Sistemas Estuarinos Costeiros MÓDULO IV: Formulação Matemática dos processos ambientais Parte 1 – Introdução e Escoamento Carlos Ruberto Fragoso Júnior, Centro de Tecnologia, UFAL

CONTEÚDO:- I Conceitos Fundamentais II Equações Básicas do Escoamento III Exercício

I CONCEITOS FUNDAMENTAIS

I CONCEITOS FUNDAMENTAIS Processos no Sistema Representados usando Equações Matemáticas Resolvidas usando Métodos Numéricos Modelo Computacional Predições do Modelo

Assimilação de Nutrientes I CONCEITOS FUNDAMENTAIS Processos no Sistema Químicos Físicos Biologicos Hidrodinâmica Transporte de Massa Hidrólise Nitrificação Deoxigenação Reaeração Assimilação de Nutrientes Decaimento Crescimento Respiração Mortalidade

I CONCEITOS FUNDAMENTAIS Cada processo é representado usando equações  “Equações governantes” Uso de equações diferenciais Descrevendo continuamente mudanças de quantidades e suas taxas de mudança Equações diferenciais podem ser complexas + dificuldade de resolver analiticamente Métodos numéricos são requeridos para estimar soluções aproximadas Converte EDs em formas algebricas de diferenças  podem ser resolvidas em um número finito de pontos no espaço e no tempo E.g. Esquema numérico de diferenças finitas

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS I CONCEITOS FUNDAMENTAIS Modelo Numérico PROCESSOS NO SISTEMA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MÉTODO NUMÉRICO EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS MODELO COMPUTACIONAL ESTIMATIVAS DO MODELO ENTRADA

Assimilação de Nutrientes II EQUAÇÕES GOVERNANTES Processos no Sistemas Químicos Físicos Biological Hidrodinâmica Transporte de Massa Hidrólise Nitrificação Deoxigenação Reaeração Assimilação de Nutrientes Decaimento Crescimento Respiração Mortalidade

II EQUAÇÕES GOVERNANTES W y x z Velocidade (U, V, W) e nível da água Representadas usando as Equações de Navier-Stokes Representação do escoamento em toda a sua complexidade (convecção e turbulência) Derivação das ENS começa com a análise da conservação na massa e da quantidade de movimento em um elemento infinitesinal arbitário As ENS assume que um fluido é um continuum, consequentemente na realidade um fluido é uma coleção de moléculas discretas A solução analítica das ENS não é conhecida  UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS

II EQUAÇÕES GOVERNANTES W Conservação da massa Balanço de massa através de um volume de controle Conservação da quantidade de movimento Balanço de forças no volume de controle

Equação da continuidade II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade Princípio da conservação da massa: Taxa de matéria que entra Taxa de matéria que sai Taxa de variação interna - =

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade dx dy x y z dz

Princípio da conservação da massa II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade Princípio da conservação da massa Taxa de massa = vazão mássica = VAρ Taxa de variação interna

As restantes se obtém expandindo as anteriores com a série de Taylor II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade As vazões mássicas das faces da esquerda, de baixo e de trás, são, respectivamente As restantes se obtém expandindo as anteriores com a série de Taylor

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade x y z

= Substituindo no princípio da conservação da massa II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade Substituindo no princípio da conservação da massa Taxa de matéria que entra =

= Substituindo no princípio da conservação da massa II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade Substituindo no princípio da conservação da massa Taxa de matéria que sai =

- = = Substituindo no princípio da conservação da massa Taxa que entra II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade Substituindo no princípio da conservação da massa - = Taxa que entra Taxa que sai =

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade Substituindo no princípio da conservação da massa  com a taxa de variação interna

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade Substituindo no princípio da conservação da massa  equação da continuidade para qualquer escoamento

- Escoamento permanente: II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade Casos particulares - Escoamento permanente:

- Fluido incompressível: II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade Casos particulares - Fluido incompressível:

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento Balanço de forças no elemento infinitesimal Gravitacionais (forças de campo) Força peso e Força de Coriolis Perpendiculares à superfície (força superficial) Pressão Tangenciais à superfície (força superficial) Viscosas (cisalhamento e compressão)

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento

Da 2ª lei de Newton para um elemento infinitesimal de massa dm II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento Da 2ª lei de Newton para um elemento infinitesimal de massa dm

Aceleração convectiva II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento Aceleração convectiva Aceleração instantânea

Da 2ª lei de Newton Para um elemento infinitesimal de massa dm II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento Da 2ª lei de Newton Para um elemento infinitesimal de massa dm

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força Peso) Atua na direção vertical; Sua componente longitudinal é quem promove o escoamento. Significativa em simulações de rompimento de barragem; x1 x2

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força Peso)

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis) A força de Coriolis, embora não possa causar o movimento da água, é importante porque pode modificar, significativamente, a direção do movimento da água, especialmente em lagos e estuários grandes. A força de Coriolis é uma força aparente que surge porque analisamos o escoamento fixando o referencial à Terra, que está em movimento de rotação.

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis) Assim, o resultado é que, no hemisfério Sul, os fluidos escoando para o Sul são desviados para Leste e os fluidos escoando para o Norte são desviados para Oeste, ou seja, os escoamentos são sempre desviados para a esquerda no hemisfério Sul.

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis) Força de Coriolis é dada por onde u e v são as componentes de velocidade da água na direção x e y, respectivamente (m.s-1);  é a velocidade angular da terra (7,29 . 10-5 rad.s-1); e l é a latitude.

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão) É necessário um gradiente de pressão para promover escoamento. O sentido do escoamento é de um ponto com maior pressão para um ponto com menor pressão

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão) Balanço de pressões

dy dx z dz y x II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão) dy dx x y z dz

Pela 2ª lei de Newton, têm-se: Analogamente para as outras direções

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento) Força de atrito entre duas superfícies ou entre duas camadas; A nível molecular, as forças de tensão que atua em um volume de água são produzidas pela viscosidade do fluido (atrito interno das moléculas de água) que seria uma força intrínseca do fluido)

II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento) Nos contornos Vento Atrito do fundo

Forças de superfície normais na direção x.

Forças de superfície normais na direção x.

Tangenciais na direção x:

Tangenciais na direção x:

A resultante na direção x é: II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento) A resultante na direção x é: Um resultado análogo é obtido nas demais direções

A EQM se torna, nas 3 direções: II EQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento A EQM se torna, nas 3 direções:

- Escoamento permanente: Equação da quantidade de movimento Casos particulares - Escoamento permanente:

- Escoamento bidimensional (w=0): Equação da quantidade de movimento Casos particulares - Escoamento bidimensional (w=0):

- Escoamento unidimensional (v=w=0): Equação da quantidade de movimento Casos particulares - Escoamento unidimensional (v=w=0):

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