Matemática Financeira Prof. Marcos Custódio

Conceitos Importantes Matemática Financeira É a matemática das transações financeiras. As transações financeiras são caracterizadas pelos seus aspectos intertemporais. A Matemática Financeira trata da mensuração do dinheiro no tempo. Matemática Financeira

Conceitos Importantes Matemática Financeira A razão entre o futuro “F” e o presente “P” de uma operação, mede a variação do capital final por unidade de capital inicial; de outra maneira, a razão F/P mede também a prosperidade da operação, ou seja: F/P = 1  Capital inicial permaneceu inalterado F/P > 1  Valor futuro maior que capital inicial F/P < 1  Valor futuro menor que capital inicial Os valores possíveis, para a razão F/P numa operação financeira, estão no intervalo: 0  F/P < + Matemática Financeira

Capitalização Simples No regime de juros simples, os juros de cada período de capitalização são calculados sempre em função do capital inicial aplicado. Ex: Considere um capital de $1.000,00 remunerado à taxa de juros simples de 2% a.m., durante o período de 2 meses. $ 1.040 20 = 1000 x 0,02 1.020 1.000 1 2 n Matemática Financeira

Capitalização Simples Conceito Financeiro de Juros Juros “J” são a remuneração do capital. Podem ser entendidos, de forma simplificada, como o valor do aluguel pago pelo uso do dinheiro. J = P . i . n Matemática Financeira

Capitalização Simples CONVENÇÕES ADOTADAS: Juros Exatos  Juros Comerciais  Matemática Financeira

Capitalização Simples Capital Inicial — “P” Qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. Capital Acumulado (Montante) — “S” É a soma do capital inicial com os juros. S = P + J  S = P + (P . i . n) S = P (1 + i . n) Matemática Financeira

Capitalização Simples Valor Atual — VA Corresponde ao valor de um compromisso, de débito ou de crédito, em uma determinada data entre o início e o término do compromisso. Valor Nominal — VN É o valor de “face” do título; É o valor do título, em sua data de vencimento. Matemática Financeira

Capitalização Simples VN VA P 0 nt n Matemática Financeira

Capitalização Simples Taxa de Juros — i É a unidade de medida de remuneração do capital no tempo. É o juro de uma unidade monetária durante um período. É a razão entre os juros e o capital por unidade de tempo. forma unitária forma percentual Matemática Financeira

Capitalização Simples Diagrama de Fluxo de Caixa Os problemas financeiros dependem do fluxo (entradas e saídas) de dinheiro no tempo, podendo ser representado do seguinte modo: 400 300 150 100 0 3 Entradas (+) 1 2 4 5 Saídas (-) 500 Matemática Financeira

Capitalização Simples Taxas Equivalentes Taxa de juros e o período de capitalização devem estar sempre na mesma unidade de tempo. Quando duas taxas aplicadas à um mesmo capital, pelo mesmo prazo, produzirem os mesmos juros, elas serão denominadas de taxas equivalentes. Ex: Qual a taxa mensal equivalente à taxa anual de 15%? Matemática Financeira

Capitalização Simples Desconto — D Operação típica de antecipação de recebíveis. Consiste na diferença entre um valor nominal, com seu valor atual na data da operação. Racional — Dr O valor do desconto é obtido com base no cálculo sobre o valor atual “n” períodos antes de seu vencimento. Irracional, Comercial ou Bancário — Dc É o valor que se obtém com base no cálculo sobre o valor nominal “n” períodos antes de seu vencimento. Matemática Financeira

Capitalização Simples Desconto Racional — Dr (Exemplo) Uma pessoa pretende saldar um título no valor de $5.500,00, 3 meses antes de seu vencim. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter. N Dr{ V n = 3 meses Matemática Financeira

Capitalização Simples Desconto Comercial — Dc (Exemplo) Uma duplicata no valor de $4.500,00, cujo vencimento era para 7 meses foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. Calcular o desconto e o valor descontado. N Dr{ V n = 2 meses Matemática Financeira

Capitalização Composta No regime de juros compostos, os juros de cada período de capitalização são calculados sempre em função do montante do período anterior. Ex: Suponhamos um capital de $1.000,00 remunerado à taxa i = 2%a.m., durante o período de 2 meses. S 1.040,40 20,40 1.020 20 1.000 1 2 n Matemática Financeira

Capitalização Composta Montante Imaginemos um capital de $100,00 aplicado à taxa de 1% a.m. por um período de 3 meses. Isto implica em resolver as equações: S1 = 100 (1 + 0,01) = 101 S2 = 101 (1 + 0,01) = 102,01 S3 = 102,01 (1 + 0,01) = 103,03 Se substituirmos, por exemplo, em S2 o valor de 101 por 100(1 + 0,01), teremos: S2 = 100(1 + 0,01) (1 + 0,01) = 100(1+0,01)2 = 102,01 Generalizando  Sn = P (1+i)n Matemática Financeira

Capitalização Composta Equivalência de Taxas  Taxa Nominal É a taxa de montagem da operação, nominalmente contratada. A unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É normalmente expressa em termos anuais. Exemplo: 10%a.a., capitalizados mensalmente – 15%a.a, capitalizados trimestralmente. Matemática Financeira

Capitalização Composta Taxa Efetiva ou Capitalizada É aquela que nos fornece o total dos juros produzidos durante o prazo de capitalização. Taxa Real É a taxa calculada com base na taxa efetiva da aplicação ou empréstimo, corrigida pela taxa de inflação do período, contado desde o dia da aplicação ou do empréstimo até o dia do seu resgate ou vencimento. Matemática Financeira

