Aluno: Thyelle Teruya Prof. Orientador: Mauricio B. Magro 2010 PROJETO DE PESQUISA Econofísica- Estudo de elementos de Física aplicada a Economia Aluno: Thyelle Teruya Prof. Orientador: Mauricio B. Magro 2010

Econofísica- Estudo de elementos de Física aplicada a Economia INTRODUÇÃO Recentemente os estudos da física aplicada à economia têm gerado grandes avanços em relação aos modelos aplicados ao mercado financeiro. E a econofísica foi desenvolvida em 1990, afim de aplicar ferramentas e métodos da física no mercado financeiro, como por exemplo no mercado de ações. Despertando o interesse de físicos e pesquisadores devido a sua complexidade e o desenvolvimento de análises científicas. Neste projeto será abordada uma introdução a econofísica, ou seja, é preciso adquirir conhecimentos básicos para conseguir aplicar métodos e prever futuras variações. OBJETIVOS O objetivo deste projeto, inicialmente é assimilar os conhecimentos de física estatística e matemática necessários para sua compreensão, e posteriormente, buscar ligação entre a teoria estudada e, por exemplo, o mercado de ações, aplicando os modelos matemáticos estudados.

Econofísica- Estudo de elementos de Física aplicada a Economia METODOLOGIA Com método de pesquisa teórico, pois tem como objetivo estruturar e desenvolver modelos teóricos, e um tipo de pesquisa exploratória, porque possui pesquisa bibliográfica e estudos de caso. Realizamos um plano de estudo baseado em seminários, apresentados ao orientador do projeto baseado em livros disponíveis e em meios eletrônicos como a Internet. DESENVOLVIMENTO E RESULTADOS Dos objetivos traçados, alguns dos resultados primeiramente esperados foram obtidos com o conhecimentos de alguns conceitos estatísticos necessários para estudar as variações e flutuações de preços de ativos financeiros conforme os itens abaixo. Vale ressaltar, porém, que estes estudos ainda estão em andamento..

Econofísica- Estudo de elementos de Física aplicada a Economia 1 – Análise Fundamentalista e Técnica Para entender as flutuações e variações de uma determinada ação, é necessária uma base teórica como a análise fundamentalista que analisa a previsão do valor intrínseco para uma ação (Napolitano 2011). E quem propôs a primeira fórmula para esse cálculo foi John Burr Williams, cuja a fórmula foi: 2 – O Movimento Browniano O movimento Browniano é o movimento aleatório de partículas, porém Bachelier propôs este movimento em 1900 para a dinâmica do preço de um ativo financeiro, o qual foi a sua tese de PhD ‘’A Teoria da Especulação’’. Seguindo a idéia de Napolitano deve-se, primeiramente estudar o movimento aleatório em uma dimensão e posteriormente o seu limite contínuo, definido, assim, o movimento Browniano unidimensional.

Econofísica- Estudo de elementos de Física aplicada a Economia 3 – Movimento Aleatório em uma dimensão O movimento de uma partícula apenas ao longo do eixo x, em qualquer um dos seus sentidos, com passos do tamanho δ fixo. A partícula parte da origem e a cada passo existe a probabilidade p de dar um passo no sentido positivo (+δ) e a probabilidade q (sendo p+q=1) de dar um passo negativo (-δ). Cada passo da partícula é independente do passo anterior, considerando p e q constantes. Portanto o valor esperado, xi do i-ésimo passo, independendo de i, é: Após n passos, a partícula tem a posição dada pela somatória de todos os n deslocamentos. 4 – Limite contínuo do movimento aleatório Quando δ→0 a partícula pode deslocar-se continuamente, e cada passo possui probabilidade p de mover-se +δ e probabilidade q de mover-se –δ. Seja u(x,t) a probabilidade de que a partícula esteja na posição x no instante t. A probabilidade de a partícula encontrar-se em x é dada por:

