Carmen P. C. Prado Universidade de São Paulo Departamento de Física Geral Apoio: FAPESP e CNPq Outubro de 2004

Twentieth-century Twentieth-century theoretical physics came out of the relativistic revolution and the quantum mechanical revolution. It was all about simplicity and continuity. Its principal tool was calculus. Its final expression was field theory. Twenty-first-century Twenty-first-century theoretical physics is coming out of the chaos revolution. It will be about complexity and its principal tool will be the computer. Its final expression remains to be found. Thermodynamics, as a vital part of theoretical physics, will partake in the transformation. Michael Baranger

O século XXI está começando com grandes transformações. Para o cidadão comum, estas transformações dizem respeito às formas de comunicação, uma nova revolução tecnológica que já deixou suas marcas indiscutíveis na globalização de economia e nas relações de trabalho, e que pode vir a ocupar, na história, papel semelhante ao da revolução industrial. Para nós, os cientistas, uma das mudanças claras está no foco de pesquisa, com uma crescente interdisciplinaridade. Que papel a física - uma antiga e bem defina área da ciência - tem a jogar nesse cenário?

Sistemas Complexos: O estudo da “complexidade” se iniciou algumas décadas atrás, com a teoria do caos - um conceito matemático. O conceito de sistema complexo ainda não está completamente delineado. (a) Muitos graus de liberdade. Caos é possível com poucos graus de liberdade, complexidade não! (b) Interdependência (não homogeneidade); Estrutura que varre muitas escalas. Capaz de comportamento “emergente” (c) Capaz de comportamento “emergente” : um comportamento observado numa certa escala é dito emergente se não pode ser trivialmente inferido das regras de interação (locais). O comportamento emergente é um fenômeno novo nessa escala. (e) Auto-organização: um comportamento emergente tem a capacidade de alterar o sistema gerando novos comportamentos emergentes.

Por que Físicos? Do earthquakes Exhibit Self-organized Criticality? Do earthquakes Exhibit Self-organized Criticality? Xiaosong et al, PRL 92 (2004) Multiscaling Comparative Analysis of time-series and a discussion on “Earthquake Conversations” on California Multiscaling Comparative Analysis of time-series and a discussion on “Earthquake Conversations” on California, Scafetta et al, PRL 92, (2004); Long term clustering, scaling and universality in the temporal occurrence of earthquakes Long term clustering, scaling and universality in the temporal occurrence of earthquakes, A. Corral, PRL 92, (2004); Fragment-Asperity Interaction model for earthquakes Fragment-Asperity Interaction model for earthquakes, Sotolongo et al, PRL 92, (2004); Ergodic dynamics in a natural threshold system Ergodic dynamics in a natural threshold system, Kapiris et al, PRL 91,(2003) Is Earthquake triggering Driven by small Earthquakes? Is Earthquake triggering Driven by small Earthquakes? A. Helmstetter, PRL (2003) Power-law time distribution of large earthquakes Power-law time distribution of large earthquakes, PRL 90 (2003); Dynamics of epicenters in the Olami-Feder-Christensen Model Dynamics of epicenters in the Olami-Feder-Christensen Model, Peixoto et al, PRE (2004) A teoria do Caos, a Mecânica Estatística e outros métodos típicos dos Físicos podem levar a descoberta de relações, correlações e leis que passariam desapercebidas pelas técnicas de análise tradicionais. Há algo que só os físicos podem perceber, fazer, calcular ou propor!

Exemplo: Dinâmica de Terremotos: É possível alguma previsão? Terremotos, o modelo OFC & SOC O modelo EFF e o conceito de quase-crítico Redes livre de escala, dinâmica de epicentros e...

Estatística usual... Lei de Gutemberg-Richter P(s) ~ s -b Lei de Omori para “aftershocks” P( t ) ~ t -a Os expoentes são os mesmos em qualquer parte da Terra. Mais recentemente, Distribuição fractal de epicentros: P( r ) ~ r d Novamente, o expoente é universal. Durante muito tempo geofísicos examinaram as séries temporais com técnicas usuais, e abordagens tradicionais de modelagem.

