Teste de Comparação Múltipla de Tukey desenvolvido em 1953 Prof. Ivan Balducci FOSJC / Unesp

John Wilder Tukey 16 de junho de 1915 – 26 de julho de 2000

J.W. Tukey Após a IIª guerra mundial, o estatístico Wilks *Químico pela Brown University, em 1936. ** Doutor em Química, pela Brown University, (em 1937). ***Doutor em Matemática, pela Univ. de Princeton, em 1939. Após a IIª guerra mundial, o estatístico Wilks (da Univ. de Princeton) deu-lhe o cargo de professor de estatística no Depto. de Matemática da Universidade de Princeton. Em 1965 é criado o Depto. de Estatística e ele foi nomeado chefe desse departamento da Univ. de Princeton.

Teste de Tukey O teste de Tukey compara os pares de médias, ou seja, as médias dos grupos. Se eu estiver considerando 3 grupos: A, B e C, então, terei 3 comparações de médias: A vs B, A vs C e B vs C Se eu estiver considerando 4 grupos, então, terei 6 comparações de médias Se eu estiver considerando 5 grupos, então, terei 10 comparações de médias

Se eu tiver 7 grupos então…? terei 35 comparações a serem realizadas

Teste de Tukey O teste de Tukey oferece proteção contra a possibilidade do pesquisador cometer erro do Tipo I

Fórmulas do teste de Tukey = HSD / EPM q crit =

Procedimento para o Teste deTukey Calcule diferenças das médias das condições que você está comparando Se a diferença das médias for pelo menos tão grande quanto a HSD, você pode rejeitar H0 Repita para qualquer outra comparação que precise ser realizada

Resolução à mão, sem a utilização de um programa computacional. Exemplo de Aplicação Teste de Tukey Resolução à mão, sem a utilização de um programa computacional.

Suponha um experimento com um fator, 5 níveis. Exemplo: Tukey HSD igual “n” por grupo, n = 12 Suponha um experimento com um fator, 5 níveis. Tabela ANOVA : Fonte SQ gl QM F p Entre 2942.4 4 735.6 4.13 <.05 Dentro (erro) 9801 55 178.2 Médias dos grupos: I II III IV V 63 82 80 77 70

Grupos 1 2 3 4 5 Médias 63 82 80 77 70 Fonte SQ gl QM F p 2942.4 735.6 Exemplo: Tukey HSD Grupos 1 2 3 4 5 Médias 63 82 80 77 70 Fonte SQ gl QM F p 2942.4 735.6 4.13 <.05 Erro 9801.0 60-5 = 55 178.2 Total 12743.4 60-1

K = 5 grupos; n = 12 por grupo, QMerro com gl = 55 3 4 5 Médias> 63 82 80 77 70 Fonte SQ gl QM F p Grupos 2942.4 735.6 4.13 <.05 Erro 9801.0 60-5 = 55 178.2 Total 12743.4 60-1 K = 5 grupos; n = 12 por grupo, QMerro com gl = 55 Valor Tabelado de q com alpha =.05 é 3.98

Obtenha o q crítico usando o correto nº de gl Numerador = nº de grupos a serem comparados Denominador = gl para QMerro = MSerro Assim, gl = 5, 55 qcrit = 3.98 (Tabela de livro) = 15.34 nesse caso Quais pares de médias excedem esse valor? I II III IV V 63 82 80 77 70

Quais pares de médias excedem esse valor de 15.34? Grupos 1 2 3 4 5 63 7 14 17* 19* 70 10 12 77 80 5 82

Diferenças entre as médias. Quais pares diferem ? HSD = 15.34 I V IV III II 63 70 77 80 82 I 63 0 7 14 17* 19* V 70 0 7 10 12 IV 77 0 3 5 III 80 0 2 II 82 0 O valor crítico para as diferenças entre as médias dos grupos é chamada de HSD Diferem: 1 vs 2, 1 vs 3 HSD = 15.34 nesse caso

Resolução com a utilização de programas computacionais. Exemplo de Aplicação Teste de Tukey Resolução com a utilização de programas computacionais.

