Zeros de Funções

Métodos Iterativos - Zeros Método da Bissecção OK Método da Posição Falsa OK Método do Ponto Fixo Método de Newton-Raphson Método da Secante

Método do Ponto Fixo (MPF) Seja contínua em , intervalo este contendo uma raiz da equação . O MPF consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente e a partir de um gerar uma seqüência de aproximações para através da relação =>Processo Recursivo

Método do ponto fixo (MPF) Exemplo1. Considere a equação Possíveis funções de iterações

Método do ponto fixo (MPF) Forma geral das funções de iteração: com a condição . Exemplo:

Método do ponto fixo (MPF) As raízes da equação são e . Consideremos e a função de iteração . Tomando , temos não está convergindo para

Método do ponto fixo (MPF) y=6-x2

Método do ponto fixo (MPF) Consideremos agora a função de iteração com está convergindo para

Método do ponto fixo (MPF)

Método do ponto fixo (MPF) Teorema: Seja uma raiz da equação , isolada num intervalo I centrado em . E seja uma função de iteração de . Se (i) e são contínuas em I, (ii) e (iii) , então converge para .

Método do ponto fixo (MPF) Demonstração do teorema MPF: 1ª parte: se , então . Se , então: . Do Teorema do Valor Médio, se é contínua e diferenciável, então: Obs: O intervalo seguinte é menor e centrado em .

Método do ponto fixo (MPF) Demonstração do teorema MPF: 2ª parte:Provar que . Obs: Como , então .

Estudo da Convergência do MPF Estudo da raiz da equação quando consideramos a função de iteração A- e contínuas. B- . Não existe intervalo em torno de que satisfaça a condição do teorema MPF.

Estudo da Convergência do MPF Estudo da raiz da equação quando consideramos a função de iteração A- e contínuas se . Em torno de condição satisfeita. B- No intervalo em torno de a condição do teorema MPF é satisfeita.

Método do ponto fixo (MPF) Critérios de Parada do MPF Critério 1: Critério2:

Método do ponto fixo (MPF) Exemplo do critério de parada do MPF Seja a função com equação equivalente , e . Iteração x f(x) 1 0.3472 -0.8314X10-1 2 0.3380 -0.3253X10-2 3 0.3376 -0.1240X10-3

Método do ponto fixo (MPF) Ordem de convergência Seja uma seqüência que converge para e seja o erro na iteração . Se existir um número e uma constante , tais que Então é chamada de ordem da convergência e é a constante assintótica.

Método do ponto fixo (MPF) Ordem de convergência do MPF Vimos que no MPF para que haja convergência. Obs1: O MPF converge linearmente. Obs2: A convergência é mais rápida quanto menos for o valor de .

Método Newton-Raphson (MNR) Vimos que no MPF, para que haja convergência, 1: e 2: a convergência é mais rápida quanto menos for o valor de . O MNR é MPF com convergência acelerada. Consiste em escolher tal que .

Método Newton-Raphson (MNR) Temos para o Método de Newton-Raphson

Método Newton-Raphson (MNR) Exemplo do Método de Newton-Raphson. Seja a função com . Seja . Do MNR devemos escolher a função equivalente Obtemos A convergência do MNR é mais rápida que aquela do MPF

Método Newton-Raphson (MNR) Teorema: Sejam contínuas num intervalo que contem a raiz de . Suponha que , então existe um intervalo contendo a raiz , tal que se , a seqüência gerada pela fórmula recursiva , convergirá para a raiz.

Método Newton-Raphson (MNR) Ordem de convergência do MNR Suponha que o MNR gere uma seqüência que converge para . A ordem de convergência do MNR é quadrática. Comentário: A ordem de convergência do MPF é linear, mas o fato da exigência de , faz a convergência do MNR ser quadrática.

Método da Secante No método de Newton há a necessidade de calcular e o seu valor numérico a cada Iteração. Esta é uma desvantagem do MNR. O Método da Secante substitui a derivada pela secante. Assim Note que são necessárias duas aproximações para iniciar o Método da Secante.

Método da Secante Exemplo do Método da Secante Seja a função com . Seja e . Do Método da Secante obtemos a seqüência

Método da Secante Ordem de Convergência do Método da Secante Mostra-se que a ordem de convergência do Método da Secante é maior que aquela do MPF (p=1) e menor que aquela do MNR (p=2). Verifica-se que a ordem de convergência do Método da Secante é p=1.618 ...

Comparação dos Métodos O MPF, MNR e MS têm convergência mais rápida que os Métodos da Bissecção e da Posição Falsa, considerando apenas o número de iterações. Por outro lado, o MNR é aquele que efetua o maior de operações, pois calcula o valor da derivada de f(x) a cada iteração. O esforço computacional depende do número de operações efetuadas a cada iteração, a complexidade destas operações, de número de decisões lógicas, do número de avaliações de funções a cada iteração e do número de iterações.

Comparação dos Métodos No caso geral, não há método melhor!!!!! Obs: Se o cálculo da derivada de f(x) não for muito elaborado, o MNR é indicado, caso contrário o MS é aconselhável.

Exercícios Resolver os seguintes exercícios do capítulo 2 2, 5, 10, 16, 19