Medindo a Terra e a Lua por José Roberto Costa 1- A Circunferência da Terra 2- A Distância Terra-Lua 3- A Distância Terra-Sol 4- O Tamanho da Lua Você já se perguntou como é possível medir o tamanho da Terra ou da Lua? Ou como se pode ter certeza da distância que estamos do Sol, se nenhum ser humano a percorreu até hoje? Muitos devem imaginar que para tanto sejam necessários complicados cálculos matemáticos ou ainda os sofisticados instrumentos das naves espaciais. Outros talvez simplesmente duvidem de que tais façanhas sejam verdadeiras. Nesta apresentação vamos descobrir que estas medidas foram feitas pela primeira vez muito antes da conquista espacial. E também vamos compreender que, além de confiáveis, elas são fruto de contas maravilhosamente simples e elegantes, que aprendemos a fazer ainda no 1o grau.

Eratóstenes e a Circunfêrencia da Terra Egito - Século III a.C. Eratóstenes (Egito - século III a.C.), bibliotecário-chefe da Biblioteca de Alexandria, encontra, num papiro, indicações de que ao meio-dia a cada 21 de junho, na cidade de Siena, 800 Km ao sul de Alexandria, uma vareta fincada verticalmente no solo não produzia sombra. Ele verifica que o mesmo fenômeno não ocorre no mesmo dia e horário em Alexandria e concluí que para isso acontecer a Terra não deveria ser plana, como alguns acreditavam na época.

Duas Retas Paralelas e uma Transversal Siena a Alexandria a Siena Eratóstenes concluí também que poderia medir a circunferência da Terra através de uma geometria muito simples. Ele chega a um valor bastante próximo do encontrado atualmente (cerca de 40.072 km). Um erro muito pequeno para uma medida tão simples e feita há tanto tempo!

Observação e raciocínio Triângulo Retângulo Tudo o que Eratóstenes precisou para tal feito foi não desprezar um fenômeno aparentemente trivial, como o comprimento de sombras e a posição do sol no céu e raciocinar um pouco sobre aquelas informações. O conhecimento que Eratóstenes utilizou é, nos dias de hoje, formalmente adquirido na sétima série do primeiro grau. Ao longo desta apresentação precisaremos relembrar alguns destes conceitos.

Sol, Terra e Lua não estão em escala! Calculando a distância Terra - Lua Hiparcos (Sec. II a.C.) R X=? Sol, Terra e Lua não estão em escala! Semi-diâmetro do Sol: c=16’ O ângulo a é muito pequeno a + b = c + d b  c + d Hiparcos mede a distância da Terra a Lua. Note que não era necessário saber de antemão qual o raio da Terra para efetuar essa medida. Hiparcos encontra um valor muito próximo do valor médio medido atualmente: 60 vezes o raio da Terra. R é o raio da Terra Hiparcos achou X entre 62 e 74 vezes R Período orbital da Lua é conhecido: T Mede-se a duração do eclipse: E Calcula-se o ângulo d: 360º  T 2 x d  E

Calculando a distância Terra - Lua Método da paralaxe O método da paralaxe é mais moderno e mostra que existem várias maneiras de se obter uma mesma medida. Baseia-se na comparação de uma observação da Lua feita por dois observadores em pontos extremos da Terra, porém sobre um mesmo meridiano, quando então se obtêm uma diferença angular que é usada para calcular a distância Terra - Lua, conhecido o raio da Terra.

Calculando a distância Terra - Sol Aristarco de Samos (Sec. III a.C.) Sol, Terra e Lua não estão em escala! Para calcular a distância Terra - Sol Aristarco de Samos utilizou uma geometria de extrema elegância e simplicidade. Repare que ele o fez no mesmo século de Eratóstenes, mas já conhecia a distância Terra - Lua, o que nos revela o quanto de conhecimento destes sábios antigos perdemos ao longo da história.

Calculando o tamanho da Lua Para calcular o tamanho da Lua levamos em conta que podemos ter uma idéia da distância de um objeto se medirmos o ângulo pelo qual o observamos. É preciso lembrar, no entanto, que o ângulo pelo qual vemos a Lua pode variar um pouco em virtude de sua órbita não ser uma circunferência perfeita com a Terra no centro. Mesmo assim ainda obtemos resultados bastante precisos.

As medidas são confiáveis. Conclusões importantes As medidas são confiáveis. 0s cálculos são simples. A chave é a imaginação! Muito mais importante que o conhecimento, a criatividade e a observação foram vitais para fazer estas medidas. Infelizmente, nos dias de hoje, muitas escolas ainda ensinam nossas crianças sobre geometria ou trigonometria sem lembrar destes maravilhosos feitos da antigüidade. E então, desinteressadas com algo que não parece ter outra utilidade a não ser a cobrança nas provas, elas vão aos poucos perdendo a maior virtude que possui o ser humano: o dom de pensar. © Copyright 1998 – José Roberto de Vasconcelos Costa Monitor do Centro de Divulgação da Astronomia da Universidade de São Paulo, campus de São Carlos. jr_costa@hotmail.com A REPRODUÇÃO DESTA APRESENTAÇÃO É PERMITIDA EXCLUSIVAMENTE PARA FINS EDUCACIONAIS OU DE PESQUISA, DEVENDO, NO ENTANTO, SER MENCIONADOS OS DIREITOS RESERVADOS AO AUTOR. É VEDADA A REPRODUÇÃO PARA QUAISQUER OUTROS FINS, EXCETO SE CONCEDIDA EXPRESSA AUTORIZAÇÃO PELO AUTOR.

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