Tecnologias - Matemática Representação geométrica Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos

MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos No início do século XIX, os matemáticos Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e Jean Robert Argand (1768-1822), em trabalhos independentes, perceberam a ligação existente entre as partes real e imaginária de um número complexo com as coordenadas de um ponto no plano cartesiano e criaram um plano com as mesmas características, tornando possível a visualização desses números.

Representação geométrica de um número complexo MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos Representação geométrica de um número complexo Um número complexo z pode ser escrito como um par ordenado z = (a, b) e na forma algébrica z = a + bi, com a  R e b  R. Cada par ordenado de números reais (a, b) pode ser representado em um plano cartesiano por um único ponto. Assim, a um ponto P (a, b) podemos associar um único número complexo z = a + bi, e vice-versa.

MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos b a eixo real (Re) P (a, b) eixo imaginário (Im) O número complexo z = a + bi é chamado imagem do ponto P (a,b) e o plano cartesiano, em que são representados os números complexos, é denominado plano de Argand-Gauss ou plano complexo.

MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos No plano de Argand-Gauss, o eixo das abscissas é chamado eixo real (Re), e o eixo das ordenadas é o eixo imaginário (Im). O número ponto P (a, b) associado ao número complexo z = a + bi é chamado de afixo do número complexo z.

Vejamos, então, alguns casos. MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos Vejamos, então, alguns casos. Observe os afixos dos números complexos z1 = 3 – 5i, z2 = − 1 + 4i, z3 = 2 + 5i e z4 = − 4 − 6i eixo real (Re) eixo imaginário (Im) 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 -6 - 6 z4 z2 z3 z1

O número complexo como um vetor MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos O número complexo como um vetor Como já vimos, um número complexo qualquer z = a + bi pode ser representado geometricamente por um ponto P (a, b) no plano de Argand-Gauss. Um número complexo qualquer, não nulo, pode também ser representado por um vetor de origem no ponto O (0, 0) e extremidade no ponto P (a, b).

Veja: b a MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos Veja: b a eixo real (Re) P (a, b) ou z = a + bi eixo imaginário (Im)

Vejamos o vetor representante do número z = 3 + 4i. MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos Exemplo: Vejamos o vetor representante do número z = 3 + 4i. Re Im 1 2 3 4 -1

Módulo de um número complexo MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos Módulo de um número complexo O módulo de z = a + bi, indicado por |z| ou ρ, é o módulo do vetor que o representa, ou seja, é a distância da origem O (0, 0) ao ponto P (a, b). Assim, com base no teorema de Pitágoras, temos: |z| = ρ = .

O módulo do número complexo z1 = 3 – 4i é: |z| = MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos Exemplos: O módulo do número complexo z1 = 3 – 4i é: |z| = |z| = 5 O módulo do número complexo z2 = 5 + 12i é: |z| = 13

Argumento de um número complexo MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos Argumento de um número complexo O vetor representativo de um número complexo formará com o eixo real um ângulo θ (0 ≤ θ < 2π) que medido no sentido anti-horário indicará o sentido do vetor. Para um número complexo não nulo z, o ângulo θ é chamado de argumento de z, e é indicado por arg (z).

Analisando o triângulo OAP da figura anterior, constatamos que: MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos b a Re P Im  Analisando o triângulo OAP da figura anterior, constatamos que: θ é o ângulo cujo: sen θ = b . |z| cos θ = a . Com 0 ≤ θ < 2π

Determine o argumento do número complexo z = 1 + i. MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos Exemplo: Determine o argumento do número complexo z = 1 + i. De início, calculamos o módulo de z: |z| = Portanto: sen θ = 1 = . 2 θ = π/4 rad = 45º cos θ = 1 = .

Dados sen θ = − 0,5  θ = 7π/6 rad (210º) ou θ = 11π/6 (330º) MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos A determinação do argumento do número complexo, como feito na página anterior, é possível pois, para ângulos pertencentes ao intervalo de 0 rad a 2π rad (0º a 360º), há apenas um ângulo correspondente a cada par de valores de seno e cosseno (valores pertencentes ao intervalo [− 1, 1]). Exemplo: Dados sen θ = − 0,5  θ = 7π/6 rad (210º) ou θ = 11π/6 (330º) e cos θ = − 0,866  θ = 5π/6 rad (150º) ou θ = 7π/6 rad (210º) Logo: θ = 7π/6 rad (210º)

Atividades Resolvidas MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos Atividades Resolvidas 1) Represente no plano de Argand-Gauss os números complexos abaixo: z = − 4 + i z = 3 − 2i z = 1 + 3i z = − 2 − 4i

MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos a) temos, então, o coeficiente real (abscissa) − 4 e o coeficiente imaginário (ordenada) 1, logo: Re Im 1 2 3 4 -2 -1 -4 -3 z

MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos b) temos, agora, o coeficiente real (abscissa) 3 e o coeficiente imaginário (ordenada) − 2, logo: Re Im 1 2 3 4 -2 -1 z -3

MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos c) o coeficiente real (abscissa) é 1 e o coeficiente imaginário (ordenada) é 3, logo: Re Im 1 2 3 4 -2 -1 z -3

MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos d) o coeficiente real (abscissa) é − 2 e o coeficiente imaginário (ordenada) é − 4, logo: Re Im 1 2 3 4 -2 -1 z -3 -4

2) Calcule o módulo dos seguintes números complexos: z = − 4 + 3i MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos 2) Calcule o módulo dos seguintes números complexos: z = − 4 + 3i z = 6 − 8i z = 3i z = − 2 a) Temos a = − 4 e b = 3, portanto: |z| = |z| = 5

b) Temos a = 6 e b = − 8, portanto: |z| = MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos b) Temos a = 6 e b = − 8, portanto: |z| = |z| = 10 c) Temos a = 0 e b = 3, portanto: |z| = 3

d) Temos a = − 2 e b = 0, portanto: |z| = MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos d) Temos a = − 2 e b = 0, portanto: |z| = |z| = 2 3) Determine o argumento do número complexo z = 1 + i. Primeiro vamos calcular o módulo de z:

Em seguida, vamos determinar o argumento de z: sen θ = = . 3 MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos Em seguida, vamos determinar o argumento de z: sen θ = = . 3 θ ≈ 342π/1125 rad (54,72º = 54º43’12”) cos θ = 1 = .

MATEMÁTICA, 3º Ano Representação geométrica dos números complexos Atividades Propostas 1) Represente no plano de Argand-Gauss os números complexos abaixo: z = − 5 − i z = 7 + 2i 2) Calcule o módulo dos seguintes números complexos: z = 4 + 3i z = − 12 − 8i z = 5i