Ciência e Tecnologia de Vácuo Aula 1

Teoria Cinética dos Gases A termodinâmica lida apenas com variáveis macroscópicas, tais como a pressão, a temperatura e o volume. Suas leis básicas, expressas em termos de tais grandezas, nada dizem a respeito da constituição atômica da matéria A Mecânica Estatística, entretanto, lidando com a mesma área da ciência que a Termodinâmica, pressupõe a existência de átomos; suas leis fundamentais são as da mecânica, aplicadas aos átomos que constituem o sistema.

Teoria Cinética dos Gases O estudo individual do movimento dos átomos que constituem um gás não é importante se desejarmos apenas determinar o seu comportamento macroscópico. As variáveis termodinâmicas podem ser determinadas como médias de propriedades atômicas.

Teoria Cinética dos Gases Na teoria cinética aplicamos as leis da mecânica a um conjunto de átomos de um modo físico, com técnicas matemáticas, com objetivo de calcular médias. Para os gases, a teoria cinética pode ser aplicada sem maiores complicações matemáticas , porque neles as interações entre átomos são muito mais fracas do que nos líquidos ou sólidos.

Teoria Cinética dos Gases Os principais nomes associados ao desenvolvimento da teoria cinética foram: Robert Boyle (1627-1691) Daniel Bernoulli (1700-1782) James Joule (1818-1889) Rudolph Clausius (1822-1888) Clerk Maxwell (1831-1879) Willard Gibbs (1839-1903) Ludwig Boltzmann (1844-1906)

Gás Ideal Definição Macroscópica Experimentalmente comprova-se que se a massa específica de um gás for suficientemente baixa, qualquer que seja sua composição química, a relação entre as variáveis termodinâmicas p, V e T serão simplificadas. Considere uma massa m de gás confinada em um volume V: m = n.M (n=número de moles e M=peso molecular) A massa específica = densidade = ρ

Gás Ideal Definição Macroscópica Dada a massa de um gás em equilíbrio térmico, podemos medir sua pressão P, sua temperatura T, e seu volume V. Para pequenas densidades a experiência mostra que: 1 – à temperatura constante, a pressão varia inversamente com o volume (Lei de Boyle) 2 – à pressão constante, o volume varia diretamente com a temparatura (Lei de Charles e Gay-Lussac)

Gás Ideal Definição Macroscópica O volume ocupado por um gás (real ou ideal) é proporcional à sua massa, portanto, a constante deve também ser proporcional à massa do gás. Como a massa é diretamente proporcional ao número de moles do gás, pode-se escrever a constante como: Nk, sendo N = número de moléculas do gás e k = constante a ser determinada para cada tipo de gás. Para baixas densidades k tem o mesmo valor para todos os gases e é chamada de constante universal dos gases:

Gás Ideal Definição Macroscópica Escrevendo a quantidade de gás em termos do número de moles, temos: 1 mol = NAVOGADRO = 6,02x1023 moléculas M = peso molecular = massa de 1 mol Em n moles de uma substância temos: N = nNA, ou seja:

Gás Ideal Definição Macroscópica O gás ideal obedece esta relação sob quaisquer condições ! Tal gás na realidade não existe, mas é um conceito útil pois o comportamento de todos os gases reais se aproximam do comportamento do gás ideal, a densidades suficientemente baixas. Esta equação é chamada de “EQUAÇÃO DE ESTADO DE UM GÁS IDEAL”

Gás Ideal Definição Microscópica A definição de um gás, do ponto de vista microscópico, fundamenta-se nas suposições seguintes: 1) Um gás é constituído de partículas chamadas moléculas, podem ser formadas por átomos ou grupos de átomos, dependendo a natureza do gás. Se for puro as moléculas são consideradas idênticas. 2) As moléculas são dotadas de movimento e obedecem às Leis de Newton. As moléculas podem se mover em todas as direções, com várias velocidades. 3) O número total de moléculas do gás é grande. O sentido, a direção e o módulo da velocidade das moléculas podem sofrer mudanças bruscas devido às colisões com outras moléculas e com as paredes do recipiente. 4) O volume das moléculas é uma fração desprezível do volume coupado pelo gás. 5) As forças que atuam sobre as moléculas são desprezíveis, exceto durante uma colisão. Como consequência o movimento das moléculas é retilíneo e uniforme entre duas colisões. A distância média entre as moléculas é muito grande comparada a seus tamanhos (para baixas densidades principalmente). 6) As colisões entre moléculas, ou com as paredes do recipiente, são elásticas e de duração desprezível. São conservados o momento linear e a energia cinética.

