MEDIDAS DE VARIABILIDADE, ASSIMETRIA E CURTOSE UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE Disciplina: ESTATÍSTICA APLICADA AO TURISMO E HOTELARIA ET-652 Curso: TURISMO Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR MEDIDAS DE VARIABILIDADE, ASSIMETRIA E CURTOSE

Medidas de Variabilidade: São medidas cujo o objetivo é medir o grau de dispersão ou variação dos dados. Amplitude Absoluta Desvio Médio Medidas de Variabilidade Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação Relativa

Amplitude Am: É a diferença entre o maior e o menor valor dos dados. Por ser limitada esta medida não é muito usada. Muito afetada por valores extremos e pouco afetada pelos valores Internos dos dados. Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}, logo Am =7-1=6 Exemplo: X={1,2,3,4,5,5,6,6,7,7}, logo Am =7-1=6 Observe que mesmo tendo a mesma amplitude os dados do primeiro exemplo deveria ter uma medida de variabilidade menor.

Desvio Médio: Dados não Agrupados Exemplo: X={2,4,6,8}

Onde k é o número de elementos distintos da série Dados Agrupados Onde k é o número de elementos distintos da série Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7} xi fi 1 2 3 4 7 Total 10

Onde k é o número de elementos distintos da série Dados Agrupados Onde k é o número de elementos distintos da série Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7} xi fi xifi |xi- |fi |xi- |fi 1 |1-3|*1 2 3 6 |2-3|*3 4 12 |3-3|*4 |4-3|*1 7 |7-3|*1 Total 10 30

Amplitude Am: É a diferença entre o maior e o menor dos dados. Por ser limitada esta medida não é muito usada. Muito afetada por valores extremos e pouco afetada pelos valores Internos dos dados. Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}, logo Am =7-1=6 Exemplo: X={1,2,3,4,5,5,6,6,7,7}, logo Am =7-1=6 Observe que mesmo tendo a mesma amplitude os dados do primeiro exemplo deveria ter uma medida de variabilidade menor.

Amplitude Am: É a diferença entre o maior e o menor dos dados. Por ser limitada esta medida não é muito usada. Muito afetada por valores extremos e pouco afetada pelos valores Internos dos dados. Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7}, logo Am =7-1=6 Exemplo: X={1,2,3,4,5,5,6,6,7,7}, logo Am =7-1=6 Observe que mesmo tendo a mesma amplitude os dados do primeiro exemplo deveria ter uma medida de variabilidade menor. E de fato teve no caso do desvio médio

Dados Agrupados em Classes Onde k é o número de classes da série Classes fi 0 |----- 2 5 2 |----- 4 15 4 |----- 6 40 6 |----- 8 8 |----10 Total 80

Dados Agrupados em Classes Onde k é o número de classes da série Classes fi 0 |----- 2 5 2 |----- 4 15 4 |----- 6 40 6 |----- 8 8 |----10 Total 80

Dados Agrupados em Classes Onde k é o número de classes da série Classes fi xi xifi 0 |----- 2 5 1 2 |----- 4 15 3 45 4 |----- 6 40 200 6 |----- 8 7 105 8 |----10 9 Total 80 400

Dados Agrupados em Classes Onde k é o número de classes da série Classes fi xi xifi |xi- |fi |xi- |fi 0 |----- 2 5 1 |1-5|*5 4*5=20 2 |----- 4 15 3 45 |3-5|*15 2*15=30 4 |----- 6 40 200 |5-5|*40 6 |----- 8 7 105 |7-5|*15 8 |----10 9 |9-5|*5 Total 80 400 100

Variância: Para dados não agrupados Vantagem da variância é que a função quadrática é muito melhor de se trabalhar do que a modular Exemplo: X={2,4,6,8}

Onde k é o número de elementos distintos da série Dados Agrupados Onde k é o número de elementos distintos da série Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7} xi fi 1 2 3 4 7 Total 10

Onde k é o número de elementos distintos da série Dados Agrupados Onde k é o número de elementos distintos da série Exemplo: X={1,2,2,2,3,3,3,3,4,7} xi fi xifi (xi- )2fi (xi- )2fi 1 (1-3)2*1 4 2 3 6 (2-3)2*3 12 (3-3)2*4 (4-3)2*1 7 (7-3)2*1 16 Total 10 30 24

Dados Agrupados em Classes Onde k é o número de classes da série Classes fi 0 |----- 2 5 2 |----- 4 15 4 |----- 6 40 6 |----- 8 8 |----10 Total 80

Dados Agrupados em Classes Onde k é o número de classes da série Classes fi 0 |----- 2 5 2 |----- 4 15 4 |----- 6 40 6 |----- 8 8 |----10 Total 80

Dados Agrupados em Classes Onde k é o número de classes da série Classes fi xi xifi 0 |----- 2 5 1 2 |----- 4 15 3 45 4 |----- 6 40 200 6 |----- 8 7 105 8 |----10 9 Total 80 400

Dados Agrupados em Classes Onde k é o número de classes da série Classes fi xi xifi (xi- )2fi 0 |----- 2 5 1 (1-5)2*5 16*5=80 2 |----- 4 15 3 45 (3-5)2*15 4*15=60 4 |----- 6 40 200 (5-5)2*40 6 |----- 8 7 105 (7-5)2*15 8 |----10 9 (9-5)2*5 Total 80 400 280

Desvio Padrão: é a raiz quadrada da variância Obs: Não confundir Desvio Padrão com Desvio Médio Obs: A variância é uma medida em unidade quadrada, enquanto que os desvios Padrão e Médio estão em uma unidade linear

Se os dados são populacionais o denominador da fórmula da variância e do desvio padrão é n Se os dados não são populacionais o denominador da fórmula da variância e do desvio padrão é n-1

Propriedades da Variância e do Desvio Padrão P1: Se somarmos uma constante K aos dados tanto o desvio padrão como a variância ficam inalterados Exemplo: X={2,4,5,9} Somando-se 8 ao conjunto temos Y={10,12,13,17}

P2: Se multiplicarmos uma constante K aos dados o desvio padrão fica multiplicado pela constante e a variância fica multiplicada pelo quadrado da constante Exemplo: X={2,4,5,9} Multiplicando-se por 4 o conjunto temos Y={8,16,20,36}

Coeficiente de Variação: é a relação entre o desvio padrão e a média É uma medida de dispersão relativa e muito usada para comparar conjuntos de dados com unidades de medidas diferentes Exemplo: X={2,4,5,9}

Dizemos que uma distribuição tem: Baixa Dispersão se CV 15% Média Dispersão se 15% CV 30% Alta Dispersão se CV 30%

Medidas de Assimetria: são medidas que determinam o grau de assimetria da curva de frequência de uma distribuição de frequência. f Curva Simétrica Dados Mo=Md=

Curva Assimétrica À Direita Curva Assimétrica À Esquerda f Dados Mo<Md< f Curva Assimétrica À Esquerda Dados Mo>Md>

Coeficiente de Assimetria de Pearson: Se -0,15<|As|<0,15 consideramos a curva pouco assimétrica ou simétrica Se 0,15<As<1 temos uma assimetria moderada à direita Se As>1 temos uma assimetria forte à direita Se -1<As<-0,15 temos uma assimetria moderada à esquerda Se -1<As temos uma assimetria forte à esquerda

Curtose: é o grau de achatamento de uma distribuição de frequência comparada com a distribuição normal padrão Curva Leptocúrtica

Curva Platicúrtica

Curva Mesocúrtica