Modelo Black&Scholes e Árvores Binomiais Aula 7 Modelo Black&Scholes e Árvores Binomiais

Apreçamento de Opções

Hipóteses de Black-Scholes A principal hipótese do modelo de Black-Scholes é a de que os preços do ativo objeto (ação, taxa de câmbio) à vista seguem uma distribuição log – normal. Uma variável segue uma distribuição log – normal, quando seu logaritmo natural é normalmente distribuído. Ou seja, a distribuição probabilística dos retornos à vista em uma data futura, calculados de forma contínua e composta a partir das suas cotações é normal. Essa hipótese é razoável ? Não necessariamente!

Retornos Petrobras 03/06 PETR4 PN diário

Retornos Ibovespa 03/06

Fórmula de Black&Scholes/ Merton

Fórmula de Black Scholes c – prêmio teórico da opção de compra (call) p – prêmio teórico da opção de venda (put) S – cotação à vista da taxa de câmbio (spot price) X – preço de exercício da taxa de câmbio

Fórmula de Black Scholes (opções de moeda) r – taxa de juros nominal contínua da moeda local projetada até o vencimento da opção r* – cupom cambial limpo t – tempo para o vencimento da opção σ – volatilidade da taxa de câmbio N(x) – função de probabilidade cumulativa de uma variável normal padronizada e – base dos logaritmos naturais = 2,718282; ln – logaritmo natural

Opção de compra européia de reais por dólar Cálculo do prêmio teórico, em 1/6/2004, de uma opção de compra de dólar X = R$ 3.300 / US$ 1,000, com vencimento em 90 dias corridos: S = R$ 3.145/ US$ 1,000 X = R$ 3.300/ US$ 1,000 t = 90 dias corridos = 0,25 ano r: “swap” CDI x Pré para 90 dias em 1/6/2004 = 16,26% ao ano – taxa para 360 dias corridos transformando em taxa contínua: 1,1626 = 1 x er => Ln (1,1626) = r =15.07% ao ano r*: cupom cambial limpo para 90 dias em 1/6/2004 = 4% ao ano transformando em taxa em taxa contínua como acima: r*= 3,92% ao ano

Opção de compra européia de reais por dólar Cálculo da volatilidade histórica a partir dos preços de fechamento do dólar nos 21 dias úteis anteriores: 1.48% ao dia 23.54% ao ano

Opção de compra européia de reais por dólar Cálculo d1 e d2:

Opção de venda européia de reais por dólar Cálculo do prêmio teórico, em 01/06/2004, de uma opção de venda de dólar X=R$3100 /US$1,000 , com vencimento em 90 dias corridos. Os dados do exemplo anterior se mantém, com exceção do preço de exercício, que agora é igual a R$3100 /US$1,000. S = R$ 3.145/ US$ 1,000 X = R$ 3.100/ US$ 1,000 t = 90 dias corridos = 0,25 ano r: “swap” CDI x Pré para 90 dias em 1/6/2004 = 16,26% ao ano – taxa para 360 dias corridos transformando em taxa contínua: 1,1626 = 1 x er => Ln (1,1626) = r =15.07% ao ano r*: cupom cambial limpo para 90 dias em 1/6/2004 = 4% ao ano transformando em taxa em taxa contínua como acima: r*= 3,92% ao ano

Opção de venda européia de reais por dólar Cálculo N(-d1) e N(-d2):

O Método Binomial

Modelo Binomial As opções americanas são aquelas que podem ser exercidas a qualquer instante até o vencimento. Não há soluções analíticas! Artigo: Cox,Ross e Rubinstein (79) Solução Numérica Modelo binomial (árvore binomial) é utilizado para o apreçamento dessas opções.

Método Binomial S S0 u p S0 q S0 d t = 0 t = 1 t

Método Binomial S p p q S0 p q q t S0 u2 S0 u S0 u d S0 d S0 d2 t = 0 t = 1 t = 2 t

Método Binomial S S0 t = 0 t = 1 t = 2 t = T t

Opções Americanas de Moedas Na utilização prática do modelo binomial, os valores de u e d devem ser determinados a partir da volatilidade da taxa de câmbio. Definindo Δ t como a extensão de um intervalo de tempo, tem-se: u = e σ Δt d = 1/u p 1-p

Opções Americanas de Moedas DerivaGem (Livro do Hull) Add in Excel

CALL Americana de Moeda Cálculo do prêmio teórico de uma opção de compra de euro com dólares E = US$/ €1, com vencimento em 90 dias corridos. S = US$ 1,223/ €1= US$ 1223/ €1000 E = US$1,25/ €1= US$ 1250 / €1000 t = 90 dias corridos = 0,25 ano r = 1,242% ao ano (contínua) r* = 1,735% ao ano (contínua) σ = 8% ao ano Δ t = 1 mês= 0,0833 ano calculando u, d e p, tem-se: u = e 0,08 0,08333 =1,0234 , d = 1/u = 0,9771 1-p = 0,5143

CALL Americana de Moeda Montando a árvore p p p 1-p 1-p p 1-p p 1-p p 1-p 1-p Tempo 0,00 0,08333 0,16667 0,25

CALL Americana de Moeda Calculando o valor da opção (prêmio): Método backward (trás para frente) Na maturidade em todos os nós só tenho duas decisões MAX [S-E,0] Antes da maturidade e em cada nó da árvore binomial dos períodos anteriores, é feita uma comparação entre esperar (valor esperado no período seguinte trazido para valor presente) e e exercer (S-E: diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício, permanecendo o maior. Inicialmente, coloca-se em cada nó na data do vencimento a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício. Depois, em cada nó da árvore binomial dos períodos anteriores, é feita uma comparação entre o valor esperado no período seguinte trazido para valor presente e a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício, permanecendo o maior. Exemplo: Esperar: [(60,7x0,4857)+(1,6x0,5143)]e−0,01242x0,08333=30,27 Exercer: 1280,8−1250=30,8 Portanto permanece o valor de 30,8. Repetindo o mesmo procedimento até a data zero, chega-se ao prêmio teórico da opção de US$ 7,6/ €1000.

CALL Americana de Moeda Calculando o valor da opção: Primeiro calculo essa coluna p p p 1-p 1-p p Inicialmente, coloca-se em cada nó na data do vencimento a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício. Depois, em cada nó da árvore binomial dos períodos anteriores, é feita uma comparação entre o valor esperado no período seguinte trazido para valor presente e a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício, permanecendo o maior. Exemplo: Esperar: [(60,7x0,4857)+(1,6x0,5143)]e−0,01242x0,08333=30,27 Exercer: 1280,8−1250=30,8 Portanto permanece o valor de 30,8. Repetindo o mesmo procedimento até a data zero, chega-se ao prêmio teórico da opção de US$ 7,6/ €1000. p 1-p p 1-p 1-p 1-p Tempo 0,00 0,08333 0,16667 0,25

CALL Americana de Moeda Exemplo: Esperar: [(60,7x0,4857)+(1,6x0,5143)]e−0,01242x0,08333 = 30,27 Exercer: 1280,8−1250=30,8 Portanto exerce e a opção fica 30,8. Repetindo o mesmo procedimento até a data zero, chega-se ao prêmio teórico da opção de US$ 7,6/ €1000. Inicialmente, coloca-se em cada nó na data do vencimento a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício. Depois, em cada nó da árvore binomial dos períodos anteriores, é feita uma comparação entre o valor esperado no período seguinte trazido para valor presente e a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício, permanecendo o maior. Exemplo: Esperar: [(60,7x0,4857)+(1,6x0,5143)]e−0,01242x0,08333=30,27 Exercer: 1280,8−1250=30,8 Portanto permanece o valor de 30,8. Repetindo o mesmo procedimento até a data zero, chega-se ao prêmio teórico da opção de US$ 7,6/ €1000.

CALL Americana de Moeda Inicialmente, coloca-se em cada nó na data do vencimento a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício. Depois, em cada nó da árvore binomial dos períodos anteriores, é feita uma comparação entre o valor esperado no período seguinte trazido para valor presente e a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício, permanecendo o maior. Exemplo: Esperar: [(60,7x0,4857)+(1,6x0,5143)]e−0,01242x0,08333=30,27 Exercer: 1280,8−1250=30,8 Portanto permanece o valor de 30,8. Repetindo o mesmo procedimento até a data zero, chega-se ao prêmio teórico da opção de US$ 7,6/ €1000. N Prêmio = 8.66

CALL Americana de Moeda Aumentando volatilidade para 10% Inicialmente, coloca-se em cada nó na data do vencimento a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício. Depois, em cada nó da árvore binomial dos períodos anteriores, é feita uma comparação entre o valor esperado no período seguinte trazido para valor presente e a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício, permanecendo o maior. Exemplo: Esperar: [(60,7x0,4857)+(1,6x0,5143)]e−0,01242x0,08333=30,27 Exercer: 1280,8−1250=30,8 Portanto permanece o valor de 30,8. Repetindo o mesmo procedimento até a data zero, chega-se ao prêmio teórico da opção de US$ 7,6/ €1000.

