Capítulo 4 Distribuições de Probabilidade ESTATÍSTICA APLICADA Capítulo 4 Distribuições de Probabilidade

Variável Aleatória 1. Um resultado numérico de um experimento 2. Pode ser discreta ou contínua 3. Variável aleatória discreta Número contável de valores Exemplo: Número de peças defeituosas em um lote 4. Variável aleatória contínua Número infinito de valores dentro de um intervalo Exemplo: Diâmetro externo de uma peça

Variáveis Aleatórias Discretas

Variável Aleatória Discreta 1. Tipo de variável aleatória 2. Número inteiro (0, 1, 2, 3 etc.) 3. Obtido por contagem 4. Usualmente número finito de valores A variável aleatória de Poisson é exceção (¥)

Exemplos de Variáveis Aleatórias Discretas Variável Valores Experimento Aleatória Possíveis Fazer 100 contatos No vendas 0, 1, 2, ..., 100 Inspecionar 70 peças No defeit. 0, 1, 2, ..., 70 Responder 33 perg. No corretas 0, 1, 2, ..., 33 Contar carros no No carros 0, 1, 2, ..., ¥ pedágio

Distribuição Discreta de Probabilidade 1. Lista de todos os pares possíveis [x, p(x)] x = Valor da variável aleatória (resultado) p(x) = Probabilidade associada ao valor x 2. Mutuamente exclusivos (sem interseção) 3. Coletivamente exaustivos (nada esquecido) 4. 0 £ p(x) £ 1 5. S p(x) = 1

Exemplo de Distribuição Discreta de Probabilidade Exemplo: Jogar 2 moedas. Contar no caras. Distribuição de Probabilidades Valores, x Probabilidades, p(x) 0 1/4 = 0,25 1 2/4 = 0,50 2 1/4 = 0,25 © 1984-1994 T/Maker Co.

Visualizando Distribuições Discretas de Probabilidade Listagem Tabela { (0; 0,25), (1; 0,50), (2; 0,25) } f(x ) p(x ) No caras Cont. 1 0,25 1 2 0,50 Experiment is tossing 1 coin twice. 2 1 0,25 p(x) Gráfico Equação 0,50 n ! 0,25 p ( x ) = p x ( 1 - p ) n - x x ! ( n - x ) ! x 0,00 1 2

Medidas 1. Valor esperado 2. Variância Média da distribuição de probabilidades Média ponderada de todos os valores possíveis m = E(X) = Sx p(x) 2. Variância Média ponderada dos desvios quadráticos em relação à média s2 = E[ (X - m)2 ] = S (x - m)2 p(x) population notation is used since all values are specified.

Tabela para Cálculo de Medidas x p(x ) x p(x ) x - m (x - m ) 2 ( x - m ) 2 p( x ) S x p(x ) S ( x - m ) 2 p( Total

Questão Você joga 2 moedas. Você está interessado no número de caras. Qual é o valor esperado e o desvio padrão desta variável aleatória, número de caras? © 1984-1994 T/Maker Co.

Solução do Valor Esperado e da Variância x p(x ) x p(x ) x - m (x - ) 2 m ( x - m ) 2 p( x ) 0,25 -1,00 1,00 0,25 1 0,50 0,50 2 0,25 0,50 1,00 1,00 0,25 m = 1,0 s 2 = 0,50

Função Distribuição de Probabilidade Discreta

Função Distribuição de Probabilidade Discreta 1. Tipo de modelo Representação de algum fenômeno 2. Fórmula matemática 3. Representa variável aleatória discreta 4. Usada para obter probabilidades exatas P ( X = x ) = x l l e - x !

Distribuição Binomial

Variável Aleatória Binomial 1. Número de ‘sucessos’ em n observações (tentativas) 2. Exemplos No caras em 15 jogadas de uma moeda No itens defeituosos em lote de 20 itens No corretas em prova com 33 questões No clientes que compram entre 10 clientes contatados

Características da Distribuição Binomial 1. Seqüência de n tentativas iguais 2. Cada tentativa tem apenas 2 resultados ‘Sucesso’ (resultado desejado) ou ‘fracasso’ 3. Probabilidade de sucesso é constante em cada tentativa 4. Tentativas são independentes

Função da Distribuição Binomial p(x) = Probabilidade de x ‘sucessos’ n = Número de tentativas p = Probabilidade de ‘sucesso’ x = Número de ‘sucessos’ (x = 0, 1, 2, ..., n)

Características da Distribuição Binomial Média Distribution has different shapes. 1st Graph: If inspecting 5 items & the Probability of a defect is 0.1 (10%), the Probability of finding 0 defective item is about 0.6 (60%). If inspecting 5 items & the Probability of a defect is 0.1 (10%), the Probability of finding 1 defective items is about .35 (35%). 2nd Graph: If inspecting 5 items & the Probability of a defect is 0.5 (50%), the Probability of finding 1 defective items is about .18 (18%). Note: Could use formula or tables at end of text to get Probabilities. Desvio Padrão

Características da Distribuição Binomial Média n = 5 p = 0.1 Distribution has different shapes. 1st Graph: If inspecting 5 items & the Probability of a defect is 0.1 (10%), the Probability of finding 0 defective item is about 0.6 (60%). If inspecting 5 items & the Probability of a defect is 0.1 (10%), the Probability of finding 1 defective items is about .35 (35%). 2nd Graph: If inspecting 5 items & the Probability of a defect is 0.5 (50%), the Probability of finding 1 defective items is about .18 (18%). Note: Could use formula or tables at end of text to get Probabilities. Desvio Padrão n = 5 p = 0.5

Exemplo da Distribuição Binomial Experimento: Jogar 1 moeda 5 vezes. Anote no caras. Qual é a probabilidade de 3 caras?

Questão Você é um vendedor contatanto clientes. Você efetuou 20 vendas nos últimos 100 contatos (p = 0,20). Se você contatar 12 clientes hoje, qual é a probabilidade de: A. Nenhuma venda? B. Exatamente 2 vendas? C. No máximo 2 vendas? D. No mínimo 2 vendas? Let’s conclude this section on the binomial with the following Thinking Challenge.

Solução da Distribuição Binomial Usando a fórmula da Binomial: A. p(0) = 0,0687 B. p(2) = 0,2835 C. p(no max 2) = p(0) + p(1) + p(2) = 0,0687 + 0,2062 + 0,2835 = 0,5584 D. p(no min 2) = p(2) + p(3)...+ p(12) = 1 - [p(0) + p(1)] = 1 - 0,0687 - 0,2062 = 0,7251 From the Binomial Tables: A. p(0) = .0687 B. p(2) = .2835 C. p(at most 2) = p(0) + p(1) + p(2) = .0687+ .2062 + .2835 = .5584 D. p(at least 2) = p(2) + p(3)...+ p(12) = 1 - [p(0) + p(1)] = 1 - .0687 - .2062 = .7251