Estatística Dados valores (amostras) de variáveis aleatórias X 1, X 2,..., X n, cuja distribuição conjunta é desconhecida, inferir propriedades desta distribuição.

Estatística Situação mais comum: X 1, X 2,..., X n são i.i.d. (formam uma amostra aleatória simples), com distribuição comum F, conhecida a menos do parâmetro (estatística clássica paramétrica). Outras modalidades de inferência: não paramétrica, bayesiana

Estimativa Pontual Estimar por meio de uma estatística

Exemplo Os táxis em uma cidade são numerados de 1 a N, onde N é desconhecido. Estimar N, por meio de uma amostra dos números dos táxis que passam em um determinado ponto (por exemplo: Mais conveniente considerar a versão contínua: X 1, X 2,..., X n i.i.d. U[0,.

Estimadores Razoáveis

Critérios para Avaliar Estimadores Vício (ou viés ou tendência ou bias) –O estimador é não-viciado quando a tendência é igual a zero para todo. Erro médio quadrático –O erro médio quadrático de um estimador não- viciado é igual à sua variância

Exemplo Dos estimadores do exemplo anterior, qual é o melhor?

Métodos de Estimação Método dos momentos Método da máxima verossimilhança

Método dos Momentos Exprimir os momentos da distribuição em função dos parâmetros Igualar esses momentos às estimativas amostrais Obter os estimadores obtendo o valor dos parâmetros nas equações acima.

Exemplo X 1, X 2,..., X n i.i.d. U[0,

Exemplo X 1, X 2,..., X n i.i.d. N(, 2 )

Método da Máxima Verossimilhança O estimador é escolhido de modo a maximimizar a função de verossimilhança onde p(x, ) é a probabilidade (ou densidade) de se observar a amostra x 1, x 2, …, x n quando o parâmetro é igual a

Exemplo X 1, X 2,..., X n i.i.d. Bernoulli ( )

Exemplo X 1, X 2,..., X n i.i.d. N(, 2 )

Exemplo X 1, X 2,..., X n i.i.d. U[0,

Qual é o melhor estimador? Sonho de consumo –Um estimador não viciado que possua menor variância que qualquer outro, para todo valor de (ENVUMV). –Há teoremas que permitem obter, em certos casos, estes estimadores.

ENVUMV Um estimador não viciado que seja uma função de uma estatística suficiente e completa T(X 1, …, X n ) é um ENVUMV. Essencialmente, uma estatística suficiente e completa é a que resulta ao escrever p(x, ) na forma h(x).g(T(x), ) na forma mais compacta possível.

Exemplo X 1, X 2,..., X n i.i.d. Bernoulli ( )

Alguns ENVUMVs DistribuiçãoENVUMV Bernoulli ( ) Normal (, 2 ) Uniforme ( ) Poisson ( ) Exponencial ( )

Observação Embora existam ENVUMVs para as distribuições clássicas, em geral sequer há estimadores não viciados. Por esta razão, o método geral para obtenção de bons estimadores é o método da máxima verossimilhança. Há teoremas que garantem que tais estimadores são assintoticamente não viciados e de mínima variância.