GEOMETRIA DE ESPAÇOS CURVOS distribuição de matéria afeta a geometria do espaço-tempo possibilidade do espaço não ser “euclidiano” Geometria euclidiana C=2R soma dos ângulos = 180o

ESPAÇOS UNIFORMES Espaço euclidiano  uniforme = homogêneo + isotrópico (espaço plano) Princípio cosmológico geometria congruente  formas espaciais invariantes a rotações e translações ++=s Existem somente 2 tipos de espaços não-euclidianos que são uniformes: espaço esférico (geometria de Riemann) espaço hiperbólico (geometria de Lobachevski) espaços de comprimento intrínseco R Se R >> região  geometria local euclidiana

Se R for muito grande em comparação com regiões conhecidas em escalas cósmicas  dificuldade em distinguir entre os três tipos de espaços nossa experiência é com fenômenos em pequena escala Universo localmente euclidiano Postulados: Em um espaço plano  somente uma paralela a uma dada linha reta que passa num dado ponto. Em um espaço esférico  paralela a uma dada linha reta que passa num dado ponto Em um espaço hiperbólico  várias paralelas a uma dada linha reta que passam num dado ponto

Soma dos ângulos > 180o Espaço esférico: C > 2r Espaço hiperbólico: Soma dos ângulos < 180o C < 2r

Exemplo : Terra arco de círculo máximo (geodésica)

Quantidade que se quer determinar: curvatura do espaço K relacionada com a escala intrínseca R do espaço

CURVATURA DE UMA CURVA PLANA Definição: curvatura média entre M e M’ = ângulo formado pelas duas tangentes à curva nos pontos M e M’ = distância entre os dois pontos medida sob a curva

Curvatura no ponto M: y y+y x x+x   s y=f(x) w =  - 

círculo: x2+y2 = R2  K (x) = 1 / R Aplicação de reta: y=ax+b  K (x) = 0 círculo: x2+y2 = R2  K (x) = 1 / R parábola: y=ax2  K (x)=2a/(1+4a2x2)3/2 (dependente do sistema de coordenadas) origem K (0)=2a

P y x Na vizinhança de P: F(x,y) ~ 1/2k1x2+1/2k2y2 CURVATURA DE UMA SUPERFÍCIE Superfície representada por uma função Z = f (x,y) Escolhendo a orientação de x e y tal que F(x,y) ~ parabolóide: z = F(x,y) ~ ax2+bx2 x y P DEFINIÇÃO: Ҝ=k1K2 onde k1=2a e k2=2b Na vizinhança de P: F(x,y) ~ 1/2k1x2+1/2k2y2

Ҝ= 1/R2 x2+y2+(z - R)2 = R2 z ~ (x2+y2)/2R R P K1= 1/R = K2 Aplicação: ESFERA x2+y2+(z - R)2 = R2 X Y Z R P z ~ (x2+y2)/2R K1= 1/R = K2 Ҝ= 1/R2 Neste caso a curvatura independe das coordenadas  esfera de raio R é uma superfície de curvatura constante e positiva

HIPERBOLÓIDE P z = ax2 + by2 com a e b > 0 Ҝ= -4ab

Ҝ= -1/R2 ATENÇÃO!!! Somente a região central representa um espaço hiperbólico uniforme fora da região central o espaço não é isotrópico nem homogêneo Ҝ= -1/R2

Medidas intrínsecas de curvatura de uma superfície Triângulos desenhados sobre a superfície Teorema de gauss: sobre a área do triângulo K=0  ++ =  K > 0  ++ >  K < 0  ++ < 

Hilbert: não se pode construir num espaço plano uma superfície bidimensional que represente exatamente a geometria de um espaço UNIFORME hiperbólico Ҝ constante e < 0