, como mostra a figura. x

CONSTRUÇÃO DE UMA ELIPSE MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse CONSTRUÇÃO DE UMA ELIPSE Determinados os focos da elipse e o valor de a constroem-se pares de circunferências, centradas nos focos da elipse, de tal forma que a soma de seus raios seja igual a 2a. Assim, os pontos de interseção desses pares de circunferências determinam a elipse, como mostra a figura.

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse CURIOSIDADE O alemão Johannes Kepler (1571-1630) realizou contribuições a diversas áreas do conhecimento, como na Matemática e na Astronomia. Em seus estudos sobre os movimentos dos planetas, Kepler formulou três leis que são consideradas marcos na história da Astronomia, entre elas a que descreve como elíptica a trajetória orbital dos planetas, tendo o Sol como um dos focos.

Atividades resolvidas MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Atividades resolvidas Determine as coordenadas dos focos das elipses cujas equações estão indicadas: (x + 2)2 + (y – 8)2 = 1 100 64 Dados: a2 = 100 c2 = a2 – b2 b2 = 64 c2 = 100 – 64 C(−2, 8) c2 = 36 → c = 6 Como o eixo maior é paralelo ao eixo X, temos: F1(xc – c, yc) e F2(xc + c, yc) Logo: F1(−2 – 6, 8) e F2(−2 + 6, 8) → F1(−8, 8) e F2(4, 8) b) 9y2 + 25x2 + 18y = 216 25x2 + 9y2 +18y +9 = 216 + 9 Daí, resulta: C(0, −1) 25x2 + 9(y2 + 2y + 1) = 225 a2 = 25 → c2 = 16 → c = 4 Dividindo os dois membros por 225, obtemos: b2 = 9 x2 + (y + 1)2 = 1 Como o eixo maior é vertical, teremos: 9 25 F1(xc, yc – c) e F2(xc, yc + c) Portanto: F1(0, −5) e F2(0, 3)

Atividades resolvidas MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Atividades resolvidas 2. Escreva a equação da elipse de focos F1(−4, −1) e F2(−4, 5) que passa pelo ponto P(0, 2). Calculando as distâncias do ponto P aos focos, temos: dPF1 = dPF2 = dPF1 = dPF2 = dPF1 = 5 dPF2= 5 Portanto: 2a = 5 + 5 → 2a = 10 → a = 5 Como o eixo maior é vertical, temos: 2c = yF2 – yF1 → 2c = 5 – (−1) → 2c = 6 → c = 3 e C −4, −1 + 5 → C(−4, 2) 2 Assim: b2 = a2 – c2 → b2 = 25 – 9 → b2 = 16 Logo, teremos: (x + 4)2 + (y – 2)2 = 1 16 25

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Atividades propostas Uma elipse tem seu centro na origem e um de seus vértices é o ponto (0, 7). Se a elipse passa pelo ponto ( , 14/3), determinar sua equação e excentricidade. 2. Os focos de uma elipse são (3, 8) e (3, 2) e o comprimento de seu eixo menor é 8. Determinar a equação da elipse, as coordenadas de seus vértices e sua excentricidade. 3. Escreva a equação da elipse de centro C(4, 3) e que passa pelos pontos (4, 6) e Q(8, 3). Qual é a excentricidade dessa elipse?