   JÁ SABEMOS ESCREVER OS TERMOS ACIMA!! 3.9.8: A Pressão Total no Interior de uma :  Ela será a resultante das contribuições de todos as componentes: (3.72) elétrons núcleos    JÁ SABEMOS ESCREVER OS TERMOS ACIMA!! »» Balanço entre Pr e Pgás: e ; Igualando as duas expressões, obtém-se a região limite para P: fótons

 Limite entre predominâncias de Pr e Pgás : ( em g/cm3 e T em K).  Isso pode ser visto na Fig. 3.6 (Maciel’s): Pr domina Pgás domina não DG DG não-relativístico relativístico cristalização

IV: TERMODINÂMICA DO INTERIOR ESTELAR (cf. R. REIF, “Fundamental of Statistical & Thermal Physic”, McGraw-Hill) Introdução: ▲ Em geral,  está em Equilíbrio Hidrostático, mas, nem sempre tem configuração estática. »» Durante sua evolução, sofre contrações e expansões, em pelo menos parte de suas camadas internas.  Se forem suficientemente lentas, ≡ ≡ ≡ ≡ sistema em equilíbrio a qualquer momento ► ► processo quase-estático, ou reversível (i.é, pode ocorrer no sentido inverso)  Processos ocorrendo corriqueiramente no interior estelar  podem , assim, ser tratados como adiabáticos

»» Uma  como um todo, deve obedecer às leis da termodinâmica dos processos irreversíveis ≡ ≡ ≡ ≡ de não-equilíbrio. ► Aproximação geralmente feita: dividir a  em camadas, cada uma delas em equilíbrio. 4.1: A Lei de Stefan-Boltzmann »» De antes: ≡≡ lei de Stefan-Boltzmann,  deduzida    leis da Termodinâmica + processos quasi-estáticos:  1ª lei da termodinâmica (1LT), (4.1)

sendo a variação de entropia do sistema, ► ► ; , sendo o calor absorvido pelo sistema, a variação da energia interna e o trabalho realizado pelo   2ª lei da termodinâmica (2LT), (4.2) , sendo a variação de entropia do sistema, ► ► ; » Em geral, E = E(V,T) e deve-se escrever: (4.3) ; Como em geral, também S = S(V,T),  ► (4.4) ; sendo

» Relembrando que é a densidade de energia por V, E conclui-se: (4.5) . » Relembrando que é a densidade de energia por V, vem que E = U(T) V. Daí, (4.6) e (4.7) . ▲ Para um gás de fótons, e de (4.5) – (4-7), , cuja integral  ► U = const. X T4 lei de Stefan-Boltzmann

4.2: Calores Específicos (gases perfeitos): ▲ Algumas relações termodinâmicas p/ os gases perfeitos: »» de , com E = E(T)  ► (4.8) onde agora ≡ o volume específico. »» Introduzamos os calores específicos a volume constante e a pressão constante: (4.9) e (4.10) . (cf. Reif, cap. 3)

» E a razão dos calores específicos, (4.14) . Utilizando agora a eq. de estado dos Gases Perfeitos, considerando  constante (razoável!) e R ⁄  = constante dos gases ⁄ grama de matéria  ► (4.11) . »» Para dQ, de (4.8) e (4.11) , (4.12) » O cP fica: (4.13) . » E a razão dos calores específicos, (4.14) .

»» Para gás perfeito monoatômico (cf. Reif), E = 3/2 NkT , donde e como , segue que: (4.15) , o que nos fornece o resultado clássico  = 5/3 que vale para um gás ideal monoatômico . ►   É possível mostrar que  depende de f ≡ , f ≡ número de graus de liberdade da partícula, sendo  = 1 + 2 ⁄ f , e para f = 3,   = 5 ⁄ 3

►► outras formas dessa equação: 4.2: Expansão Adiabática de um Gás: »» Da 1LT (p/ unidade de massa) ► e como com se obtém Como, para um gás ideal cP e cV são ctes.,  Integrando   T V -1 = constante (4.16) ►► outras formas dessa equação: PV  = cte. , P 1-  T  = cte. , T = cte.  -1 (4.17) Reif

variações adiabáticas num gás perfeito não degenerado. »» em termos das variações adiabáticas dos parâmetros, podemos escrever: (4.18) e (4.19) variações adiabáticas num gás perfeito não degenerado. »» O Gradiente Adiabático é uma grandeza que aparece amiúde no interior das s : (4.20) . Para um gás perfeito (eq. 4.18), (4.21) . »» Ex.: gás perfeito monotômico ► ►  = 5/3 e = 2/5 Entropia constante

4.4: Efeito da Pressão de Radiação »» s + massivas : Pr pode ser importante → Pg .  Examinemos a expansão adiabática de um gás ideal, não DG e monoatômico, levando em conta Pr : (4.21) A energia interna ≡ energia cinética do gás:   e, Ptotal

» Por outro lado, da 1ªLT, e das eqs. anteriores, Analogamente, Como a expansão é adiabática, (4.22) , onde , e Analogamente, (4.23) .