Econofísica- Estudo de elementos de Física aplicada a Economia Verificamos que a probabilidade da partícula encontrar-se num ponto x num determinado momento é dada pela distribuição gaussiana: 5 – O Modelo de Bachelier Na concepção de Napolitano (2011) Bachelier propôs que a primeira dinâmica de um ativo financeiro e para entendermos o modelo proposto é necessário estudar o movimento aleatório em uma dimensão e posteriormente tomar seu limite contínuo. Porém este modelo possui algumas características não desejáveis, como por exemplo, o modelo da probabilidade não nula para o preço do ativo (x) assumir valores negativos, contrariando a condição de responsabilidades limitadas; Bachelier supôs μ=0, sugerindo uma taxa de juros nula, o que nem sempre é verdade. 6 – O Movimento Browniano Geométrico No entendimento de Napolitano (2011) o modelo de Bachelier contém uma falha, que ele não pode prever preços negativos de um lote de ação. Por exemplo, quando compramos um lote de ação de uma certa empresa, ela pode ficar devendo muito aos seus credores, fazendo com que as ações comprada possam chegar a um valor 0, porém nunca será negativo.

Econofísica- Estudo de elementos de Física aplicada a Economia O retorno diário Ri pode ser positivo ou negativo se o preço de fechamento de um ativo era Si ontem e hoje é Si+1, então o retorno relativo de um dia fica como: A probabilidade para o preço x(t) é dada pela função gaussiana: com Definindo S0 =1 foi possível chegar na seguinte função: 7 – O Teorema do Limite Central A teoria do limite central (teoria central do limite) afirma que conforme aumenta-se o tamanho da amostra a sua distribuição amostral da média se aproximará cada vez mais de uma distribuição normal. A densidade de probabilidade X é dada por:

Econofísica- Estudo de elementos de Física aplicada a Economia Verificamos que, a partir da transformada de fourier, integrando-a, aplicando conceitos matemáticos e utilizando a inversa da mesma, podemos provar que para quando N for muito grande a densidade de probabilidade é uma gaussiana: 8 – Passeio Aleatório ou The Random Walk A teoria random walk afirma que não é possível prever o futuro com base nos dados do passado, como por exemplo não quer dizer que pelo fato do preço da ação ter aumentado hoje, ontem, ou em outros dias que esse preço irá aumentar amnhã também, pois o mercado funciona de maneira irracional portanto o preço de uma ação seria imprevisível.

Econofísica- Estudo de elementos de Física aplicada a Economia DISCUSSÃO E CONCLUSÃO A partir das matérias estudadas para entender a econofísica, foi possível adquirir alguns conhecimentos de conceitos teóricos mostrados na introdução, entendendo perfeitamente que o preço de uma determinada ação tem a probabilidade de estar em um certo ponto e mudar tanto positivamente quanto negativamente sendo que a densidade de probabilidade para seu valor num dado momento é representada pela função gaussiana. Deve-se levar em conta, para o aperfeiçoamento do modelo, a situação da economia atual do mercado financeiro. É possível acreditar que a partir do embasamento teórico estudado e mais alguns, a variação do preço de uma ação poderá ser calculado e previsto. Pode-se concluir que o estudo da econofísica é muito complexo, embasando-se fundamentalmente nos princípios matemáticos da estatística. Isto implica que tais modelos assemelham-se a outros fenômenos da natureza como, por exemplo, o movimento browniano das partículas de um gás.

Econofísica- Estudo de elementos de Física aplicada a Economia PRINCIPAIS REFERÊNCIAS MANTEGNA, Rosario; STANLEY, Eugene. An Introduction to Econophysics Correlations and Complexity in Finance, Cambridge: Univ. Press, 2000. www.ifsc.usp.br/~reginaldo/Econo/aulas.htm

Econofísica- Estudo de elementos de Física aplicada a Economia Thyelle Teruya Aluna do 3o ano de Eng. de Produção Orientador: Mauricio Bernardino Magro Centro Universitário Fundação Santo André FAENG- Faculdade de Engenharia Celso Daniel