EE240/2009 Design of Experiments

Planejamento de Experimentos ou Experiment Design

fatores não manipuláveis Processo entradas saídas y x1 x2 xp fatores manipuláveis ... z1 z2 zq fatores não manipuláveis (nuisance) Planejamento de Experimento: selecionar fatores manipuláveis x1, ... ,xp e determinar formas de utilizá-los em experimentos, de modo que sejam obtidas informações suficientes sobre o processo com pequeno número de ensaios. Otimizar o processo: dado um critério quantitativo, encontrar a combinação dos níveis dos fatores controláveis que levam à melhor resposta y.

Exemplo Fatores que interferem na durabilidade de uma lâmpada incandescente: Temperatura Ambiente? Ciclos Liga-Desliga? Tensão Aplicada? Umidade do Ar? Vibração? Como planejar experimentos com estes fatores? Qual a estimativa de RUL, sabendo-se que a temperatura ambiente será mantida em 22oC, o número de ciclos liga-desliga é de 5 em 5 horas, a tensão é regulada 110 ± 2V, a umidade do ar é controlada em 70% e a vibração é menor do que 0.02m/s2?

Roteiro para a realização de um experimento Identificar e estabelecer o problema Escolha dos fatores e de seus níveis Seleção da variável resposta Escolha do projeto experimental Realização do experimento Análise estatística dos dados Conclusões e recomendações

Conceitos Importantes Níveis: valores que podem ser assumidos por cada fator manipulável Tratamentos: uma particular combinação de níveis dos fatores incluídos no estudo experimental. Replicações: repetições de um ensaio em cada condição tratamento para avaliar erros experimentais Aleatorização: forma de realizar os ensaios em que a seqüência é aleatória, evitando biases. Blocagem: organização das unidades experimentais em subgrupos mais homogêneos.

Exemplo Experimento com Um Fator Considere o problema de comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2 e C3, em termos do tempo médio de transmissão de pacotes de dados entre duas máquinas. Realizou-se um experimento com 8 replicações com cada tipo de rede, aleatorizando a ordem dos 24 ensaios e mantendo fixos os demais fatores manipuláveis. Deseja-se testar as hipóteses: H0: os tempos de transmissão são iguais para os três tipos de rede; e H1: os tempos de transmissão não são todos iguais (depende do tipo de rede).

fatores não manipuláveis Setup Experimental Processo entradas saídas y = tempo médio de transmissão fatores x assumindo valores C1, C2 e C3 ... z1 z2 zq fatores não manipuláveis (nuisance)

Resultados Obtidos Tipo de rede Replicação C1 C2 C3 1 7,2 7,8 6,3 2 9,3 8,2 6,0 3 8,7 7,1 5,3 4 8,9 8,6 5,1 5 7,6 6,2 6 5,2 7 8,8 8 8,0 6,8 Média 8,21 7,94 6,01

ANOVA Tratamento Replicação 1 2 ... g y11 y21 yg1 y12 y22 yg2 n y1n Soma y1. y2. yg. Média df = N - 1 onde: N = ng

Teste F Se H0: 1 = 2 =...= g = 0 for verdadeira, a estatística F tem distribuição F com (g - 1) graus de liberdade no numerador e (N - g) graus de liberdade no denominador. F p p  , rejeita H0 p > , aceita H0

Exemplo Experimento com Um Fator Considere o problema de comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2 e C3, em termos do tempo médio de transmissão de pacotes de dados entre duas máquinas. Realizou-se um experimento com 8 replicações com cada tipo de rede, aleatorizando a ordem dos 24 ensaios e mantendo fixos os demais fatores manipuláveis.

ANOVA1 One-way analysis of variance (ANOVA). ANOVA1 performs a one-way ANOVA for comparing the means of two or more groups of data. It returns the p-value for the null hypothesis that the means of the groups are equal. The p-value is the probability of obtaining a result at least as extreme as the one that was actually observed, assuming that the null hypothesis is true. The lower the p-value, the less likely the result, assuming the null hypothesis. One often uses p-values of 0.05 or 0.01, corresponding to a 5% chance or 1% of an outcome that extreme, given the null hypothesis.

Exemplo Experimento com Um Fator Considere o problema de comparar 3 tipos de rede de computadores, C1, C2 e C3, em termos do tempo médio de transmissão de pacotes de dados entre duas máquinas. Realizou-se um experimento com 8 replicações com cada tipo de rede, aleatorizando a ordem dos 24 ensaios e mantendo fixos os demais fatores manipuláveis. Tipo de rede Média 8,21 7,94 6,01 > p = anova1([c1 c2 c3]) f = 21.07 p < 0.01 Não há diferença estatisticamente significativa entre os tempos

Comparação de 2 tratamentos Comparação de um lubrificante (A) com outra (B) na durabilidade de mancais (Y): H0: B = A H1: B > A