A visão corrente mais difundida é a de que coexistem 2 processos separados, um para os grandes terremotos (mainshocks), que seguiriam uma distribuição de Poisson (?) e outra para o mecanismo independente responsável pelos “aftershocks”. A visão corrente mais difundida é a de que coexistem 2 processos separados, um para os grandes terremotos (mainshocks), que seguiriam uma distribuição de Poisson (?) e outra para o mecanismo independente responsável pelos “aftershocks”. A teoria de fenômenos críticos, capaz de explicar diversas “leis de potência” - e a idéia de universalidade levaram e continuam levando diversos físicos a se interessarem pelo assunto. A teoria de fenômenos críticos, capaz de explicar diversas “leis de potência” - e a idéia de universalidade levaram e continuam levando diversos físicos a se interessarem pelo assunto. Conceito de criticalidade auto-organizada (SOC): Modelo Olami-Feder-Christensen (OFC) Conceito de criticalidade auto-organizada (SOC): Modelo Olami-Feder-Christensen (OFC)

Criticalidade auto-organizada (SOC) “Equilíbrio pontuado” Sistemas extensos e fora do equilíbrio, lenta perturbação externa Sistemas extensos e fora do equilíbrio, que, sob uma lenta perturbação externa, em vez de evoluírem de uma forma contínua e lenta, permanecem estáticos eventos muito rápidos permanecem estáticos (em equilíbrio) por longos períodos, que são pontuados por eventos muito rápidos, que levam o sistema a outro estado de ‘equilíbrio’. leis de potência A estatística destes eventos rápidos, ou ‘avalanches’, exibem diversas leis de potência, indicando um estado crítico. Bak, Tang, Wisenfeld, PRL 59,1987/ PRA 38, 1988 Sandpile model

A dinâmica de terremotos é talvez a melhor ‘realização experimental’ de um sistema com criticalidade auto-organizada... Exibe diversas leis de potência lei de Gutemberg-Richter lei de Gutemberg-Richter (energy) P(E)  E -b lei de Omori lei de Omori (aftershocks and foreshocks) n(t) ~ t -  distribuição fractal de epicentros N(r) ~ r d Duas escalas temporais bem distintas: lenta: lenta: movimento das placas tectônicas (years) Rápida: Rápida: terremotos (segundos) Desde o início, vários autores perceberam essa relação: (Bak and Tang, J. Geophys. Res. B (1989); Sornette and Sornette, Europhys. Lett. (1989); Ito and Matsuzaki, J. Geophys. Res. B (1990) )

Já nos anos 20 os cientistas sabiam que a maioria dos terremotos ocorriam em regiões estreitas e bem definidas da crosta terrestre, que correspondem as regiões onde as placas tectônicas se encontram.

Fixed plate Moving plate  k V i - 1 i i + 1 friction Há uma antiga tentativa de modelagem, com um modelo proposto por Burridge-Knopoff em 1967.

Discretização no espaço e no tempo: em t, apenas o bloco i se move i i - 1i I + 1  x = v t Como  é pequeno, fazendo aproximação linear...

O bloco i fica parado até que essa força exceda o limite da força de atrito estático. Quando isso ocorre, o bloco i desliza, indo parar na posição x’ i.. A nova força no bloco i é então: O movimento do bloco i afeta as forças que agem nos blocos i -1 e i+1: ‘Tamanho’ do terremoto = número de deslocamentos corridos (um bloco pode deslizar mais de uma vez...)

rede quadrada, (i,j) variável F i,j para cada sítio (tensão, força...)perturbação: Relaxação: Se F i, j em qualquer um dos 4 primeiros vizinhos exceder F th, o processo de relaxação continua, até F < F th novamente para qualquer sítio da rede.

Este modelo simples reproduz, de forma surpreendente, a maioria das características dos terremotos reais. Por exemplo, a lei de Gutemberg-Richter a lei de Omori, distribuição fractal de epicentros. SOC mesmo no regime não-conservativo Mas só no caso conservativo. P( s ) ~ s -b N( t ) ~ t -  Hergarten, H. J. Neugebauer, PRL 88, 2002 N( r) ~ r -d

O comportamento preciso desse modelo, no regime não conservativo tem sido controverso, tanto do ponto de vista teórico como numérico. A natureza do seu comportamento crítico não é clara. É um dos modelos de SOC mais estudados. A natureza do seu comportamento crítico não é clara. É um dos modelos de SOC mais estudados. Porque é relevante definir se o modelo é ou não crítico? Previsões !!!

