Tópico Avançado: A teoria Geral da Relatividade.

Base matemática da forma covariante para as leis da mecânica e do eletromagnetismo. Num sistema de eixos ortogonal necessitamos apenas das quantidades ax e ay para descrever o vetor . Imagine um vetor descrito num sistema de eixos ortogonal. Imagine o mesmo vetor descrito num sistema de eixos não ortogonal.

Num sistema de eixos não ortogonal generalizado as quantidades ax, e ay, para descrever o vetor não são as únicas possiveis. As projeções paralelas e do vetor nos novos eixos também são possiveis. Elas são chamdas de componentes contravariantes do vetor. Estas componentes são chamadas de covariantes.

Para o caso de um produto escalar num sistema de eixos ortogonal: Os fatores: Então escrevemos o produto escalar: Podemos generalizar o produto escalar para qualquer sistema na forma: Definimos: Obs: índices repetidos são somados.

Para se escrever uma derivada na forma covariante: Obs: índices repetidos são somados.

A relatividade formulada por Einstein em 1905 era limitada pois é claro que devemos formular uma teoria que seja válida para qualquer referencial. Assim as leis da mecânica e do eletromagnetismo passam a ser matemáticamente expressas na forma covariante, isto é, elas tem a mesma forma para qualquer referencial escolhido. Onde a mecânica esta no termo: Chama-se símbolo de Christoffel.

O eletromagnetismo de Maxwell é descrito na forma: Sendo que: é chamado de tensor métrico. Não introduzimos nada de novo com a formulação aqui apresentada apenas extendemos os limites de aplicação da relatividade restrita para referenciais não inerciais fazendo-se uso de um formalismo matemático adequado para este propósito.

Para expor a idéia de formalismo covariante vamos tomar como exemplo o paradoxo dos gêmeos – Besso & Besso´. Observe que ainda não introduzimos campo gravitacional!!

Imagine que Besso esta parado no ponto x e que seu irmão Besso´ desloca-se em círculo com velocidade 0,6c. O envelhecimento para de Besso´ em relação a Besso será no tempo para Besso.

O referencial de Besso´ é um círculo de raio r. Então o tensor métrico de Besso´ será escrito na forma:

O tempo no referencial de Besso´ será dado pela forma: Conclusão! Para Besso´ o tempo de seu irmão Besso é: dtBesso´ = dt Isto é: Besso envelhece mais rápido que o irmão vajante mesmo se consideramos o tempo no referencial do irmão viajante, Besso´.

Einstein observou que não podemos jamais eliminar a gravidade só com a escolha de um referencial conveniente e este fato o conduziu a reformular a relatividade restrita nos seguintes termos: Conservando o seu primeiro postulado da relatividade restrita mas abandonando o postulado da constância da velocidade da luz!

Vamos entender o porque Einstein abandonou o princípio da constância da velocidade da luz para qualquer referêncial. Imagine este lugar longe de uma massa gravitante!O espaco-tempo é quase plano. Então aqui a velocidade da luz é  c! em relação a uma posição mais próxima de uma massa gravitante Também não podemos mais sincronizar relógios entre estes dois lugares. Imagine este lugar mais perto de uma massa gravitante! Aqui o espaço-tempo é curvo! Então aqui a velocidade da luz é > c! em relação a uma posição mais distante de uma massa gravitante.

Einstein se perguntou: Porque sob um campo gravitacional corpos com massas diferentes caem com a mesma aceleração? A resposta que ele encontrou é que a gravitação é uma força inercial! Einstein percebeu que a única região do espaço em que poderia ser observado o fenômeno de equivalência de inércia e gravitação seria numa região infinitesimal do espaço mas o espaço visto de maneira global deveria ser curvo devido a presença de matéria. Esta é a origem da gravitação!!

Vamos ver isto com outro ponto de vista. O comprimento de um círculo num ref. inercial respeita a relação Cinercial = 2pr mas a mesma régua no ref. girante(não inercial) sera encurtadada na razão (1 - v2/c2)1/2 portanto agora Cnão-inercial ≠ 2pr. Não podemos comparar réguas entre estes dois referenciais.

Também não podemos comparar relógios entre os dois referenciais. No ref. Inercial ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2 e então: g = (1,1,1,-1)diagonal em: No ref. não inercial girante com velo. angular w:

Não podemos comparar o tempo no ref. não O tempo no ref. não inercial girante com veloc. angular w não é escrito na mesma forma que no ref. inercial: Não podemos comparar o tempo no ref. não inercial girante e nem entre outro ref. girante. Os relógios não são mais sincronizaveis.

A relatividade geral, formulada em 1916 tinha a seguinte estrutura: 1)Os fenômenos físicos observados devem ser os mesmos independente do referencial inercial que escolhermos. 2)Vale o Princípio da equivalência da inércia e da gravitação num elemento infinitesimal do espaço-tempo. 3)Vale o princípio de Mach que afirma que a inércia dos corpos é devida a ação de todos os outros corpos no universo.* *Esta afirmação posteriormente foi eliminada devido a existência de curvatura do espaço-tempo para o espaço vazio.

ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2 A geometria da teoria geral A geometria de Minkowski que é escrita na forma: ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2 e é chamada de pseudo-euclidiana pois o termo c2t2 tem sinal negativo, passa a ter termos cruzados sendo impossível de ser reduzida novamente na forma de Minkowski. A geometria da teoria geral da relatividade será agora descrita pela geometria do espaço curvo de Riemman.

Na relatividade geral não existe gravidade o que existe é a curvatura do espaço-tempo devido a presença de matéria!

Numa região exterior a massa as equações de campo de Einstein serão regidas apenas pelo tensor de curvatura de Ricci no vácuo.

O Paradoxo de Olbers. Porque o céu noturno é escuro? O céu deveria estar plenamente iluminado pelas infinitas estrelas!!!!!

Fim. Dr. S. Simionatto - 2009