1 3.5: Equilíbrio Termodinâmico 1 A existência de equilíbrio termodinâmico (ET) ou equilíbrio termodinâmico local (ETL) no interior estelar grandes simplificações: »» pode-se escrever: (3.15) e (3.16) No caso do Sol, em

2 »» O caminho livre médio (mean free path) para as interações (colisões) entre as partículas no interior estelar é: (3.17) onde seção eficaz de interação. Para colisões de elétrons ou íons com elétrons ou íons, cm 2. Para interações de fótons com elétrons ou íons, cm 2. »» Define-se o peso molecular médio como o nº médio de u.m.a. / partícula de um gás (adimensional) u.m.a. 1,661 x g

3 Exemplos de valores de : H ionizado: = ½ ( / part.) = ½ m H Copo dágua: 18 Atmosfera da Terra: 29 »» Define-se a Densidade Numérica média n de partículas como: onde m H é a massa do átomo de H, A densidade numérica de partículas no interior estelar é, (3.18)

4 »» Com esses valores de n, ~ 10-7 cm para interações entre partículas e ~ 1 cm para interações envolvendo fótons. Isto é, se compararmos esses valores com os gradientes de P e T (eqs. (3.15) e (3.16) ) e variação muito pequena desses parâmetros em alguns : no caso mais desfavorável ( ~ 1 cm), ou, e CONCLUSÃO ??

5 CONCLUSÃO: P e T podem ser consideradas CONSTANTES nas regiões onde acontecem as interações EQUILÍBRIO TERMODINÂMICO 3.6: A Variação da Energia com r »» Seja a taxa de produção de energia nuclear (erg g 1 s 1 ) na região central da ; sua luminosidade L pode ser escrita: Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura » Vamos considerar novamente uma casca de raio r e espessura dr (figura 2.1)

6 e (3.19) (euler), variação radial de L ; ou, (3.20) (lagrange) Sendo L(r ) e L(r + dr) as energias/seg emitidas em r, e r + dr, e os valores locais, pode-se escrever:

7 »» Ordens de grandeza: De (3.19), com, deduz-se que: (3.21). Para o Sol,, o que permite escrever-se: para Estrelas em geral. Ex: SP

8 »» Da forma lagrangiana da eq. da variação radial de L, 8 (3.20), pode-se escrever: dL = є dM FÍSICA ?? »» Implementações na eq. (3.20) : inclusão dos neutrinos e caso não-estacionário: na presença de expansão e/ou contração, ocorre U e cabe a inclusão de um termo e a eq. de variação radial de L completa será: (3.21)

9 III - CONDIÇÕES FÍSICAS NO INTERIOR ESTELAR 9 (continuação) 3.8: O Gás de Elétrons Três simplificações importantes: ET (ETL), gás ionizado e gás perfeito* 3.8.1: Gases Perfeitos (GP): Um entre partículas << energia térmica delas Quando isso ocorre? escrita : * num gás perfeito, só existem as interações colisionais entre as partículas. (isto é, não existem forças de atração/repulsão intermoleculares).

10 Ocorre quando a interação é pequena ou quando o gás é suficientemente rarefeito. »» A relação entre a pressão, a temperatura e a densidade de um GP é: (3.22), sendo k a cte. de Boltzmann. » Em termos do número total de partículas N no volume V,, sendo o nº de moles, o nº. de Avogadro e R= 8,31 x 10 7 erg K -1 mol -1 é a constante dos gases. Como, segue que

11 »» INFORMAÇÃO PRÁTICA: um gás totalmente ionizado comporta-se como um GP, mesmo a densidades relativamente altas. »» Comparação entre as E térmica e E c de interação coulombiana num GP: para partículas com separação média de r, (3.22), sendo. o volume ocupado por uma partícula é e seja e T ~10 7 no interior estelar; com isso, e ;

12 » Por outro lado, ~ (3/2) kT ~ erg ~ 10 3 eV, isto é, E c << E t Se a condição acima não for satisfeita, desvio clássico do GP Outros casos de desvio: degenerescência, ioniz. Incompleta, criação de pares 3.8.2: Funções de Distribuição »» A distribuição das partículas de um gás em função de sua energia depende da estatística aplicada. a) No limite clássico, para partículas idênticas e distinguíveis, aplica-se a estatística de Maxwell-Boltzmann:

13 (3.23), sendo o peso estatístico do nível E, nº de configurações com energia E /cm 3. é o fator de degenerescência, que é f(n). » Para baixas densidades, e para altas, ; Para fótons,. b) Para partículas idênticas e indistinguíveis de spin semi-inteiros ( férmions), como elétrons, prótons e neutrinos, a estatística a aplicar é a de Fermi-Dirac:

14 (3.24) c) Para partículas idênticas e indistinguíveis, de spin inteiro (bósons), como fótons, partículas alfa e mésons, há que aplicar-se a estatística de Bose-Einstein: (3.25) »» Além da densidade de partículas usa-se às vezes o fator de ocupação, ou índice de ocupação f(E) = n(E)/g(E), que é ~

15 ~ A probabilidade de ocupação do estado de energia E. Para a distribuição de MB, e se (baixas densidades), f(E) << 1. »» O que mais nos ocupará no interior estelar? a P g é exercida essencialmente pelos elétrons, que seguem a Estatística de FD; nesse caso, (3.26) E nas altas densidades em questão, e obtemos, O que não é novidade. PORQUE??

