Capitulo 8: Dualidade O que é um modelo Dual? De acordo com Andrade, E.L (2009): “ Todo problema de programação linear, que chamaremos de primal, traz com sigo uma segundo problema, chamado dual, sendo ambos completamente inter-relacionados, de tal maneira que a solução ótima de um fornece informações completas sobre o outro.” Para que precisamos estudar o modelo Dual? Devido às interpretações econômicas que o modelo Dual nos proporciona O modelo Dual pode ter uma solução mais fácil do que o original (primal), pois o número de restrições e variáveis pode ser diferente

Capitulo 8: Dualidade Vamos supor o seguinte modelo matemático: 1) Variáveis de decisão X1: Quantidade de produção do produto 1 X2: Quantidade de produção do produto 2 X3: Quantidade de produção do produto 3 2) Função Objetivo (maximizar o lucro) Max Z= 2X1+4X2+3X3 3) Restrições Mão de Obra X1 + X2+ 2X3≤10 Matéria Prima 3X1+ + X3≤5 Horas de Máquinas 2X2+ X3≤6 Com X1, X2 e X3≥0 Esse é o modelo original, chamado de Primal

Capitulo 8: Dualidade Vamos agora, transformar o modelo Primal em um modelo Dual. Apenas para uma questão didática, vamos organizar o modelo da seguinte maneira (forma matricial), e vamos seguir os passos abaixo 1) Transformamos a função objetivo de “Maximizar” para “Minimizar” 2) Para cada restrição (são 3 no exemplo), criamos uma variável Y 3) Colocar cada Y na função objetivo do Dual e dar ao seu coeficiente o valor máximo da restrição a que se refere PRIMAL DUAL Max Z= 2X1+ 4X2+ 3X3 X1 + X2+ 2X3≤10 3X1+ + X3≤5 2X2+ X3≤6 Y1 Y2 Y3 Min Z= 10Y1 +5Y2 +6Y3

Capitulo 8: Dualidade Agora que já temos a Função Objetivo do Dual, vamos definir as restrições: 4) Cada variável de decisão do Primal, corresponde a uma restrição no Dual, cujo limite (bi) será o coeficiente da variável Primal na função objetivo. Os coeficientes das restrições do Primal para a mesma variável (X1, por exemplo) se transformarão nos coeficientes das variáveis Y do Dual. O sinal da inequação deverá ser trocado: onde tiver “≤” deverá ser colocado “≥” Analogamente, para os coeficientes de X2 e X3, teremos: PRIMAL DUAL Max Z= 2X1+ 4X2+ 3X3 Restrições 1X1 + X2+ 2X3≤10 3X1+ + X3≤5 2X2+ X3≤6 MinW= 10Y1+5Y2+6Y3 Restrições Y1 Y2 Y3 1Y1+ 3Y2+ 0Y3 ≥2 1Y1+ 0Y2+ 2Y3 ≥4 2Y1+ 1Y2+ 1Y3 ≥3

Capitulo 8: Dualidade Assim, teremos os dois modelos da seguinte forma: PRIMAL Max Z= 2X1+ 4X2+ 3X3 Sujeito a: X1+ X2+2X3 ≤10 3X1+ X3 ≤5 2X2+ X3 ≤6 X1, X2 e X3 ≥0 DUAL Min W= 10Y1+5Y2+6Y3 Sujeito a Y1+3Y2 ≥2 Y1+2Y3 ≥4 2Y1+Y2+Y3 ≥3 Y1, Y2 e Y3 ≥0

Capitulo 8: Dualidade Assim, os conceitos básicos para a criação de um problema Dual através de um Primal se resumem da seguinte maneira: Para cada restrição de um Primal, teremos uma variável no Dual; Os limites das restrições do Primal (constantes que chamamos de bi) serão os coeficientes na Função Objetivo do Dual; A maximização no Primal se transforma em minimização no Dual e a minimização, em maximização; Quando as restrições do Primal forem “≤”, no Dual serão “≥” e vice-versa; A solução ótima obtida é a mesma para ambos os problemas Nota 1*: Tanto no Primal quanto no Dual, as variáveis (X ou Y) serão sempre positivas (ou seja: “≥0”) Nota 2: O Dual do Primal é o Primal do Dual. *Exceto quando uma das restrições tiver sinal de igualdade. Nesse caso a variável correspondente é irrestrita em sinal.

Capitulo 8: Dualidade Interpretação Econômica do Dual Num modelo de maximização dos lucros, o Dual se refere à capacidade dos recursos de gerar lucros. Dado o exemplo abaixo (Andrade E. L., 2009), vamos fazer a interpretação do modelo Dual: Problema Primal: Problema Dual: Max. Z= 5X1+6X2 Sujeito a: X1+2X2≤14 (Recurso A) X1+ X2≤9 (Recurso B) 7X1+4X2≤58 (Recurso C) X1 e X2 ≥ 0 Onde: X1 é a quantidade do Produto 1 e X2 a do Produto 2 Min. W= 14Y1+9Y2+58Y3 Sujeito a: Y1+Y2+7Y3 ≥5 2Y1+Y2+4Y3 ≥6 Y1, Y2 e Y3 ≥ 0