Dados n = 10 Grupo A Grupo B Grupo C 10 11 20 21 22 23 15 24 16 25 28 18 34 26 35 27 36 32 38

Teste de Tukey com o MINITAB Stat >> ANOVA >> One-Way (Unstacked)... Responses: A - C 5% Comparisons: [ V ] Tukey´s family error rate: 5 é o valor default

Grupos A B C Médias 16.90 24.20 29.5 Fonte SQ gl QM F p 800.5 2 400.25 Tabela ANOVA Grupos A B C Médias 16.90 24.20 29.5 Fonte SQ gl QM F p 800.5 2 400.25 11.459 0.000 Erro 943.0 27 34.9259 Total 1743.5 29

* diferença superior ao valor de HSD q crítico 5% = 3.507 Grupos Médias A B 16.90 24.20 7.30* C 29.50 12.60* 5.30 HSD = 6.554 * diferença superior ao valor de HSD Infelizmente, o MINITAB não apresenta uma tabela igual a essa. Felizmente, temos um programa, o STATISTIX, que apresenta essa tabela além dos valores de q crítico e de HSD

Grupos Médias Grupos Homogêneos C 29.50 A B 24.20 16.90 Infelizmente, o MINITAB não apresenta uma tabela igual a essa. Felizmente, temos um programa, o STATISTIX, que apresenta essa tabela das médias formando grupos homogêneos

Teste de Tukey com o MINITAB Stat >> ANOVA >> General Linear Model FELIZMENTE, o programa MINITAB estabelece os Valores de “p” referente às diferenças entre as duas médias (pares) que estão sendo comparadas: A – B : t = 2,62 e p = 0,0267 < 0.05 A – C : t = 4,767 e p = 0,0002 < 0.05 B – C : t = 2,005 e p = 0,1302 > 0.05 Se o p valor for inferior a 0,05, então, diferem as médias?

EPM = erro padrão da média referente aos valores de diferença Só para tranquilizar alguns alunos muito interessados Cálculos dos valores de t nas comparações t : A vs B : diferença / EPM da diferença = 7.300 / 2.643 = 2.762 t : A vs C : diferença / EPM da diferença = 12.600 / 2.643 = 4.767 t : B vs C : diferença / EPM da diferença = 5.300 / 2.643 = 2.005 O EPM da diferença é dado pelo programa Minitab (é só seguir a fórmula dos livros) EPM = erro padrão da média referente aos valores de diferença

Cálculo da EPM = denominador da fórmula q crit = EPM = sqrt [MSw/n1 + MSw/n2] EPM = sqrt [34.9259/10 + 34.9259/10] = sqrt [34.9259/5] = 2.643 sqrt = raiz quadrada

Teste de Tukey com o MINITAB FELIZMENTE, o programa MINITAB estabelece os Intervalos de Confiança da diferença entre as duas médias (pares) que estão sendo comparadas: A – B : IC (95%) vai de 0.74 a 13.86 A – C : IC (95%) vai de 6.04 a 19.16 B – C : IC (95%) vai de -1.26 a 11.86 O valor diferença igual a zero pertence ao qual intervalo?

O valor diferença igual a zero pertence a esse intervalo, Teste de Tukey com o MINITAB A – B : IC (95%) vai de 0.74 a 13.86 O valor diferença igual a zero NÃO pertence a esse intervalo, logo A difere de B A – C : IC (95%) vai de 6.04 a 19.16 O valor diferença igual a zero NÃO pertence a esse intervalo, logo A difere de B B – C : IC (95%) vai de -1.26 a 11.86 O valor diferença igual a zero pertence a esse intervalo, logo A não difere de B

Termos que devem ser familiares Diferença honestamente significante (HSD) Grupos Homogêneos Teste de Tukey