Problema MST Método Genérico Guloso usando Estratégia do Corte Disciplina Análise de Algoritmos Bacharelado em CC
Problema MST Input: Grafo G = (V,E) não-dirigido, conexo Output: Subgrafo T = (V,E’), conexo onde soma dos custos das arestas de T é minimo. Observações: O subgrafo T resultante com certeza não contém ciclos, pois se contivesse um ciclo C, retirando-se uma aresta deste ciclo teriamos um subgrafo conexo contendo todos os vértices de G e com custo menor que T, o que é absurdo pois T tem custo minimo. Um grafo conexo, não-dirigido, acíclico é chamado de ARVORE Logo: o resultado do problema MST é uma ARVORE.
Propriedade importante de Arvores Um grafo G=(V,E) não-dirigido, conexo, é uma árvore se e somente se |E| = |V| - 1. Prova: Exercicio
Método Genérico (Guloso) 1. Ordena arestas em ordem crescente de custo; 2. X = ; 3. Enquanto |V(X)| < |V| faça: Encontre aresta e com menor custo tal que não produza ciclos ao ser introduzida em X; X := X {e}; 6. Retorna X
Estratégia do Corte A cada etapa k do método genérico, como encontrar uma aresta e que não provoque ciclos ? Estratégia do corte: Definição: Um par de conjuntos disjuntos: S e V-S é chamado de CORTE de V. Um corte (S,V-S) respeita um conjunto de arestas X se todos os vértices das arestas de X estão em S ou em V-S. Seja Xk-1 = conjunto X de arestas obtido no final da etapa k-1. A estratégia do corte consiste em, a cada etapa k: Considerar um corte (S,V-S) respeitando Xk-1, , isto é: S V , Xk-1 S Considerar uma aresta e = {u,v} de menor custo, tal u ∈ S e v ∈ V – S, isto é a aresta e deve atravessar o corte.
A estratégia do corte é correta. Isto é, sempre produz, a cada etapa, um grafo conexo e sem ciclos. Mostrar que o conjunto de arestas Xk obtido a cada etapa é sempre parte de uma MST de G. Demonstração: se faz por indução sobre o número de etapas (feito na lousa na aula 20).