CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Uma direção cristalográfica é definida como uma linha entre dois pontos ou um vetor. 1. Um vetor com comprimento conveniente é posicionado tal que ele passe através da origem do sistema de coordenadas. 2. Os comprimentos das projeções do vetor sobre cada um dos três eixos são determinados. 3.Esses três números são multiplicados ou divididos por um fator comum, para reduzi-los aos menores valores inteiros. 4. Os três índices, não separados por vírgulas, são colocados entre colchetes quadrados: [uvw]

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Para cada um dos três eixos, irão existir tanto coordenadas positivas como negativas. Assim, índices negativos são possíveis e são representados pela colocação de uma barra sobre o índice apropriado. Por exemplo [1 1 1] teria uma componente na direção – y. A mudança dos sinais de todos os índices produz uma direção antiparalela, isto é, a direção [ 1 1 1 ] é diretamente oposta à direção [1 1 1]

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Na célula abaixo são mostradas as direções [100], [110] e [111]. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Determine os índices para a direção mostrada na figura abaixo: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 2) Esboce uma direção [1 1 0] no interior de uma célula unitária cúbica.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 2) Esboce uma direção [1 1 0] no interior de uma célula unitária cúbica. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Para algumas estruturas cristalinas, várias direções não-paralelas com índices diferentes são, na realidade, equivalentes. Isto significa que o espaçamento entre os átomos ao longo de cada direção é o mesmo. Por exemplo, nos cristais cúbicos, todas as direções representadas pelos seguintes índices são equivalentes: [100], [ 1 00], [010], [0 1 0], [001] e [00 1 ].

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Por conveniência, as direções equivalentes são agrupadas como uma família, que é representada entre colchetes angulados: <100>. Adicionalmente, nos cristais cúbicos, as direções que possuem índices iguais, independentemente da ordem em que esses índices aparecem ou dos seus sinais, como, por exemplo, [123] e [ 2 1 3 ], são equivalentes.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Cristais hexagonais Quando consideramos cristais com simetria hexagonal, algumas direções cristalográficas equivalentes não terão o mesmo conjunto de índices. Isto é resolvido com a utilização de um sistema de coordenadas com 4 eixos, ou de Miller-Bravais.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Sistema de eixos coordenados para uma célula unitária hexagonal (Sistema de Miller-Bravais) Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Os três eixos a1, a2 e a3 estão todos contidos em um único plano (chamado de plano basal) e forma ângulos de 120º entre si. O eixo z é perpendicular a esse plano basal. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Os índices de direção serão representados por quatro índices, no formato [uvtw]; por convenção, os três primeiros índices são relativos às projeções ao longo dos respectivos eixos a1, a2 e a3 no plano basal. A conversão do sistema com três índices para o sistema com quatro índices é dada por: [u´v´w´]  [uvtw]

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 𝑢= 1 3 (2𝑢´−𝑣´) 𝑣= 1 3 (2𝑣´−𝑢´) 𝑡=−(𝑢+𝑣) 𝑤=𝑤´ Os índices com “linha” estão associados ao sistema com três índices e os índices “sem linha” estão associados ao novo sistema de Miller-Bravais.

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Por exemplo, a direção [010] se torna [ 1 2 1 0]. Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 3) Determine os índices para a direção mostrada na célula unitária hexagonal da figura abaixo: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS A projeção do vetor da direção sobre os eixos a1, a2 e z, são respetivamente a, a e c, que se tornam 1, 1 e 1. Logo: u´ = 1, v´ = 1, w´= 1 Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 𝑢= 1 3 (2𝑢´−𝑣´) = 1 3 𝑣= 1 3 2𝑣´−𝑢´ = 1 3 𝑡=−(𝑢+𝑣) = − 2 3 𝑤=𝑤´ = 1 Assim, a direção mostrada na figura é [11 2 3].

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 4) Desenhe uma célula ortorrômbica, e no interior dessa célula represente uma direção [2 1 1]. 5) Desenhe uma célula monoclínica, e no interior dessa célula represente uma direção [ 1 01].

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS 6) Quais são os índices para as direções indicadas pelos dois vetores na figura abaixo? Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 7) No interior de uma célula unitária cúbica, desenhe as seguintes direções: [101] [211] [10 2 ] [3 1 3] [ 1 1 1 ] [ 2 12] [3 1 2]

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS 8) Determine os índices para as direções que estão mostradas na seguinte célula unitária cúbica: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS 9) Determine os índices para as direções que estão mostradas na seguinte célula unitária cúbica: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008

CIÊNCIA E ENG MATERIAIS 10) Converta as direções [110] e [00 1 ] ao sistema de quatro índices de Miller-Bravais para células unitárias hexagonais. 11) Determine os índices para as direções que estão mostradas na seguinte célula unitária cúbica: Callister, J. W. D., Ciência e engenharia de materiais: uma introdução, LTC, 7ª Ed, 2008