Resultado dos Ensaios Número do Mancal Tipo do Lubrificante Durabilidade 1 A 29,9 2 11,4 3 B 26,6 4 23,7 5 25,3 6 28,5 7 14,2 8 17,9 9 16,5 10 21,1 11 24,3

Lubrificante A Lubrificante B 29,9 26,6 11,4 23,7 25,3 28,5 16,5 14,2 21,1 17,9 24,3 médias: diferença entre as médias: A diferença entre as médias amostrais 1,69 é suficientemente grande para rejeitar H0? (H0: B = A)

TTEST2 Two-sample T-test with pooled or unpooled variance estimate TTEST2 Two-sample T-test with pooled or unpooled variance estimate. H = TTEST2(X,Y) performs a T-test of the hypothesis that two independent samples, in the vectors X and Y, come from distributions with equal means, and returns the result of the test in H. H==0 indicates that the null hypothesis ("means are equal") cannot be rejected at the 5% significance level. H==1 indicates that the null hypothesis can be rejected at the 5% level. The data are assumed to come from normal distributions with unknown, but equal, variances.

> h = ttest2(A,B) h=0 Lubrificante A Lubrificante B 29,9 26,6 29,9 26,6 11,4 23,7 25,3 28,5 16,5 14,2 21,1 17,9 24,3 > h = ttest2(A,B) h=0

Durabilidade de Pneus divisão aleatória Fabricante A Fabricante B

Amostras Pareadas Fabricante A Fabricante B

Amostras Pareadas Durabilidade Fabricante A Fabricante B Aeroplano 1 2 3 4 5 ...

Exemplo: Teste t para Dados Pareados Aeroplano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dif. (B - A) 0.8 0.6 0.3 -0.1 1.1 -0.2 0.5 H0: D = 0 vs. H1: D  0 gl = n - 1 = 9  p  0,009  rejeita H0 Média Desvio padrão

Planejamento Fatorial de Experimentos B entradas saídas Processo y Todas as combinações de ai e bj

Exemplo (Freitas, 2001, p.277) Considere o problema de estudar os efeitos do tamanho da memória principal (fator A) e tamanho da memória cache (fator B) no desempenho de um sistema de arquivos de uma rede local de computadores (LAN). O fator A foi ensaiado nos níveis 128 e 256 Mbytes e o fator B nos níveis 256 e 512 kbytes.

+   + A B Exemplo com k = 2 e 1 observação por tratamento: y(A+,B–) = a y(A+,B+) = ab +  y(A–,B–) = (1) y(A–,B+) = b B  +

A a = 40 ab = 52 +  (1) = 20 b = 30 B  + ef(A) = (40 + 52)/2  (20 + 30)/2 = 21

A a = 40 ab = 52 +  (1) = 20 b = 30 B  + ef(B) = (30 + 52)/2  (20 + 40)/2 = 11

40 52 30 20 – + Fator A Fator B B B+ A A+ y = 35,5 + 10,5*x 1 + 5,5*x 2 ef(A) = (40 + 52)/2  (20 + 30)/2 = 21 ef(B) = (30 + 52)/2  (20 + 40)/2 = 11

EXEMPLO DE UM PROJETO 23 Barbetta, Reis e Bornia, 2004, p. 44 Um estudo foi desenvolvido para verificar os fatores que influenciam a qualidade da transmissão de dados através da porta serial de microcomputadores. Observou-se a taxa de falhas de transmissão em função dos fatores: velocidade da transmissão (2400 / 9600 bauds), tamanho do arquivo (100 / 200 bytes) e comprimento do cabo serial (15 / 20 m).

+  ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8 trata- mento (1) a b ab c ac bc abc y = q0 + q1x1+ q2x2 + q3x3 + q12x1x2 + q23x2x3 + q13x1x3 + q123x1x2x3 ensaio 1 2 3 4 5 6 7 8 trata- mento (1) a b ab c ac bc abc A B C AB AC BC ABC    + + +  +     + +  +   +  + + +  +      + +   + +  +  +    + +   +  + + + + + + +

Projeto de experimento fatorial fracionado de dois níveis: 2k-p abc Exemplo 23 -1: a ab + c A bc – + C – (1) b – + B

trata - mento a b c abc ab ac bc (1) efeito fatorial I A B C AB AC BC ABC + Observe: A = BC; B = AC; C = AB Isto é, ao calcular o efeito A, na verdade está se calculando O efeito de A + BC (há confusão entre esses efeitos)

Tipos de resoluções Resolução III: os efeitos principais não estão confundidos entre si, mas estão confundidos com interações de segunda ordem (2III3-1); Resolução IV: os efeitos principais não estão confundidos entre si e nem com interações de segunda ordem, mas estas podem estar confundidas entre si (2IV4-1); Resolução V: os efeitos principais e as interações de segunda ordem não estão confundidos entre si, mas somente com interações de ordem superior (2V5-1)

Muito Obrigado!