Análise diferencial do escoamento (Equações de Navier-Stokes) Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior 1:05

Sumário da aula Revisão Escoamento Equações de Navier-Stokes Continuidade; Quantidade de movimento; Casos Particulares 2:52

Introdução A análise de um escoamento de fluido pode ser feita de duas maneiras: Análise onde a região de interesse é um volume definido (volume de controle); análise macroscópica (balanço global de massa); As trocas que ocorrem dentro do volume de controle, por cada elemento diferencial de fluido; análise microscópica (balanço local de massa dentro do volume de controle); As expressões resultantes deste tipo de análise microscópica são equações diferenciais; A solução destas equações diferenciais dará informações de natureza diferente da obtida através a análise macroscópica (campo de velocidade e de pressões dentro do volume de controle). 2:52

Escoamento Fluido em movimento! Na natureza existem diversos tipos de escoamento: superfície do solo, rio, lagos... O escoamento é regido por diversas leis: Equação da continuidade Equação da quantidade de movimento 2a lei de Newton 1a lei da termodinâmica 2a lei da termodinâmica 2:52

Equação da continuidade Princípio da conservação da massa: Taxa de matéria que entra Taxa de matéria que sai Taxa de variação interna - = 2:52

Equação da continuidade dx dy dz x y z 2:52

Equação da continuidade Princípio da conservação da massa Taxa de massa = vazão mássica = VAρ Taxa de variação interna 2:52

Equação da continuidade As vazões mássicas das faces da esquerda, de baixo e de trás, são, respectivamente As restantes se obtém expandindo as anteriores com a série de Taylor 2:52

Equação da continuidade x y z 2:52

Equação da continuidade Substituindo no princípio da conservação da massa Taxa de matéria que entra = 2:52

= Equação da continuidade Substituindo no princípio da conservação da massa Taxa de matéria que sai = 2:52

- = = Equação da continuidade Substituindo no princípio da conservação da massa - = Taxa que entra Taxa que sai = 2:52

Equação da continuidade Substituindo no princípio da conservação da massa  com a taxa de variação interna 2:52

Equação da continuidade Substituindo no princípio da conservação da massa  equação da continuidade para qualquer escoamento 2:52

Equação da continuidade Casos particulares - Escoamento permanente: 2:52

Equação da continuidade Casos particulares - Fluido incompressível: 2:52

Coordenadas cilíndricas A Equação da continuidade: 2:52

Equação da quantidade de movimento Balanço de forças no elemento infinitesimal Gravitacionais (forças de campo) Força peso e Força de Coriolis Perpendiculares à superfície (força superficial) Pressão Tangenciais à superfície (força superficial) Viscosas (cisalhamento e compressão) 2:52

Equação da quantidade de movimento 2:52

Da 2ª lei de Newton Para um sistema infinitesimal de massa dm 2:52

Aceleração convectiva Aceleração local 2:52

Da 2ª lei de Newton Para um sistema infinitesimal de massa dm 2:52

Força peso Atua na direção vertical; Sua componente longitudinal é quem promove o escoamento. Significativa em simulações de rompimento de barragem; x1 x2 2:52

Força peso 2:52

Força de Coriolis A força de Coriolis, embora não possa causar o movimento da água, é importante porque pode modificar, significativamente, a direção do movimento da água, especialmente em lagos e estuários grandes. A força de Coriolis é uma força aparente que surge porque analisamos o escoamento fixando o referencial à Terra, que está em movimento de rotação. 2:52

Força de Coriolis Assim, o resultado é que, no hemisfério Sul, os fluidos escoando para o Sul são desviados para Leste e os fluidos escoando para o Norte são desviados para Oeste, ou seja, os escoamentos são sempre desviados para a esquerda no hemisfério Sul. 2:52

Força de Coriolis 2:52

Força de Coriolis Os efeitos da força de Coriolis tornam-se significativos em lagos maiores do que 5.rc; onde rc é um raio característico que depende da velocidade média da água e da latitude. onde rc é o raio característico de circulação inercial (m); u é velocidade média da água (m.s-1);  é a velocidade angular da terra (7,29 . 10-5 rad.s-1); e l é a latitude. 2:52

Força de Coriolis Considerando um lago na latitude de 30o (latitude aproximada dos lagos do RS), onde a velocidade da água é de 0,1 m.s-1, o valor de rc é de 1370 m. Se o lago for maior do que 7 km, aproximadamente, a força de Coriolis será significativa. 2:52

Força de pressão É necessário um gradiente de pressão para promover escoamento. O sentido do escoamento é de um ponto com maior pressão para um ponto com menor pressão 2:52

Balanço de pressões 2:52

Força de pressão dy dx dz x y z 2:52

Força de pressão Pela 2ª lei de Newton, têm-se: Analogamente para as outras direções 2:52

Força de cisalhamento Força de atrito entre duas superfícies ou entre duas camadas; A nível molecular, as forças de tensão que atua em um volume de água são produzidas pela viscosidade do fluido (atrito interno das moléculas de água) que seria uma força intrínseca do fluido) 2:52

Força de cisalhamento Nos contornos Vento Atrito do fundo 2:52

Forças de superfície normais na direção x. 2:52

Forças de superfície normais na direção x. 2:52

Forças de superfície normais na direção x. 2:52

Tangenciais na direção x: 2:52

Tangenciais na direção x: 2:52

A resultante na direção x é: Um resultado análogo é obtido nas demais direções 2:52

Equação da quantidade de movimento A EQM se torna, nas 3 direções: 2:52

Coordenadas cilíndricas A EQM se torna, nas 3 direções: 2:52

Equação da quantidade de movimento Casos particulares - Escoamento permanente: 2:52

Equação da quantidade de movimento Casos particulares - Escoamento bidimensional (w=0): 2:52

Equação da quantidade de movimento Casos particulares - Escoamento unidimensional (v=w=0): 2:52

Exercício Lista de exercícios. y v(x) x h h 2:52