Capítulo 3 Valor esperado; dispersão e correlação

A distribuição de uma V.A. contém toda a informação sobre esta V.A.. Entretanto, a distribuição pode não ser fácil de estimar, especialmente se o problema é multivarado e a dimensão não é baixa Então, valores numéricos que sumarizem uma distribuição são de muita utilidade

Esperança em Distribuições Discretas Se X é uma V.A. com distribuição discreta, a esperança, ou valor esperado de X é dado por:

Seja X uma V.A. com o valor do prêmio, então: Exemplo: Um concorrente em um programa de TV tem 4 caixas fechadas com prêmios, 1 está vazia, 2 tem R$ 5000,00 e 1 tem R$ 20000,00. Ele deverá escolher e abrir um destas caixas. Por quanto o concorrente deveria aceitar uma oferta da produção para vender sua caixa? Seja X uma V.A. com o valor do prêmio, então: E(X) = 0.25 x 0,00 + 0.50 x 5000,00 + 0.25 x 20000,00 = = R$ 7500,00

Esperança em Distribuições Contínuas Se X é uma V.A. com distribuição contínua, a esperança, o valor esperado de X é dado por:

Var(X) = E[ (X- )2 ]; onde  E(X) Variância Var(X) = E[ (X- )2 ]; onde  E(X) Note que: A variância mede a dispersão em torno da média  A variância mede o ‘preço a pagar se representássemos tos os pontos como sendo iguais à média  A variância é o valor esperado de uma V.A. positiva (X- )2, e portanto var(X) ≥ 0

Covariância Seja X  n ( X= (x1, x2, ... ,xn ) vetor aleatório, então define-se a matriz de covariância como:  = E[ (X- ) (X - )T ]  nxn Por exemplo, se X 2 teremos:

Podemos definir o coeficiente de correlação ‘’ como: pode-se mostrar que |  | < 1. O coeficiente de correlação é uma espécie de covariância padronizada

Teorema: Sejam X e Y 2 V.A.s com variâncias finitas e positivas, então: (x1 , x2 ) = 1  P(x2 = ax1 + b) = 1 para algum a > 0 e b  (x1 , x2 ) = - 1  P(x2 = ax1 + b) = 1 para algum a < 0 e b  Então, podemos concluir que o coeficiente de correlação (X,Y) representa a dependência linear das V.A.’s X e Y

Diz-se que x1 e x2 : são positivamente correlatadas se ( x1, x2 ) > 0 são negativamente correlatadas se ( x1, x2 ) < 0 são descorrelatadas se (x1 ,x2 ) = 0

* correlação positiva y x * x y correlação negativa

* x y descorrelatado y descorrelatado * x

X e Y independentes  X e Y descorrelatadas X e Y descorrelatadas > X e Y independentes