Prof. Guilherme J. Weymar Equações Diferenciais Ordinárias Prof. Guilherme J. Weymar AULA 01 Introdução às equações diferenciais Fonte: Boyce, Bronson, Zill; Apresentação Daniela Buske

Equações Diferenciais Ordinárias Definição: São equações que contém derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes.

Equações Diferenciais Ordinárias Qual a motivação para se estudar equações diferenciais? As equações diferenciais estão presentes na formulação diferencial dos modelos representativos dos fenômenos estudados nas ciências físicas, biológicas e sociais.

Equações Diferenciais Ordinárias Nível de água Pedra caindo: Y’’=-g Esvaziando um tanque: h’=-k

Equações Diferenciais Ordinárias Indutor Força Eletro-motriz Resistor Paraquedista: mv’=mg-kv2 Corrente em circuito RL: LI’+RI=E

Equações Diferenciais Ordinárias Destroyer Curva perseguição navio Problema da perseguição: y’=y Cabo suspenso em uma ponte: y’’=k

Equações Diferenciais Ordinárias Massa vibrante em uma mola: my‘’+ky=0 Pêndulo:

Equações Diferenciais Ordinárias Pergunta: O que desejamos quando encontramos uma equação diferencial? Encontrar uma função incógnita que satisfaça identicamente a equação diferencial. Se a função é a mais geral possível, ou seja, esta associada a constantes de integração, ela é dita solução geral. Se a função é apresentada para alguns valores específicos das constantes de integração, então é dita solução particular. Certas E.D. possuem ainda solução que foge ao formato da solução geral, denominada de solução particular.

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Equações Diferenciais Ordinárias Exemplos ...

Exemplos: Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial? 1) 2 y ′ +𝑦=0; 𝑦= 𝑒 −𝑥/2 2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 −2𝑦= 𝑒 3𝑥 ; 𝑦=𝑒 3𝑥 +10 𝑒 2𝑥 3) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 +20𝑦=24; y= 6 5 − 6 5 𝑒 −20𝑡 4) 𝑑𝑃 𝑑𝑡 =𝑃(𝑎−𝑏𝑃); P= 𝑎 𝑐 1 𝑒 𝑎𝑡 1+𝑏 𝑐 1 𝑒 𝑎𝑡

Equações Diferenciais Ordinárias Classificação: Exemplos: 𝑥 𝑒 𝑦 𝑦 ′ =1 e 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 3𝑥 Equação do Calor 1-D: 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 = 1 𝛼 𝜕𝑢 𝜕𝑡 Equação de Poisson 2-D: 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 =𝑓(𝑥,𝑦)

Equações Diferenciais Ordinárias Exemplos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑦. sin 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + cos 𝑥 = 𝑒 𝑦 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 −𝑥 𝑦 =5

Equações Diferenciais Ordinárias Exemplos: 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 − 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +4𝑦=2 𝑑 3 𝑦 𝑑 𝑥 3 +3𝑥. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑦= sin 𝑦

Equações Diferenciais Ordinárias Exemplos ...

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Equações Diferenciais Ordinárias MAPLE

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EDO de 1ª ordem: Separável

EDO de 1ª ordem

Exercícios: Resolva a Equação Diferencial dada por separação de variáveis: