BCC101 – Matemática Discreta Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 BCC101 – Matemática Discreta Princípio de Indução

Princípio de Prova por Indução Uma prova por indução tem a seguinte estrutura: Prova: Vamos provar que P(n) vale para todo n ∈ N, n ≥ a, usando indução sobre n. Base: Devemos provar que P (a) é true. Indução: Suponha que P(k) é true, para todo inteiro a ≤ k < n. Devemos mostrar que P (n) é true. Hipótese de Indução Indução Base P(a) n. (a ≤ k < n. P(k))  P(n) _____________________________{Ind} n. P(n) Indução BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Princípio de Indução não está convencido? Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Princípio de Indução não está convencido? Princípio da Boa Ordem: Todo conjunto não vazio de números naturais possui um menor elemento. Todo conjunto X de números naturais é o conjunto de contra-exemplos de alguma proposição P(n) (especificamente, da proposição n∈X) Então, o axioma de Indução pode ser reescrito como: Se a proposição P(n) é falsa para algum n  N, então a proposição (P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n − 1) ∧ ¬P(n)) é true para algum n  N. (1) Equivalentemente: Se uma proposição sobre números naturais tem um contra-exemplo, então ela tem um menor contra-exemplo.

Princípio de Indução não está convencido? O contrapositivo de (1) é: Se a proposição (P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n − 1) ∧ ¬P(n)) é falsa pata todo n  N, então a proposição P(n) é true para todo n  N. Finalmente, podemos reescrever a primeira metade desta proposição na seguinte forma equivalente, substituindo ¬(p∧¬q) por p → q. Se (P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n − 1)) → P(n) é true para todo n  N, então a proposição P(n) é true para todo n  N (Axioma de Indução)

Princípio de Indução não está convencido? Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Princípio de Indução não está convencido? O Princípio de Indução decorre diretamente do Princípio da Boa Ordem: Todo conjunto não vazio de números naturais possui um menor elemento. Suponha que provamos que P(0) é verdadeiro e que também provamos P(n)  P(n+1) para n arbitrário Para mostrar que P(n) vale para n arbitrário, suponha, por contradição, que P(n0) é falso, para algum n0. Então o conjunto S = {nN | P(n) é falso} é não vazio e, pelo PBO, S possui um menor elemento, digamos m. É claro que m0, pois P(0) é verdadeiro, ou seja m>0 Como m>0, (m-1)N; e como (m-1) < m, temos que (m-1)S, ou seja P(m-1) é verdadeiro. Mas como provamos P(n)  P(n+1), devemos ter que P(m) é verdadeiro, já que P(m-1) é verdadeiro: CONTRADIÇÃO!

Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Mais Exemplos 1 Considere a sequência de números de Fibonacci, definida por: F0 = 0 F1 = 1 Fn+2 = Fn+1 + Fn Compare a sequência de Fibonacci com a sequência de potências de 2: {Fn } = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 {2n } = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 Podemos conjecturar que Fn < 2n para todo nN. Como podemos provar isso?

Mais Exemplos 1 – solução Prova. Caso Base: (precisamos considerar os dois seguintes casos (porque?)) n = 0: F0 = 0 < 1 = 20  n = 1: F1 = 1 < 2 = 21  Caso Indutivo: (queremos provar Fn < 2n) Temos: Fn = Fn-1 + Fn-2 < 2n-1 + 2n-2 pela hipótese de indução = 2·2n-2 + 2n-2 = (2+1)·2n-2 < 22·2n-2 = 2n Portanto, Fn< 2n 

Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Mais exercícios Prove que para todo nN.

Erros comuns em provas Considere a seguinte prova de que, em qualquer conjunto de n1 cavalos, todos os cavalos são da mesma cor. Caso base (n=1): Trivial Caso indutivo: Considere um conjunto de (n+1) cavalos: 1,2,3,…,n,(n+1). Pela hipótese de indução, os n primeiros cavalos são todos da mesma cor e os n últimos cavalos são todos da mesma cor. Como o conjunto dos n primeiros e dos n últimos cavalos se sobrepõem, os (n+1) cavalos são necessariamente da mesma cor. Onde está o erro nessa prova?

Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Mais Exemplos 2 Teorema: Todo nN, n>1, pode ser expresso como um produto de números primos. Prova: por indução sobre n Caso base (n=2): Trivial, já que 2 é primo e portanto pode ser expresso como um produto de primos consistindo apenas dele próprio. Caso indutivo: … próximo slide

Mais Exemplos 2 (continuação) Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Mais Exemplos 2 (continuação) Caso indutivo: Pela hipótese de indução temos que todo 1<jn pode ser expresso como um produto de primos. Devemos mostrar que (n+1) pode ser expresso como um produto de primos. Existem dois possíveis casos a considerar: (n+1) é primo: Trivial (n+1) não é primo. Então existem nos. naturais a e b, tais que n+1 = a.b e 1<a,b< (n+1). Pela hipótese de indução a e b podem ser ambos expressos como produtos de primos. Portanto, (n+1) pode ser expresso como um produto de primos.

Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 3/25/2017 Mais erros em provas Teorema Falso: Todo número de Fibonacci é par Prova: A prova é por indução forte. No caso base, verificamos que P(0) é par, pois F0 é 0. No caso indutivo, para n0, supomos que F0,F1,…,Fn são pares e usamos a definição da sequência de Fibonacci para provar que Fn+1 – Fn-1 + Fn é par Onde está o erro nessa prova?

Mais Exemplos 3 Prove que, para todo conjunto S, e todo número n N, se |S| = n então |P (S)| = 2n