Resolução de Sistemas Lineares Métodos Exatos Fatoração LU Universidade Tecnológica Federal do Paraná-UTFPR CÁLCULO NUMÉRICO Elaborado por: Elaine Harada Teixeira de Oliveira Universidade Federal do Amazonas Instituto de Ciências Exatas Departamento de Ciência da Computação Resolução de Sistemas Lineares Métodos Exatos Fatoração LU Profª. Dra. Tina Andreolla Abril de 2008

Resolução de Sistemas Lineares Métodos numéricos Exatos ou Diretos Método de Eliminação de Gauss Fatoração LU Métodos Iterativos ou Indiretos Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel

Fatoração (Decomposição) LU Seja o sistema linear Ax = b. O processo de fatoração para resolução deste sistema consiste em decompor a matriz A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver uma seqüência de sistemas lineares que nos conduzirá à solução do sistema linear original. Por exemplo, se pudermos realizar a decomposição: A = CD, o sistema linear Ax = b, pode ser escrito: (CD)x = b Se y = Dx, então resolver o sistema linear Ax = b é equivalente a resolver o sistema linear Cy = b, e em seguida, o sistema linear Dx = y.

Decomposição LU A vantagem dos processos de fatoração é que podemos resolver qualquer sistema linear que tenha A como matriz de coeficientes. Se o vetor b for alterado, a resolução do novo sistema linear será quase que imediata. A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados. Nesta fatoração a matriz L é triangular inferior com diagonal unitária e a matriz U é triangular superior.

Esquema Prático para a Fatoração LU Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a inversa de Lk−1 e Uk−1. Entretanto na prática podemos calcular L e U simplesmente aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que LU = A.

Esquema Prático para a Fatoração LU Seja então: LU = e a matriz A =

Esquema Prático para a Fatoração LU Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem: 1ª linha de U: Fazendo o produto da 1ª linha de L por todas as colunas de U e igualando com os elementos da 1ª linha de A, obtemos,

Esquema Prático para a Fatoração LU 1ª coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2ª a até a nª), pela 1ª coluna de U e igualando com os elementos da 1ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtemos ,

Esquema Prático para a Fatoração LU 2ª linha de U: Fazendo o produto da 2ª linha de L por todas as colunas de U, (da 2ª até a nª), e igualando com os elementos da 2ª linha de A, ( da diagonal principal em diante), obtemos ,

Esquema Prático para a Fatoração LU 2ª coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3ª até a nª) pela 2ª coluna de U e igualando com os elementos da 2ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtemos ,

Esquema Prático para a Fatoração LU Se continuarmos calculando 3ª linha de U, 3ª coluna de L, 4ª linha de U, 4ª coluna de L, etc . . ., teremos as fórmulas gerais:

Aplicação à Solução de Sistemas Lineares Seja o sistema Ax = b de ordem n determinado, onde A satisfaz as condições da fatoração LU. Então o sistema Ax = b pode ser escrito como: LUx = b. Transformamos o sistema linear Ax = b no sistema equivalente LUx = b cuja solução é facilmente obtida. Fazendo Ux = y, a equação acima reduz-se a Ly = b. Resolvendo o sistema triangular inferior Ly = b, obtemos o vetor y. Substituindo o valor de y no sistema Ux = y obtemos um sistema triangular superior cuja solução é o vetor x que procuramos. Assim, a aplicação da fatoração LU na resolução de sistemas lineares requer a solução de dois sistemas triangulares.

Exemplo 4.2 Seja: A = a) Verificar se A satisfaz as condições da fatoração LU. b) Fatorar A em LU. c) Através da fatoração LU, calcular o determinante de A. d) Resolver o sistema Ax = b, onde b = (0, −7, −5)t, usando a fatoração LU.