Existe uma conexão entre SOC e processos ramificados Um processo ramificado é caracterizado pela taxa de ramificação .  = número médio de sítios instáveis criados por um sítio instável que relaxa. P k = probabilidade de um sítio instável, ao relaxar, gerar outro sítio instável. Num processo ramificado típico,  é fixo e definido a priori. O processo é crítico se  = 1.  (t,  ) Em modelos com criticalidade auto-organizada,  (t,  ) isto é,  evolui no tempo e depende de , e deve ser calculado! Se conhecemos a distribuição de energias no estado estacionário p(E), podemos calcular . p(E + ) = distribuição de energia dos sítios instáveis P + (E + ) = probabilidade de um sítio estável se tornar instável ao receber uma energia  E +

 (t,  ) Em modelos com criticalidade auto-organizada,  (t,  ) isto é,  evolui no tempo e depende de , e deve ser calculado!   1  cons Crítico para  > 0   1 Crítico para  = 0.25  cons   1 Crítico para  >  c  c c  cons No estado estacionário,   (  ).

O modelo EFF (Extremal Feder-Feder model) O. Kinuchi, C.P.C. Prado PRE 59 (99) OFC EFF Globalmente perturbado F ij F ij + , F ij  F th Dinâmica de extremos F ij * = max {F ij } é que relaxa Relaxação F ij 0 F nn F nn +  F ij Relaxação F ij 0 F rn F rn +  +  1  2 +  2 Para esse modelo é possível calcular analiticamente p  (E) e portanto 

[ 0,  ] E th = 1 [ ,  + 2  ]   +  p n = Processo pode ser pensado como uma transferência dos sítios entre os intervalos I n. P t ( E )  0 apenas se E está num dos intervalos I n  [(n -1) , (n -1)  + n  ] n = 1,... n max

A cada passo no tempo A cada passo no tempo ( atualização do sítio crítico e de de k ‘vizinhos aleatórios’ ) 1 sítio do último intervalo é transferido para o intervalo I 1; 1 sítio é removido desse intervalo com probabilidade k p 1; O ‘fluxo’ médio de sítios no intervalo I n (n > 1), devido a atualização de k vizinhos: Probabilidade k p n-1 de que um vizinho aleatório escolhido esteja em I n-1  probabilidade k p n de um sítio ter saído de I n. p 1 (t+1) = p 1 (t) + 1/N [1  k p 1 (t)] p n (t+1) = p n (t) + 1/N [k p n-1  k p n (t)] e... p n (t+1) = p n (t) = p * n = 1/ k número picos = k = n max

Exemplo: Exemplo: conservativo,  = 1 / k último pico, Todo o sítio que se torna instável pertence ao último pico, que começa ( n -1 ) . Sítios pertencentes aos outros picos não contribuem para   ; Todo sítio sorteado como vizinho tem E aumentado em, pelo menos,   E( t +1 )  1 Número médio de ‘filhos’ de um sítio que relaxa Crítico ! ( n -1 )  1

Caso geral,  < 1 / k, mas nem todos os sítios agora podem se tornar criticos ! Todo o sítio que se torna instável pertence ao último pico, mas nem todos os sítios agora podem se tornar criticos !; Os sítios E  1 -  sempre se tornam críticos; Os sítios 1 -  -   E  1-  podem contribuir dependendo do valor  2 Os sítios E  1 -  -  nunca se tornam críticos. Necessariamente sub-crítico... 1   ’’  ’’ E Sempre Talvez nunca

com ruído (  2  0) sem ruído (  2 = 0) F ij 0 +  1  2 F rn F rn +  +  2

Almost critical O. Kinouchi, C.P.C. Prado, PRE 59 (1999) cc Almost critical  J. X. de Carvalho, C. P. C. Prado, Phys. Rev. Lett. 84, 006, (2000). Com ruído (  2  0): (b)  = 0,0625, (c)  = 0,05 Sem ruído (  2 = 0): (d)  = 0,25, (e)  = 0,20 F ij 0 +  1  2 F rn F rn +  +  2

Exemplo 2 - Dinâmica de epicentros e redes livre de escala Olhamos para a distribuição espaço-temporal.... Uma nova lei de escala! Distribuição fractal (só espacial) Uma nova ‘ferramenta’ para desvendar correlações...

Redes complexas Redes ou estruturas complexas descrevem uma grande variedade de sistemas na natureza. grafos aleatórios Tem sido estudadas/utilizadas em física há muito tempo. Tradicionalmente o estudo de redes mais ‘complexas’ (não regulares) foi domínio da matemática, com estudo dos chamados grafos aleatórios, na década de 50 do século passado (Ardös, Rényi). A Natureza tem redes mais complicadas! A maioria das redes reais está longe de ser aleatória, apresentando princípios organizacionais comuns a muitos sistemas diferentes. grafo aleatório: N vértices, conectados por arestas com probabilidade p

Conceito mundo pequeno (distância média entre 2 vértices) Conceito mundo pequeno (distância média entre 2 vértices) Apesar de ter um número muito grande de vértices ou nós, a maioria das redes complexas tem um caminho relativamente curto ligando dois nós quaisquer. Propriedade comum em redes complexas reais ( L pequeno ) ; Redes aleatórias são ‘mundo pequeno’; Redes regulares não. Redes aleatórias, C pequeno, ~ p; Redes ‘mundo pequeno & reais’, C ordens de grandeza maior. Modelo Watts & Stogatz Índice de ‘clusterização’ Formação de ‘cliques’: probabilidade de dois vértices vizinhos com outro vizinho em comum ; (amigo do meu amigo ser meu amigo...)