Capitulo 8: Dualidade O Simplex do problema Dual seria: Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 1 10 -2 4 -3 -1 5 50 1) Qual o valor de Z do Primal? 2) Quais as variáveis básicas? 3) Quais as variáveis não básicas? 4) Qual o valor de Y1 e o que significa? 5) Qual o valor de Y2 e o que significa? 1) Max Z = min. W = 50 2) Y1 e Y2 3) Y3, Y4 e Y5 4) Y1 é igual a 1 (coluna b) e é chamado de utilidade marginal. Ele representa a primeira restrição, que é o recurso A. O valor 1 atribuído a ele, significa que a cada 1 unidade a mais desse recurso, o lucro é acrescido de 1 unidade. Inversamente, para cada 1 unidade perdida nesse recurso, o lucro é subtraído de 1 unidade também. 5) Y2 é igual a 4 (utilidade marginal). Ele representa a segunda restrição, que é o recurso B. O valor 4 atribuído a ele, significa que a cada 1 unidade a mais desse recurso, o lucro é acrescido de 4 unidades. Inversamente, para cada 1 unidade perdida nesse recurso, o lucro é subtraído de 4 unidades também.

Capitulo 8: Dualidade O Simplex do problema Dual seria: Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 1 10 -2 4 -3 -1 5 50 6) Qual o valor de Y3 e o que significa? 7) O recurso C é escasso? 8) Qual o valor de Y4 e o que significa? 6) Y3 é uma variável não básica, por isso seu valor é 0. Ele representa o recurso C. Significa que uma variação unitária na sua disponibilidade não causará nenhum efeito no lucro final. 7) Não. A folga desse recurso é de 10 unidades e pode ser vista na linha que representa W (última linha). 8) Y4 é uma variável não básica, por isso seu valor é 0. Na linha que representa W, o coeficiente 4 indica que serão produzidos 4 Produto1. Se ele fosse diferente de 0 (variável não básica) o seu valor (na coluna b) significaria um lucro marginal negativo (que seria o quanto o lucro seria menor se fossemos obrigado a produzir o Produto1)

Capitulo 8: Dualidade O Simplex do problema Dual seria: Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 1 10 -2 4 -3 -1 5 50 9) Qual o valor de Y5 e o que significa? 10) Quanto você pagaria para comprar 1 unidade do recurso B? 11) Quanto você pagaria para comprar 1 unidade do recurso C? 9) Y5 é uma variável não básica, por isso seu valor é 0. Na linha que representa W, o coeficiente 5 indica que serão produzidos 5 Produto2. Se ele fosse diferente de 0 (variável não básica) o seu valor (na coluna b) significaria um lucro marginal negativo (que seria o quanto o lucro seria menor se fossemos obrigado a produzir o Produto2) 10) O recurso B é escasso e cada unidade dele aumentará o lucro em $4, por isso, poderíamos pagar qualquer valor abaixo de $4 (somando-se seus custos) 11) O recurso C está sobrando. Não deve ser comprado

Capitulo 8: Dualidade Exercicio 8.1 Fazer o Dual e a interpretação do modelo Dual: Problema Primal: Problema Dual: Max. Z= 13X1+4X2 Sujeito a: 2X1+1X2≤80 (Recurso A) X1+ X2≤60 (Recurso B) X1≤50 (Recurso C) X1 e X2 ≥ 0 Onde: X1 é a quantidade do Produto 1 e X2 a do Produto 2 Min. W= 80Y1+60Y2+50Y3 Sujeito a: 2Y1+Y2+Y3 ≥13 Y1+Y2 ≥4 Y1, Y2 e Y3 ≥ 0

Capitulo 8: Dualidade O Simplex do problema Dual seria: Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 1 2,5 6,5 20 10 40 520 1) Qual o valor de Z do Primal? 2) Quais as variáveis básicas? 3) Quais as variáveis não básicas? 4) Qual o valor de Y1 e o que significa? 5) Qual o valor de Y2 e o que significa? 6) O recurso B é escasso? 1) Max Z = min. W = 520 2) Y1 e Y5 3) Y2, Y3 e Y4 4) Y1 é igual a 6,5 (coluna b) e é chamado de utilidade marginal. Ele representa a primeira restrição, que é o recurso A. O valor 6,5 atribuído a ele, significa que a cada 1 unidade a mais desse recurso, o lucro é acrescido de 6,5 unidade. Inversamente, para cada 1 unidade perdida nesse recurso, o lucro é subtraído de 6,5 unidade também. 5) Y2 é uma variável não básica, por isso seu valor é 0. Ele representa o recurso B. Significa que uma variação unitária na sua disponibilidade não causará nenhum efeito no lucro final. 6) Não. A folga desse recurso é de 20 unidades e pode ser vista na linha que representa W (última linha).

Capitulo 8: Dualidade O Simplex do problema Dual seria: Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 1 2,5 6,5 20 10 40 520 7) Qual o valor de Y4 e o que significa? 8) Qual o valor de Y5 e o que significa? 7) Y4 é uma variável não básica, por isso seu valor é 0. Na linha que representa W, o coeficiente 40 indica que serão produzidos 40 Produto1. 8) Y5 é igual a 2,5 (coluna b) e significa um lucro marginal negativo. Não será produzido nenhum produto 2, mas, se fossemos obrigado a produzir lo, cada unidade produzida traria um prejuízo de $2,5