8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 5 8.1–INTRODUÇÃO – PVI’s 8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR 8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDOs 8.6-PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje

8. EDO’s 8.4.1. INTRODUÇÃO Dizemos que fórmulas deduzidas por interpolação de em , e em pontos anteriores, são chamadas de fórmulas tipo abertas. Dizemos que fórmulas deduzidas por interpolação de em , que utilizam , são chamadas de fórmulas tipo fechadas.

8. EDO’s 8.4.1. INTRODUÇÃO A fórmula de Adams-Bashforth implíci- ta geralmente é uma equação não-linear em y1 . Para resolvê-la devemos empregar, por exemplo, o Método de aproximações sucessivas de Newton, em cada passo. Solução: Método Previsor-Corretor de Adams-Moulton

8. EDO’s 8.4.2. Método de Adams-Moulton Passos do Método de Adams-Moulton Através de um método explícito (Euler, Adams-Bashforth Explícito..) obter uma primeira aproximação para , denotada por . ii) Calculamos . iii) A partir de calculamos através de um Método Implícito. iv) Voltando em (ii), calculamos v) Repete-se o processo até que duas aproximações sucessivas sejam tais que:

8. EDO’s 8.4.2. Método de Adams-Moulton Comentário: Quantas iterações são necessárias para atingir a convergência na precisão desejada? Resposta 1: A experiência mostra que se o par de fórmulas previsor-corretor forem da mesma ordem, e se h for escolhido convenientemente, então serão necessárias poucas iterações para atingir a convergência desejada!

8. EDO’s 8.4.2. Método de Adams-Moulton Teorema da convergência “Se f(x,y) e df/dy são contínuas no intervalo [a,b], as iterações do método corretor irão convergir, desde que h seja escolhido de tal forma que, para x=xn e todo y com tenhamos: “. Ps: A demonstração deste teorema é baseada na condição de convergência do Método de Newton, a qual ocorre se Condição do MPF.

8. EDO’s 8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton EXEMPLO 1: Seja o PVI: Considere Como logo a convergência é garantida para . Sabendo que a solução é

8. EDO’s 8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton Vamos implementar o Método de Adams- Moulton utilizando a fórmula de Euler para o passo 1 e 2, chamada por esta razão de fórmula aberta PREVISOR, e a fórmula de Euler Aprimorada para os passos 3 e 4, chamada por esta razão de fórmula aberta CORRETOR.

8. EDO’s 8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton Passos 1 e 2: Calculando pelo método de Euler (explícito) Passos 3 e 4: Calculando pelo método de Euler Aprimorado (implícito)

8. EDO’s 8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton Passos 3 e 4: Continuando, do método de Euler Aprimorado (implícito). Sendo e

8. EDO’s 8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton Continuando, calculemos Do método de Euler Do método de Euler Aprimorado

8. EDO’s 8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton Continuando: Analogamente:

8. EDO’s 8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton EXEMPLO 2: Seja o PVI: Considere Como logo a convergência é garantida quando Tomamos e sabendo que a solução é , consideremos os seguintes dados iniciais:

8. EDO’s 8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton Como , e Considere como uma tabela de medidas experimentais. Dados iniciais que devem ser levados em conta!

8. EDO’s 8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton Vamos implementar o Método de Adams-Moulton utilizando a fórmula de Adams-Bashforth Explícita para o passo 1, chamada por esta razão de fórmula aberta PREVISOR, e a fórmula de Adams-Bashforth Implícita para os passos 3 e 4, chamada por esta razão de fórmula aberta CORRETOR. Este par previsor-corretor é uma fórmula de Adams-Moulton de 4ª ordem.

8. EDO’s 8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton Passos 1 e 2: Calculando pelo método de Adams-Bashforth explícito de ordem 4,

8. EDO’s 8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton Passos 3 e 4: Calculando pelo método de Adams-Bashforth implícito de ordem 4,

8. EDO’s 8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton Passos 3 e 4: Continuando, calculando pelo método de Adams-Bashforth implícito de ordem 4, após duas iterações, o critério de erro foi atingido e Note que os valores obtidos para y(x) são menores que 1 e portanto o critério de convergência foi satisfeito.

8. EDO’s 8.4.3. Aplicação do Método de Adams-Moulton Comentário 1: Note que nos exemplos considerados também poderíamos ter implementado o Método de Adams- Moulton utilizando o Método de Euler como previsor e o Método de Simpson 1/3 como corretor. Fórmula de Simpson 1/3: