Técnicas de Processamento Imagens Fourier 1D e 2D

Transformada de Fourier A Transformada de Fourier Toda função pode ser escrita como um somatório de senos e cosenos A TF consiste em converter uma função em componentes senos e cosenos Seja f(t) uma função no tempo, aplicando a FT, temos F(s) que corresponde a função no espectro (espaço de Fourier).

Uma onda quadrada pode ser expressa como uma série de senos: A1*sin(x) + A2*sin(3x) + A3*sin(5x) + …

Transformada de Fourier (sinal contínuo) Onde s é a função no espectro e t no tempo Inversa Observe que estamos trabalhando com números complexos!!!

Exemplos:

Onda quadrada - Pulso

Algumas propriedades da FT Linearidade x(t) + y(t) X(f) + Y(f)

Simetria Seja h(t) e H(f) pares da transformada de Fourier então: H(t) h(-f)

Escala no tempo e na freqüência Escala na freqüência h(kt) 1/|k|*H(f/k) 1/|k|*h(t/k) H(kf)

Deslocamentos no tempo e na freqüência Deslocamentos no tempo (fase) h(t-t0) H( f )e-j2ft0

Deslocamento na freqüência h(t) ej2f0 H( f -f0)

Convolução A propriedade mais importante da FT h(t) H( f ) e g(t) G( f ) (h*g)(t) H( f )G( f ) h(t)g(t) (H * G)( f )

Conservação da energia Teorema de Parseval

Amplitude e fase

Fase e amplitude O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária) Ou através da fase e amplitude do spectro

Calculando a fase e a amplitude Amplitude é determinada pelo módulo: seja z um número complexo definido como: z = x + yi z = |z| = x2 + y2 | H(f) | = Re[H(f)]2 + Im[H(f)]2 Fase é dada por:

Transformada Discreta de Fourier DFT

Transformada Discreta de Fourier Para uma função definida como uma amostragem constante de pontos no espaço (ou tempo) pode ser utilizada a transformada de Fourier Discreta (DFT) Seja f[] uma função (vetor) definido por N pontos sua DFT é F[]: F(u) = (1/N)(x=0:N-1)[f(x) e-j 2ux /N] f(x) = (u=0:N-1)[F(u) e j2ux /N]

DFT - shifting Quando realizado a DFT de uma onda quadrada obtemos: Observe houve um deslocamento

DFT - shifting A FT é centralizada na origem, mas a DFT é centralizada em N/2 É necessário realizar um deslocamento para corrigir o resultado.

Sub-amostragem Time sampling too far apart Looks like sine wave of different freq Over-sampled -- faithful representation Under-sampled (solid lines)

Outro exemplo de sub-amostragem

Transformada Rápida de Fourier FFT - Fast Fourier Transform A DFT apresenta N2 operações Para reduzir o custo da DFT foi desenvolvido o algoritmo da FFT. FFT apresenta NlogN operações É muito importante, quando N é grande Muitas aplicações de processamento de sinais (ou imagens) em tempo real seriam impraticáveis utilizando a DFT

Transformada de Fourier 2D Contínua Discreta

Compor linhas em matriz Algoritmo 2D de 1D Compor linhas em matriz Separar em linhas Matriz A FFT 1D para cada linha Separar em colunas FFT 2D de A Matriz FFT 1D para cada coluna

Exemplos de DFT/FFT 2D

Pulso / Sync 2D x y f(x,y)

A 2D Discrete Fourier Transform

Amplitude e Fase |F(u,v)| amplitude fase original  F(u,v)

1D Spatial Frequencies

2D Spatial Frequencies

Propriedades DFT/FFT 2D

Rotação

Combinação Linear (soma) + = + =

Translação |F(u,v)|  F(u,v)

Expansão

Relação de freqüência espaço/espectro

Alguns pares...

Combinando Amplitude e Fase As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases. f(t) pode ser escrita: f(t) = Mag{f(t)} exp[ i Phase{f(t)}] Do mesmo modo, F(w) = Mag{F(w)} exp[ i Phase{F(w)}] Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fases em imagens.

Combinando Amplitude e Fase Rick Linda Pictures reconstructed using the Fourier phase of another picture Mag{Linda} Phase{Rick} Mag{Rick} Phase{Linda} The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image.