FIGURAS SEMELHANTES Prof. Alexandre Lima

QUAL É A ÚNICA DIFERENÇA ENTRE AS IMAGENS APRESENTADAS?

Figuras que apresentam a mesma forma, mas possuem tamanhos diferentes, são chamadas figuras semelhantes.

APLICAÇÕES DA SEMELHANÇA

POLÍGONOS SEMELHANTES Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras: Observe que: os ângulos correspondentes são congruentes:                         os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais: Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes: ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C' ")

Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de semelhança, ou seja: Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos. PROPRIEDADES: Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos  polígonos.

Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados: Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'

Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.     Exemplo: Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo.           Solução   Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.

TRIÂNGULOS SEMELHANTES Observe os triângulos ABC e RST da figura: Comparando esses triângulos, é possível perceber que eles têm a mesma forma, sendo um deles ampliação ou redução do outro. Em geometria dizemos que eles são triângulos semelhantes.

Dois triângulos são semelhantes quando têm: Os ângulos respectivamente congruentes; Os lados correspondentes (são os lados opostos ao mesmo ângulo) proporcionais. Em relação aos triângulos anteriores, a razão de semelhança do menor triângulo para o maior é: Obs.: Se a razão de semelhança de dois triângulos é 1, esses triângulos são congruentes

EXERCÍCIOS: Um edifício projeta uma sombra de 10 metros, e um poste de 12 metros projeta uma sombra de 4 metros. Qual a altura do edifício, sabendo que ele e o poste são perpendiculares. 4x = 120 X = 30

Teorema Fundamental: Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ele determina é semelhante ao primeiro.

EXERCÍCIOS: 2. Na figura, temos DE // BC. Qual o valor de x? Qual o valor de y? Qual o perímetro do ∆ ABC? Qual o perímetro do ∆ ADE?

CASO PARTICULAR DE SEMELHANÇA Para saber se dois triângulos são semelhantes não é necessário examinar todos os lados e todos os ângulos. Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes. Dois triângulos congruentes → Triângulos semelhantes → Lados proporcionais