AXIOMATIZAÇÃO Equipe: André Augusto Kaviatkovski, Daniel Elias Ferreira, Vinicius Zaramella

Sistema Dedutivo: Sistemas Dedutivos são métodos utilizados na lógica e em outras ciências para se inferir conseqüências lógicas a partir de um conjunto de fórmulas tomadas a priori. Existem várias formas de se realizar inferências entre esses métodos estão os Sistemas de Deduções Naturais, Métodos dos Tableaux analíticos e Axiomatizações. Quando um Sistema Dedutivo infere uma fórmula A de uma teoria , escreve-se  Ⱶ A, chamado de seqüente e constituído do antecedente (ou hipótese)  e do conseqüente (ou conclusão) A.

Axiomatização: O axioma era um importante elemento do método lógico dedutivo dos gregos, tal método era utilizado na apresentação da geometria euclidiana, tratava-se na época de axiomatizar uma teoria, a teoria geométrica. as axiomatizações foram utilizadas em tentativas de prover um fundamento seguro para a matemática. Em lógica, porém, compreende-se axiomatização como uma forma lógica de inferência. uma axiomatização possui dois elementos distintos: axiomas e regras de inferência.

Axioma: Um axioma é aceito como verdade e serve como ponto inicial para dedução e inferências de outras verdades (dependentes de teoria). Um axioma não é necessariamente uma verdade auto-evidente, mas apenas uma expressão lógica formal usada em uma dedução, visando obter resultados mais facilmente. Axiomatizar um sistema é mostrar que suas inferências podem ser derivadas a partir de um pequeno e bem-definido conjunto de sentenças.

Regras de inferência: As regras de inferência possuem como características: I)Se a Hipótese inicial for verdadeira, então a Conclusão é verdadeira. II) As premissas de um sistema de inferência são regras sem hipóteses. III) Permitem inferir novas fórmulas a partir de formulas já inferidas. No caso da axiomatização da lógica proposicional clássica será utilizado o Modus Ponens:

Modus Ponens: A partir de A  B e A, infere-se B. O argumento tem duas premissas: -A condição "se - então", nomeadamente que A implica B. -A é verdadeiro. Destas duas premissas pode ser logicamente concluído que B tem de ser também verdadeiro. EXEMPLO: - Se chover, então fico em casa. - Choveu. Então fico em casa. Fonte: WIKIPEDIA. Modus Ponens. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponens>. Acesso em: 21 mar. 2009.

Substituição: A substituição de um átomo p por uma fórmula B em uma fórmula A é representada por A[p := B]. A definição formal de substituição se dá por indução estrutural sobre a fórmula A, sobre a qual se processa a substituição, da seguinte maneira: p[p := B] = B q[p := B] = q, para q ≠ p. (A) [p:=B]= (A [p:=B]). (A1  A2) [p := B] = (A1 [p := B])  (A2 [p := B]), para   {,,} Fonte: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 35. .

Substituição: Exemplo: (p  (p  q))[p := (r  s)] = p[p := (r  s)]  (p  q)[p := (r s)] = (r  s)  (p[p := (r  s)]  q[p := (r  s)]) = (r  s)  ((r  s)  q) Quando uma fórmula B é resultante da substituição de um ou mais átomos da fórmula A, dizemos que B é uma instância da fórmula A. Fonte: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 35. .

Dedução, teoremas: Axiomas da lógica proposicional clássica: (1) p  (q  p); (2) (p  (q  r))  ((p  q)  (p  r)); (1) p  (q  (p  q)); (2) (p  q ) p ; (3) (p  q ) q ; (1) p  (p  q); (2) q  (p  q); (3) (p r)  ((q  r)  ((p  q)  r)); (1) (p q)  ((p  q)  p); (2)  p  p . Fonte: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 36 .

Dedução, teoremas: Dedução: uma seqüência de fbf A1, A2 … An tal que cada fbf na seqüência é um axioma ou pode ser obtida das mesmas por meio das regras de inferência. Teorema: uma fbf A tal que existe uma dedução A1, A2 … An = A . Neste caso escreve-se Ⱶ A . A axiomatização possui a propriedade da substituição uniforme, isto é, se A é um teorema e se B é uma instância de A, então B também é um teorema Fonte: KAESTNER, Celso A. A. Disponível em: <http://www.dainf.cefetpr.br/~kaestner/Logica/SistemasDedutivos.ppt>. Acesso em: 18 mar. 2009.

Dedução, teoremas: “Pode-se ainda definir o conceito de fórmula dedutível de uma teoria (conjunto de fbf); Diz-se que A é dedutível a partir de uma teoria  se há uma dedução, ou seja seqüência de fbf A1, A2 … An = A tal que cada fbf na seqüência é: uma fbf da teoria ; uma instância de um axioma; pode ser obtida das fórmulas anteriores por meio das regras de inferência;” Fonte: KAESTNER, Celso A. A. Disponível em: <http://www.dainf.cefetpr.br/~kaestner/Logica/SistemasDedutivos.ppt>. Acesso em: 18 mar. 2009.

Exemplo de axiomatização: Dedução do teorema I = A  A. (2), onde p := A, q := A  A e r := A. Assim temos: (A  ((A  A)  A))  ((A  (A  A))  (A  A)). (1), onde p := A, q :=A  A.Obtemos assim: A  ((A  A)  A). Aplicando Modus Ponens 1, 2, obtemos a fórmula 3: 3. ((A  (A  A))  (A  A). (1) onde p := A e q := A: 4. A  (A  A). Aplicando Modus Ponens 3, 4, obtemos a fórmula 5: 5. A  A. Fonte: Adaptado de CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 38.

Teorema da dedução: O teorema da dedução diz que: , A Ⱶ B se e somente se  Ⱶ A  B. É capaz de transformar uma dedução que poderia ser complexa em uma dedução bastante simples. Exemplo: B= (A  B)  ((C  A)  (C  B)) A  B, C  A, C Ⱶ B. Tomamos como Hipótese as fórmulas: 1 – A  B 2 – C  A 3 – C. Aplicamos agora o Modus Ponens 2,3 e obtemos a fórmula: 4 – A Por fim, aplicamos o Modus Ponens 1,4 e obtemos a fórmula: 5 – B

Referências: CORRÊA DA SILVA, Flávio Soares; FINGER, Marcelo;VIEIRA DE MELO, Ana Cristina. Lógica para computação. São Paulo: Thomson, 2006. p. 33 – 41. KAESTNER, Celso A. A. Disponível em: <http://www.dainf.cefetpr.br/~kaestner/Logica/SistemasDedutivos.ppt>. Acesso em: 18 mar. 2009. WIKIPEDIA. AXIOMA. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma>. Acesso em: 13 mar. 2009. WIKIPEDIA. Modus Ponens. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Modus_ponens>. Acesso em: 21 mar. 2009.