»» Por analogia com o gás de partículas,  ► define-se os Expoentes Adiabáticos de Chandrasekhar, de modo a conservar a forma das eqs.: (4.24) , (4.25) e (4.25) ; das relações acima obtém-se: (4.26) . »» E quanto vale para um gás com patclas. + radiação?

 da definição do gradiente, e de  (4.27) »» Outras relações que podem ser obtidas para os  :

»» Exs. Práticos de valores dos  e : ( ) ≡ ≡ gás de partículas, sem radiação; ≡ ≡ gás só de fótons   = 5/3 »» Finalmente, Gradientes de T, P e  podem ser deduzidos das eqs. dT/T... e dP/P...: exs., Euler Lagr.

4.5: Gás Parcialmente Ionizado (caso + real!) »» Se nesse gás ocorre p.ex. que T ,  Grau de ionização , ≡ ≡ Grande Gasto de Energia e  Termodinâmica ≠ da de um gás neutro ou ionizado ne ≠ constante  {gás com calor específico grande} »» Em ET, as populações relativas de dois níveis de energia j e k de um elemento X no estágio de ionização r são dadas pela equação de Boltzmann, (4.28) , sendo

≡ pesos estatísticos dos níveis e ≡ as energias desses níveis. onde ≡ pesos estatísticos dos níveis e ≡ as energias desses níveis. » Generalizando essa equação, obtém-se, a distribuição dos átomos do elemento X nos diversos estágios de ionização  (4.29), onde = densidade de elétrons e equação de ionização de Saha: ≡ função de partição: 

  a função de partição do átomo X no estágio de ionização r é: NOTA: j e k ≡ Estados de Excitação; r ≡ Estágio de ionização »» Em ET, equações de Boltzmann e Saha  populações de cada nível e cada estágio de ionização dos átomos do gás, conhecidos os gs , fr , H , etc... »» P.ex., seja um gás de H puro em ET; nele ocorrem H+ + e-  H0 + H ,

potencial de ionização do nível fundamental do H H+ + e-  H0 + H , onde H = 13,6 eV é o potencial de ionização do nível fundamental do H NOTA: SUPONDO UM ÚNICO NÍVEL PARA O H  » Nesse caso, a eq. de Saha será , n+ = np, n0 = n de H neutro (4.30) Relações úteis: 13,6 eV

»» Podemos então, determinar as populações relativas e o grau de ionização x do gás, ou seja, a fração do gás de H puro que se encontra ionizada: = (n+ ⁄ n) = ne ⁄ n ≡ y , ou seja, p/ H neutro e para H totalmente ionizado. » A eq. de SAHA pode então ser escrita: (4.31)

aplica-se a equação de Saha sucessivamente a »» NA VIDA REAL: aplica-se a equação de Saha sucessivamente a todas as espécies de partículas existentes no gás  grau de ionização de todos os componentes. »» Ex. com o Sol: (H puro) interior, >P, >T regiões superficiais fig. 5.1

»» AINDA NA VIDA REAL: (Natureza camarada...) a) geralmente, DOIS estágios de ionização bastam e as zonas de ionização respectivas são separadas; b) geralmente, apenas ALGUNS níveis atômicos precisam ser considerados. {cf. referências s/ o assunto em Maciel, pg. 110} »» ALGUNS RESULTADOS (Gás de H puro, parcialmente ionizado) :

 1) Calores Específicos: da definição dos mesmos  (4.32) (4.33) , sendo , n = H + H+ + ne = H + 2H+ e V ≡ volume específico = Vol./massa (cm3g-1) , e ne , H+ + H = Na ⁄ V , Na ≡ nº de Avogadro

ci = 2 c0, pois o número de ptclas. livres = 2x > » Variação de cP e cV com xH : p/ H neutro, =1 e ordenada=cP/c0 p/ H ionizado, =1/2 e ord.= 2cP/c0 xH = fração do gás ionizada ≡ ≡ grau de ionização do gás c0 ci fig. 5.2  nas regiões intermediárias, os c  , pois precisa-se de > E para  a ionização.  cP ⁄ cV não varia com xH ci = 2 c0, pois o número de ptclas. livres = 2x >

 2) s : »» Em geral, Mas, s ~1 A partir das definições dos   (4.35) ... e suas variações, para T≃104 K (≡ interior de uma estrela) 

3) Gradiente adiabático:  (só H...; porém, como ele é o + abundante, a figura abaixo é bastante representativa) 3) Gradiente adiabático: como e , também muda. fig. 5.3  variações rápidas nas regiões 0 – 1% e 99 – 100%;   < 4/3 (~1,33) ≡ instabilidades ISTO É, Na > parte do tempo, a ionização age como fator desestabilizante 5 – 95%

E é gasta com ionização »» Num gás de H puro parcialmente ionizado, (4.36) Ei-lo, nas camadas externas do Sol: ou seja, se xH , ad  , pois E é gasta com ionização

Havera DG se: Trans. Relat-nao rel.