Distribuição de graus Distribuição de graus ( grau = arestas conectadas a um vértice) p(k) = probabilidade de um vértice qualquer ter grau k p( k ) = constante regular ou ‘small world’: p( k ) = constante Modelo Barabási-Albert rede em crescimento conexão preferencial  ( k i ) = k i /  j k j Redes livre de escalas Grafo aleatório aleatória p( k ) = Poisson Rede complexa (www) Complexa: p( k ) = lei de potência

Exemplos do mundo real

células cúbicas Área é dividida em pequenas células cúbicas vértice A cada uma delas é associado um vértice, quando um terremoto se inicia nela (epicentro) mapeados numa rede complexa Os dados da atividade sismológica são mapeados numa rede complexa, em crescimento. Essa rede tem comportamento complexo, do tipo Barabási-Albert ! E o que tudo isso tem a ver com teremotos ?

connectivity K S. Abe, N. Suzuki, Europhys. Lett. 65, 581 (2004) Degree distribution

Estudamos o modelo OFC, para ver se podia prever mais essa característica L = 200, transients of 10 7, statistics of 10 5 ; Tiago P. Peixoto, C. P. C. Prado, 2004, PRE 69, (R) (2004) ‘scaling’ claro (Curvas foram deslocadas para cima, caso contrário coicidiriam) O exponente , que caracteriza a lei de potências para diferentes valores de  Não há mais uma regra de conexão preferencial. A distribuição de conectividades observada é uma assinatura da dinâmica. Conservativo

Distribuição espacial da conectividade O que se observa não é um efeito de borda! não conservativo (b) é uma ampliação de (a); (b) é uma ampliação de (a); As 20 colunas/linhas mais próximas da borda foram removidas e a escala modificada para evidenciar os detalhes conservativo (a) usamos a mesma escala da figura anterior Em (a) usamos a mesma escala da figura anterior; Em (b) alteramos a escala para mostrar os detalhes Muito mais homogêneo!

Estrutura da rede Não conservativo Não conservativo: índice de clusterização C ~ 0.15  = 0.14 Tamanho da célula = 5; L=200,  = 0.14 Conservativo: não há clusterização, C ~ 0.0  = 0.25 Tamanho da célula = 5; L=200,  = 0.25

Distribuição de distâncias entre 2 epicentros consecutivos Rede 200 X 200,  = 0.25 e  = D Rede 50 X 50 X 50,  = 1/6 = ,  = e  = 0.12 T. P. Peixoto, C. P. C. Prado, Physica A 342 (2004),3-D

O tamanho da célula não afeta p( k )... L = 200, 1 X 1 L = 400, 2 X 2 L = 300 L = 200 Efeito de tamanho finito Ainda precisamos de uma rede em crescimento (como no modelo proposto por Barabasi-Albert)

Conclusões Muitas questões em aberto... E novas abordagens, mais informação. Muitas questões em aberto... E novas abordagens, mais informação. Outras grandezas relacionads com o estudo grafos... Outras grandezas relacionads com o estudo grafos... Earthquake conversations Earthquake conversations... Sci Am (03): correlação com a alteração na distribuição de tensão SOC ou não ? SOC ou não ? Nova formas de scaling, que integram todas as escalas... Busca de correlações na distribuição espaço-temporal: novas abordagens Busca de correlações na distribuição espaço-temporal: novas abordagens Estatística dos tempos de espera : Estatística dos tempos de espera : se é lei de potência não é SOC... Processos estocásticos : Processos estocásticos : a s(t) é associada uma variável estocástica  (t) = 1 ou 0 (tem ou não terremoto); o “caminhante aleatório” anda 1 passo p/ frente cada vez que um terremoto ocorre; p(x, t), entropia S(t), difusão, Exponente de Hurst (ou outros indicadores) X t.... Exponente de Hurst (ou outros indicadores) X t....