CALL Americana de Moeda Inicialmente, coloca-se em cada nó na data do vencimento a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício. Depois, em cada nó da árvore binomial dos períodos anteriores, é feita uma comparação entre o valor esperado no período seguinte trazido para valor presente e a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício, permanecendo o maior. Exemplo: Esperar: [(60,7x0,4857)+(1,6x0,5143)]e−0,01242x0,08333=30,27 Exercer: 1280,8−1250=30,8 Portanto permanece o valor de 30,8. Repetindo o mesmo procedimento até a data zero, chega-se ao prêmio teórico da opção de US$ 7,6/ €1000. Aumentando T para 120 dias

CALL Americana de Moeda Inicialmente, coloca-se em cada nó na data do vencimento a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício. Depois, em cada nó da árvore binomial dos períodos anteriores, é feita uma comparação entre o valor esperado no período seguinte trazido para valor presente e a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício, permanecendo o maior. Exemplo: Esperar: [(60,7x0,4857)+(1,6x0,5143)]e−0,01242x0,08333=30,27 Exercer: 1280,8−1250=30,8 Portanto permanece o valor de 30,8. Repetindo o mesmo procedimento até a data zero, chega-se ao prêmio teórico da opção de US$ 7,6/ €1000. Aumentando taxa de juros r em 1%

CALL Americana de Moeda Inicialmente, coloca-se em cada nó na data do vencimento a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício. Depois, em cada nó da árvore binomial dos períodos anteriores, é feita uma comparação entre o valor esperado no período seguinte trazido para valor presente e a diferença entre a cotação da moeda e o preço de exercício, permanecendo o maior. Exemplo: Esperar: [(60,7x0,4857)+(1,6x0,5143)]e−0,01242x0,08333=30,27 Exercer: 1280,8−1250=30,8 Portanto permanece o valor de 30,8. Repetindo o mesmo procedimento até a data zero, chega-se ao prêmio teórico da opção de US$ 7,6/ €1000. Aumentando taxa de juros r* em 1%

PUT Americana de Moeda Cálculo do prêmio teórico de uma opção de venda de euro com dólares E= US$ 1,22/ €1, com vencimento em 90 dias corridos. A árvore binomial da taxa de câmbio é a mesma do exemplo anterior. Inicialmente, coloca-se em cada nó na data do vencimento a diferença entre o preço de exercício e a cotação da moeda. Depois, em cada nó da árvore binomial dos períodos anteriores, é feita uma comparação entre o valor esperado no período seguinte trazido para valor presente e a diferença entre o preço de exercício e a cotação da moeda, permanecendo o maior. Exemplo: Esperar: [(25x0,4857)+(79x0,5143)]e−0,01242x0,08333=52,7 Execer: 1220−1.167,7=52,3 Portanto, permanece o valor de 52,7. Repetindo o mesmo procedimento até a data zero, chega-se ao prêmio teórico da opção de US$ 20,3/ € 1000.

PUT Americana de Moeda Montando a árvore p p p 1-p 1-p p 1-p p 1-p p Tempo 0,00 0,08333 0,16667 0,25

PUT Americana de Moeda Primeiro calculo essa coluna

PUT Americana de Moeda Exemplo: Esperar: [(25x0,4857)+(79x0,5143)]e−0,01242x0,08333 = 52,7 Exercer: 1220−1.167,7=52,3 Portanto, espera e a opção fica 52,7. Repetindo o mesmo procedimento até a data zero, chega-se ao prêmio teórico da opção de US$ 20,3/ € 1000. Inicialmente, coloca-se em cada nó na data do vencimento a diferença entre o preço de exercício e a cotação da moeda. Depois, em cada nó da árvore binomial dos períodos anteriores, é feita uma comparação entre o valor esperado no período seguinte trazido para valor presente e a diferença entre o preço de exercício e a cotação da moeda, permanecendo o maior. Exemplo: Esperar: [(25x0,4857)+(79x0,5143)]e−0,01242x0,08333=52,7 Execer: 1220−1.167,7=52,3 Portanto, permanece o valor de 52,7. Repetindo o mesmo procedimento até a data zero, chega-se ao prêmio teórico da opção de US$ 20,3/ € 1000.

PUT Americana de Moeda N Prêmio = 18.69