Lista 3!!!

3. Um oscilador criticamente amortecido,partindo da posição de equilíbrio, recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial v0. Verifica-se que ele passa por seu deslocamento máximo, igual a 3,68 m, após 1 segundo. Qual é o valor de v0? (b) Se o oscilador tivesse um deslocamento inicial x0 = 2 m com a mesma velocidade inicial v0, qual seria o valor de x no instante t? R: (a) v0 = 10 m/s (b) x(t) = e−t (2+12t) Vamos construir as equações básicas e impor as condições iniciais propostas.

O caso crítico O caso super crítico O caso amortecido

Em t = 0 : x(0) = 0  a = 0

Item a: A velocidade inicial será: Item b: Para uma condição inicial de partida em Xo = 2m temos: A condição inicial de partida resulta que a = 2m A velocidade inicial é dada sendo 10m/s, então obtemos o valor de b:

4. (Poli 2006) O Gráfico de x(t), mostrado na figura abaixo, representa a equação horária de um oscilador criticamente amortecido, para um sistema composto de um corpo de massa m = 1, 0 Kg preso a uma mola de constante elástica k e imerso em um líquido viscoso, de coeficiente de resistência viscosa. (a) Em que instante de tempo a velocidade do corpo será nula, no intervalo de tempo mostrado no gráfico? A velocidade é zero quando a tangente da curva for zero. Isso corresponde em t = 3 s V = 0 t = 3s

(b) A equação horária x(t) pode ser escrita como: x(t) = e−/2t(a + bt) Podemos derivar x(t) duas vezes e montar a equação diferencial. E em seguida mostramos que a identidade vale: Determine os valores de a e b. (c) Determine a constante de decaimento e a constante elástica k da mola. (d) Determine o valor da velocidade inicial do oscilador. R: (a) t=3s; (b) a = 0, 5 m e b = 0, 5 m/s; (c) = 1 s−1; (d) v0 = −0.75 m/s.

Oscilações livres com amortecimento viscoso proporcional a velocidade. é o atrito viscoso. Freqüência angular com dissipação viscosa.

Item b: Solução da Equação do Movimento com Atrito Viscoso Vamos testar uma solução com a função: As suas respectivas derivadas são: Que, substituídas na equação resulta: a solução para x será:

A solução fica na forma: Observe que temos duas soluções possíveis! Mas! então o termo da raiz é complexo! e fazendo: Escrevendo a raiz na forma: Uma solução parcial será:

Usando-se a relação de Euler: A solução final tem a forma: O termo de atrito viscoso é: A freqüência angular desta oscilação será: A oscilação esta em estado crítico quando: Também chamado caso degenerado:

Uma equação dif. de seg. grau tem 2 soluções que no caso degenerado já sabemos uma. Como será a forma da segunda solução? A outra solução é procurar a forma : e repetindo o processo anterior de derivação sucessiva. Concluiremos que a segunda solução : E assim a solução geral do caso degenerado será:

Item b: Para t = 0 temos x = 0.5 x = 0 Para t = 1s temos x = 0 t = 0

Item c: Se v(3) = 0 EXTRAIR O VALOR DE GAMA e o k da mola : A VELOCIDADE SERÁ:

A equação de d´Alembert A solução da equação de d´Alembert tem a forma y(x,t) = f(x±vt) onde o sinal (–) significa que a propagação será progressiva () e (+) regressiva () e v é a velocidade de propagação da onda. A busca da sua solução implica em se impor condições de contorno. A solução y(x,t) = f(x±vt) pode ser simples ou muito complexa!

20. (Poli 2006) Uma corda uniforme, de comprimento 20 m e massa 2 Kg, está esticada sob uma tensão de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude 3 cm e frequencia de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima. (a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda da onda transversal progressiva que é produzida na corda. (b) Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado a uma distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade. (c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada.

Se a massa é 2Kg e o comprimento 20m a densidade linear da corda é : A velocidade é dada por: O comprimento de onda é dado por: Onde :

Uma solução geral da equação de d´Alembert é: A amplitude A é 3cm 0,03m e a fase se obtém impondo y(0,0) = 0,015m(f = p/3) 2m 3cm

A potência média é :

12. Considere duas partículas A e B cada uma com massa m conectadas por uma mola de constante elástica k e comprimento natural. Cada partícula está ligada a dois suportes C e D por duas molas com as mesmas características da primeira mola.Os dois suportes são separados por uma distância 3b, como mostrado na figura (a). Em um dado instante de tempo t o deslocamento das partículas A e B é x e y a partir da posição de equilíbrio resultando nas forças mostradas na figura. Calcule as frequências de oscilação do sistema.

Modo Anti - Simétrico Modo Simétrico

11. Duas partículas de mesma massa, igual a 250 g, estão suspensas do teto por barras idênticas, de 0,5 m de comprimento e massa desprezível, e estão ligadas uma à outra por uma mola de constante elástica 25 N/m. No instante t = 0, a partícula 2 (figura abaixo) recebe um impulso que lhe transmite uma velocidade de 10 cm/s. Determine os deslocamentos x1(t) e x2(t) das posições de equilíbrio das duas partículas (em cm) para t > 0. R: x1(t) = 1,13 sen(4,43t) − 0,34 sen(14,8t) x2(t) = 1,13 sen(4,43t) + 0,34 sen(14,8t)

Dr. Sebastião Simionatto FEP 2196 - 2009