TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO

Seno, cosseno e tangente do ângulo  Dado o triângulo ABC, retângulo em A, temos que: medida do cateto oposto a a medida da hipotenusa sen a = medida do cateto adjacente a a medida da hipotenusa cos a = Temos também que: medida do cateto oposto a a medida do cateto adjacente a a tg a =

Seno, cosseno e tangente do ângulo  Exemplos a) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo  do triângulo retângulo ABC a seguir. Considerando o ângulo a, o cateto oposto é , o cateto adjacente é e a hipotenusa é .

Seno, cosseno e tangente do ângulo  a) Aplicando as definições, obtemos: medida do cateto oposto a a medida da hipotenusa sen a = = = 0,6 3 5 medida do cateto adjacente a a medida da hipotenusa cos a = = = 0,8 4 5 medida do cateto oposto a a medida do cateto adjacente a a tg a = = = 0,75 3 4

Seno, cosseno e tangente do ângulo  b) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo b. Em relação ao ângulo b, o cateto oposto é AB, o cateto adjacente é AC e a hipotenusa é CB. Exemplos

medida do cateto oposto a b Seno, cosseno e tangente do ângulo  b) Aplicando as definições, obtemos: medida do cateto oposto a b medida da hipotenusa = = 0,8 4 5 sen b = medida do cateto adjacente a b medida da hipotenusa cos b = = = 0,6 3 5 medida do cateto oposto a b medida do cateto adjacente a b tg b = = 1,33 4 3

Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos No triângulo ABC a seguir, retângulo em A, as razões trigonométricas que envolvem os ângulos agudos  e  são: sen b = c a sen a = b a cos a = c a cos b = b a tg a = b c tg b = c b

Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos Os ângulos agudos  e  são complementares, pois a soma de suas medidas é 90º. Assim, podemos escrever  em função de :  = 90º – . Note também que sen  = e cos b = , então temos: sen a = cos b. Substituindo  por 90º –  na última igualdade, temos: b a b a sen a = cos b = cos (90º − a)

Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos Pelo Teorema de Pitágoras, temos que: (hip)2 = (cat)2 + (cat)2, ou seja a2 = b2 + c2 Observe também que cos a = e sen b = , então temos: cos a = sen b. c a Substituindo  por 90º –  nessa igualdade, temos:  Também vale a relação: cos a = sen b = sen (90º − a) sen2 a + cos2 a = 1

Exemplo Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 4 cm. Vamos começar aplicando o teorema de Pitágoras: a2 = 62 + 42 ⟹ a2 = 36 + 16 ⟹ a =

Na dança folclórica do trança-fitas, geralmente se usa um mastro de 3 m de altura. Para certa passagem da dança, é preciso formar um ângulo de 30º entre a fita esticada(com uma ponta na extremidade superior do mastro e a outra ponta no chão) e o piso horizontal. Sabendo que sen 30º = 0,5, determinar o comprimento da fita e a distância da ponta ao mastro. JUCA MARTINS/OLHAR IMAGEM Resolução No esquema a seguir, c representa o comprimento da fita e d, a distância pedida. Então: Pelo teorema de Pitágoras: d2 + 32 = 62 ⇒ d2 = 27 ⇒ d = ⇒ d ≃ 5,2 

2. Dado sen  = , com o  agudo, determinar cos . Resolução Aplicando a relação sen2  + cos2  = 1, temos: Como  é agudo, a pode ser um dos ângulos de um triângulo retângulo, logo, cos  e sen  são razões entre os lados do triângulo e, portanto, são positivos. Então, cos a =

Ângulos notáveis 30o 45o 60o Seno Cosseno Tangente 1

Aplicações das razões trigonométricas Exemplos 3) Vamos imaginar que um foguete foi lançado formando com o solo um ângulo de 45º. Depois de percorrer 1.000 m em linha reta, a que altura o foguete estava do chão? Para melhor visualizar a situação, é interessante fazer um esboço: a) Neste caso, para calcular a altura (h) do foguete, usamos o seno de 45º: Considerando = 1,41, obtemos: h = 705 O foguete estava a 705 m do chão.

Para determinar a altura (h) do poste, usamos a tangente de 30º. 4) Uma das extremidades de um cabo de aço está presa ao topo de um poste, formando um ângulo de 30º, enquanto a outra extremidade está fixada no chão a 5 m do pé do poste. Qual é o comprimento (c) do cabo de aço? Qual é a altura (h) do poste? Neste caso, para calcular o comprimento (c) do cabo, usamos o seno de 30º. O cabo de aço mede 10 m. Para determinar a altura (h) do poste, usamos a tangente de 30º. Considerando , obtemos: h = 8,65 m 12.15

5) Um barqueiro pretendia ir de uma margem à outra de um rio pela travessia mais curta possível. No entanto, a correnteza o arrastou 24 m além do atracadouro. Do local aonde o barco chegou, avista-se o ponto de partida de um ângulo de 60º em relação à margem onde o barqueiro está. Qual é a largura (r) do rio? Para melhor visualizar a situação, fazemos um esboço: Neste caso, para calcular a largura, usamos a tangente de 60º : Considerando =1,73, obtemos: r = 41,52. Logo, a largura do rio é 41,52 m.

Substituindo (II) em (I), obtemos: 6) Uma pequena árvore de altura x, ao ser replantada, foi escorada por duas vigas de madeira, como mostra a figura. Determinar as medidas de x e de y. Resolução Δ ABC: tg 30º = (I) Δ ABD: tg 60o = (II) Substituindo (II) em (I), obtemos: Daí: y = 1 m Como x = , resulta: m 12.19 12.19