Professor Joel MATEMÁTICA POLIEDROS

Professor Joel Definição POLIEDROS: Denomina-se poliedro o sólido limitado por polígonos planos, de modo que: Dois desses polígonos não estão num mesmo plano; Cada lado de um polígono é comum a dois e somente dois polígonos. VÉRTICE FACE ARESTA

Poliedros... 6 vértices 12 arestas 10 vértices 15 arestas 8 faces Professor Joel Poliedros... 6 vértices 12 arestas 8 faces 10 vértices 15 arestas 7 faces

Professor Joel Poliedro convexo Um poliedro se diz convexo se, em relação a qualquer de suas faces, está todo situado num mesmo semi-espaço determinado pelo plano que contém esta face. Caso contrário, o poliedro é dito não-convexo.

Professor Joel Poliedro convexo... a convexo Não-convexo convexo

Nomenclatura dos poliedros Professor Joel Nomenclatura dos poliedros De acordo com o número de faces, os poliedros convexos ou não, possuem nomes especiais. Nº de faces Nome do poliedro 4 Tetraedro 5 Pentaedro 6 Hexaedro 7 Heptaedro 8 Octaedro

Nomenclatura dos poliedros... Professor Joel Nomenclatura dos poliedros... Nº de faces Nome do poliedro 9 Eneaedro 10 Decaedro 11 Undecaedro 12 Dodecaedro 13 Tridecaedro 14 Tetradecaedro 15 Pentadecaedro 20 Icosaedro

Poliedros regulares Um poliedro convexo se diz regular quando: Professor Joel Poliedros regulares Um poliedro convexo se diz regular quando: Suas faces são polígonos regulares congruentes entre si; Seus ângulos poliédricos são congruentes entre si. Os poliedros regulares são chamados de sólidos platônicos, em homenagem ao filósofo grego Platão(427 – 347 a.C.) que os utilizava para explicar cientificamente os fenômenos naturais.

Poliedros regulares... Existem somente cinco poliedros regulares. Professor Joel Poliedros regulares... Existem somente cinco poliedros regulares. TETRAEDRO 4 faces triangulares equiláteras 4 vértices 6 arestas

Poliedros regulares... HEXAEDRO(cubo) 6 faces quadradas 8 vértices Professor Joel Poliedros regulares... HEXAEDRO(cubo) 6 faces quadradas 8 vértices 12 arestas

Poliedros regulares... OCTAEDRO 8 faces triangulares equiláteras Professor Joel Poliedros regulares... OCTAEDRO 8 faces triangulares equiláteras 6 vértices 12 arestas

Poliedros regulares... ICOSAEDRO 20 faces triangulares equiláteras Professor Joel Poliedros regulares... ICOSAEDRO 20 faces triangulares equiláteras 12 vértices 30 arestas

Poliedros regulares... DODECAEDRO 12 faces pentagonais 20 vértices Professor Joel Poliedros regulares... DODECAEDRO 12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas

Relação de Euler Em todo poliedro convexo vale a relação: Professor Joel Relação de Euler Em todo poliedro convexo vale a relação: V + F = A + 2 HEXAEDRO OU PARALELEPÍPEDO F = 6 V = 8 A = 12 ONDE V: Nº de vértices A: Nº de arestas F: Nº de faces V + F = A + 2 8 + 6 = 12 + 2

Professor Joel Propriedades... Consideremos um poliedro convexo em que n é o número de lados de cada face e p é o número de arestas que concorrem em cada vértice. Assim, temos: 2A = nF = pV 2A = nF 2A = pV nF = pV Ex: CUBO A= 12, V= 8, F= 6 2 . 12 = 4 . 6 = 3 . 8

SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO Professor Joel Propriedades... SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES DE UM POLIEDRO CONVEXO A soma S dos ângulos das faces de um poliedro convexo que possui V vértices é: S = (V – 2) . 360º Ex: Uma pirâmide de base quadrada. V = 5, S = (5 – 2) . 360º , S = 3 . 360º , S = 1080º

Exercícios... Resolução: Professor Joel Exercícios... 1) Um poliedro convexo tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais. Obtenha: a) O número total de vértices, faces e arestas do poliedro. b) A soma dos ângulos internos de todas as faces. Resolução: a) F = 3 + 1 + 1 + 2 F = 7 V + F = A + 2 V + 7 = 15 + 2 V = 17 – 7 V = 10 2.A=n.F 2.A = 3.3 + 1.4 + 1.5 + 2.6 2.A = 9 + 4 + 5 + 12 2.A = 30 A = 15 b) S = (10 – 2).360º S = 8.360º S = 2880º

Exercícios... Resolução: Professor Joel Exercícios... 2) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares, duas faces quadrangulares, uma face pentagonal e duas faces hexagonais. Resolução: F = 3 + 2 + 1 + 2 F = 8 2.A = n.F 2.A = 3.3 + 2.4 + 1.5 + 2.6 2.A = 9 + 8 +5 +12 2.A = 34 A = 17 V + F = A + 2 V + 8 = 17 + 2 V = 19 – 8 V = 11

Professor Joel Exercícios... 3) Em um poliedro convexo o número de vértices corresponde a do número de arestas e o número de faces é 3 unidades a menos do que o de vértices. Descubra quantas são as faces, os vértices e as arestas desse poliedro. Resolução: V + F = A + 2 V = . 15 V = . A .A + .A – 3 = A + 2 V = 10 F = V – 3 V = F + 3 . A = F + 3 2A + 2A -9 = 3A + 6 A = 15 F = . 15 – 3 F = 10 – 3 F = 7 F = . A – 3

“O temor a Deus é o princípio de toda sabedoria”. Professor Joel FIM Prof. Joel Ferreira “O temor a Deus é o princípio de toda sabedoria”.