Gás Ideal Cálculo Cinético da Pressão Supondo um gás em um recipiente cúbico, sendo d o comprimento das arestas do cubo e A1 e A2 as áreas das suas faces (d2). Considerando apenas a componente x do vetor velocidade v (vx) de uma molécula que colide com A1, sua componente vx mudará de sinal, mas nenhum efeito será observado nas componentes vy e vz. A variação do momento linear será portanto normal à face A1 e vale:

Gás Ideal Cálculo Cinético da Pressão Se o número de moléculas de um gás for Ni com velocidade vxi, o número destas moléculas que atingirão a parede A1 no intervalo de tempo t, será o número de moléculas à distância vxi.t que se movem em diração à face A1. vxi.t O número de moléculas que atinge a parede é: x

Gás Ideal Cálculo Cinético da Pressão O impulso que as moléculas exercem sobre as paredes é igual à VARIAÇÃO TOTAL DO MOMENTO de cada molécula (2mvxi) vezes o número que colide com a parede: A força média será obtida pela divisão deste impulso pelo intervalo de tempo t, e como a pressão é definida como a força por unidade de área, temos:

Gás Ideal Cálculo Cinético da Pressão A pressão total exercida por todas as moléculas é obtida fazendo a soma destas para todas as componentes vxi positivas, uma vez que, em média e em qualquer instante, a metade das moléculas está se movimentando para em direção à parede. Podemos somar para todas as moléculas e dividir o resultado por 2: O temo: corresponde à vx2 médio vezes o número total de moléculas:

Gás Ideal Cálculo Cinético da Pressão Considerando um movimento isotrópico para todas as moléculas do gás, as componentes vx2 =vy2 =vz2, e o quadrado da velocidade será: v2 = vx2 +vy2 +vz2 A pressão poderá ser então escrita em termos da média do quadrado das velocidades moleculares: A pressão é proporcional ao número de moléculas por unidade de volume (N/V) e à energia cinética média das moléculas (K).

Interpretação molecular da Temperatura A pressão média sobre uma parede é: Substituindo pV pela equação de estado de um gás ideal, temos: Ou seja, a energia cinética média associada ao movimento de translação na direção x é kT/2. Como x é uma direção arbitrária, temos equações análogas para y e z: v2 = vx2 +vy2 +vz2 Adicionando as três igualdades e escrevendo:

Interpretação molecular da Temperatura Concluímos que a temperatura absoluta é uma medida da energia cinética média de translação das moléculas. Somente a energia de translação contribui para a pressão, uma vez que as moléculas possuem também as energias de rotação e vibração. A energia cinética (K) de translação total de n moles de um gás com N moléculas é:

Interpretação molecular da Temperatura A energia cinética de translação molecular é: Exemplo: A energia cinética média de translação de uma molécula é 3/2kT, numa temperatura de T=300 K, temos: 3/2kT = 6,21x10-21 J = 0,038 eV

Velocidade Quadrática Média A raiz quadrada da média (v2m) é a velocidade média quadrática. A média de v2 será portanto: Exemplo: para a molécula de oxigênio a T=300 K e M=32x10-3 kg/mol,

Unidades de pressão 1 atm = 760 mmHg = 760 torr = 1,013x105 N/m2 1 bar = 103 mbar = 105 N/m2

Exercícios 1 ) Um corpo de massa m e energia cinética K é refletido perpendicularmente por uma parede, sem perder energia. Determine a expressão do impulso I fornecido pela parede. 2) Durante um intervalo de tempo de 1 min, 1000 pingos de chuva com 0,01 g caem perpendicularmente sobre o teto de um carro, cuja área é 3,2 m2. A velocidade dos pingos, quando atingem o teto, é 5 m/s. Determine a força média sobre o teto e a pressão. (equações) 3) No exercício 2 substitua os pingos de chuva por granizo (m=0,01 g) supondo que os mesmos ricocheteiam no teto do carro sem perder energia. Calcule a força média e a pressão 4) Sabendo que 1 mol de gás ocupa 22,4 L a zero graus Celsius e na pressão de 1 atm, calcule a energia cinética média da moléculas de gás. (1 atm ~ 1x105 N/m2) 5) Calcular a velocidade quadrática média de uma molécula de H2 quando 1 mol do gás ocupa o volume de 10 L à pressão de 3 atm.

Exercícios 6) Quando a pressão de um gás é duplicada, permanecendo constante o volume, qual a variação na energia cinética média de translação de uma molécula? 7) Um mol de um gás ocupa o volume de 10 L na pressão de 1 atm. (a) Qual a temperatura do gás? (b) O recipiente que o contém dispõe de um pistão com que se pode modificar seu volume. O gás é aquecido sob pressão constante e expande, até atingir o volume de 20 L. Qual é sua temperatura em kelvins? (c) O volume é mantido constante a 20 L e o gás é aquecido até a temperatura atingir 350 K. Qual é a pressão? 8) Numa bomba de vácuo, de difusão a óleo, pode-se atingir a pressão de 10-8 mmHg. Quantas moléculas existem em 1 cm3 nesta pressão, a 300 K? Compare com a quantidade de moléculas por cm3 à pressão atmosférica. 9) Um recipiente de 10 L contém um gás a 0º C, sob pressão de 4 atm. Quantos moles do gás estão no recipiente? Quantas são as moléculas?