16 » Em condições de T e n tais que (ocorre em baixas n ), FD MB 3.8.3: Pressão de um Gás Perfeito PRESSÃO TRANSFERÊNCIA DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO P = F / unidade de área taxa de transferência de QM; » Seja uma partícula com QM que incide numa superfície S no gás; Se a reflexão for especular (elástica), a QM transferida para S será: (ver Fig. 3.1)

17 Fig. 3.1 Seja o número de partículas com QM entre que incidem na superfície unitária/unid. de tempo, vindas de direções que fazem com a normal ângulos no intervalo ; Nessas condições, a Pressão no cone d pode ser escrita: e a pressão total no interior do gás será, (3.27) ;

18 » chamando a densidade de partículas movendo-se nas condições em questão, pode-se escrever (3.28), onde é a velocidade das ptclas. de QM a componente de v ao longo da normal n. »» Em condições de ET, a distribuição de velocidades é ISOTRÓPICA ângulo sólido subtendido pela figura 3.1 ; daí, = dS/r 2 e como teremos que =2 sin d e (3.29) sendo a densidade de ptclas. com QM entre

19 » de 3.27, 3.28 e 3.29, (3.30), para cuja integração temos de conhecer (cf. efeitos relativísticos) e a estatística adequada. da eq EQUAÇÃO DE ESTADO das partículas. »» Estamos interessados no momento num gás de elétrons ; Não muito próximo ao centro da, pode-se considerar que, isto é, FD MB, e a estatística dos e - pode ser escrita: (3.31), sendo n = densidade total de ptclas./cm 3 e

20 »» Assim, a Eq. de ESTADO de um gás Perfeito, Monoatômico, não-degenerado, não-relativístico e sem radiação, será: (3.32), sendo (é possível mostrar que o termo = 1, o que nos faz recuperar (3.22) : O Peso Molecular Médio A equação de estado de um gás perfeito formado de partículas de diferentes espécies, pode ainda ser escrita na forma que, com, sendo µ o peso molecular médio e.

21 » Nessas condições. Podemos definir µ como (3.33) ou seja, µ é a massa média das partículas do gás, em unidades de m H. »» Chamando X, Y e Z as frações por massa de H, He e elementos pesados, podemos obter uma relação µ(X, Y,Z) : EX.: um gás de H puro, completamente ionizado; a massa de H por cm 3 é, o número de núcleos de H /cm 3 é e o número de partículas livres /cm3 é ; de 3.33, ; CASO GERAL : Tabela 3.1

22 »» Pode-se então escrever para a densidade total, sendo Z um valor médio.

23 » Com, resulta (3.34) e sendo, (3.35) EXs.: H puro: µ = ½ ; He puro: µ = 4/3 ; metais puros: µ = 2; Gás totalmente ionizado: »»» Pode-se definir também um Peso Molecular relativo à m e : µ

24 (3.35), que é o Peso Molecular /elétron livre. Análogamente ao H, pode-se escrever: (3.36) e com, (3.37) e (3.38). EXs.: H puro: µ e = 1; He puro: µ e = 2 ; Gás ionizado em geral: Tab. 3.2

: Degenerescência »» A densidade de partículas de energia E e o índice de ocupação correspondente se relacionam por ;

26 » Para uma distribuição contínua de estados de energia, definimos a densidade de estados = o número de estados por unidade de volume com energia entre E e E + dE. » No espaço de quantidade de movimento, definimos analogamente como o nº de estados /unidade de volume, tal que a componente do vetor esteja no intervalo, etc... » o Princípio de Heisenberg nos diz que: e a incerteza na posição associada a partículas de quantidade de movimento é: que dá um volume associado de incerteza de:

27 » Para que os estados possam ser resolvidos e identificados, cada volume deve ser associado a um estado. portanto, o nº de estados / unidade de volume = inverso do (volume de incerteza) -1, Em ET as quantidades de movimento são isotrópicas, e como para estudar a DEGENERESCÊNCIA, devemos examinar a densidade de estados com entre, segue que: (3.39). dois graus de polarização

28 »» Como a pode ser escrita, de 3.39 (3.40) e sendo, pode finalmente ser escrita como: (3.41). ISTO É, À medida em que n, os e - são forçados a ocupar estados de maior, pois os de menor estarão ocupados, segundo o limite estabelecido em (3.41).

29 MORAL DA HISTÓRIA?? Nesse caso, os e - de maior contribuição importante pressão do gás; é a chamada PRESSÃO DE DEGENERESCÊNCIA. ILUSTRAÇÃO DA DITA CUJA P Deg : Façamos um corte no espaço de fase a seis dimensões (Fig. 3.2):

30 1) baixas n : é a de MB (curva a) [ n = f ( T )] 2) dobrando o nº de e - para a mesma T, também dobra n(p x ) (curva b) 3) esse comportamento NÃO continua indefinidamente: tem um limite, devido ao Princípio de Pauli (cf. Eq. 3.41). As células de menor p são ocupadas primeiro e os e - adicionais terão de ocupar estados de > energia curva deformada, MB, f(T) (curvas c, d, e, c/ graus de Deg. crescentes) 4) estágio de Deg. Completa: todas as células abaixo de p f ocupadas (f) Fig. 3.2

31 log T eff