Capitalização Composta Exemplo: Uma empresa obtém um empréstimo de $100.000,00 para ser liquidado por $110.000,00 no final de 30 dias. Entretanto, o banco solicita a esse cliente que mantenha durante a vida do contrato um saldo médio correspondente a 20% do valor emprestado. Supondo que nesse mesmo período a taxa de inflação tivesse sido de 2%, calcular as taxas nominal, efetiva e real. Matemática Financeira

Capitalização Composta Equivalência de Capitais O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos ou recebimentos em outras, equivalentes e consequentemente efetuar comparações entre alternativas de investimentos ou empréstimos. Tais questões dizem respeito, de modo geral, à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros. Data Focal — é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. Matemática Financeira

Capitalização Composta Taxa Interna de Retorno (TIR) É através de uma equivalência Financeira, ou de capitais que podemos determinar o que se conhece como Taxa Interna de Retorno. A taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor atual de um ou mais pagamentos com o valor atual de um ou mais recebimentos. Matemática Financeira

Capitalização Composta Valor Presente Líquido Trata-se de uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos, a uma taxa conhecida, e deduzir deste o valor do fluxo inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou do investimento) Matemática Financeira

Matemática Financeira Capitalizações Juros Simples X Juros Compostos S S = juros Comp. S = juros simples S1 P 0 1º período de Períodos capitalização Matemática Financeira

Matemática Financeira Anuidades Rendas Certas ou Anuidades É uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, exigíveis em épocas predeterminadas, destinadas a extinguir uma dívida ou construir um capital Classificação das Anuidades Rendas certas ou determinísticas — São aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados. Rendas aleatórias ou probabilísticas — Os valores e/ou datas de pagamentos ou recebimentos podem ser variáveis aleatórias. Matemática Financeira

Matemática Financeira Anuidades Classificação das Anuidades Quanto ao prazo: Temporárias e perpétuas Quanto ao valor dos termos: Constante e variável Quanto à forma de pagamento ou recebimento Imediatas: postecipadas e antecipadas Diferidas: postecipadas e antecipadas Quanto à periodicidade: Periódicas e não-periódicas Matemática Financeira

Matemática Financeira Anuidades Modelo Básico de Anuidade São as anuidades que são simultaneamente: Temporárias — duração limitada. Constantes — termos iguais. Imediatas e postecipadas — exigíveis a partir do 1º período e no fim de cada um deles. Períódicas — os períodos são iguais. E que a taxa de juros ( i ) seja referida ao mesmo período dos termos. Matemática Financeira

Matemática Financeira Anuidades Valor Atual do Modelo Básico P R R R R R 0 1 2 3 n-1 n A soma do valor atual dos termos na data zero é dada por: P = R/(1+i)1 + R/(1+i)2 + R/(1+i)3 + ... + R/(1+i)n P = R [ 1/(1+i)1 + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + ... + 1/(1+i)n ] Colocando-se a soma entre colchetes como sendo: a n i = [ 1/(1+i)1 + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + ... + 1/(1+i)n ] Temos: P = R . a n i Matemática Financeira

Matemática Financeira Anuidades Cálculo do Valor Atual para Anuidades Postecipadas O valor de a n i é obtido pela soma dos termos de uma progressão geométrica. Substituindo-se os valores, teremos: a n i = P = R . a n i Matemática Financeira

Matemática Financeira Anuidades Cálculo do Montante para Anuidades Postecipadas s n i = S = R . s n i Matemática Financeira

Matemática Financeira Anuidades Cálculo das Anuidades Antecipadas P = R + R . P = R + R . a n-1 i Matemática Financeira

Matemática Financeira Anuidades Cálculo das Anuidades Diferidas Séries diferidas são aquelas que apresentam um prazo de carência. R. a n i P = (1+i)k Matemática Financeira

Sistemas de Amortização De maneira geral, qualquer fluxo de pagamentos para liquidar um empréstimo é um sistema de amortização. Vamos analisar alguns, classificados com nomes especiais, em razão de sua utilização mais freqüente. São eles: Sistema de Amortização Constante - SAC Sistema Francês - Tabela Price Sistema de Amortização Misto - SAM Sistema Americano de Amortização - SAA Matemática Financeira

Sistemas de Amortização Sistema de Amortização Constante - SAC Características: As parcelas de amortização são iguais. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior. Um empréstimo de $100.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s.. Matemática Financeira

Sistemas de Amortização Sistema Francês - Tabela Price Características: As prestações são iguais e consecutivas de tal modo que uma parte paga os juros e a outra o principal. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior. Um empréstimo de $100.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s.. Matemática Financeira

Sistemas de Amortização Sistema de Amortização Misto - SAM Características: Prestações cujos valores são resultantes da média aritmética dos valores das prestações dos planos SAC e Price. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior. Um empréstimo de $100.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s.. Matemática Financeira

Sistemas de Amortização Sistema Americano de Amortização - SAA Características: O principal é devolvido em uma única parcela, após ter decorrido o prazo de carência estipulado. Os juros podem ser pagos durante a carência ou capitalizados e devolvidos juntamente com o principal. Prazo de carência — Corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. Um empréstimo de $100.000,00 deve ser amortizado, à taxa de 10% a.s., para ser devolvido após uma carência de 2 anos Matemática Financeira

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