Relações 1

Relações Ao estudarmos conjuntos, estamos interessados em certas propriedades de seus elementos ou em relações entre conjuntos. Ou seja, queremos analisar sua estrutura. 2

Relações Binárias Na vida real, quando dizemos que duas pessoas, Maria e José, se relacionam, entendemos que Maria e José se distinguem dos demais pares de pessoas por haver uma relação que eles satisfazem ou verificam. Ex.Maria e José são casados. Maria e José são colegas de trabalho. Maria e José não se entendem. Maria manda em José Em matemática é análogo: distinguimos determinados pares de objetos dos demais porque seus elementos satisfazem alguma relação que os elementos dos demais pares, em geral, não satisfazem. 3

R  SxS = S2 Relações Binárias Dados dois conjuntos S e T Uma relação R entre S e T é dada por R  SxT Uma relação binária R em S é dada por R  SxS = S2 4

Relações Binárias Ex.: Sejam S= {1,2} e T = {2,3} Temos que SxT = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)} Relação de igualdade: os elementos do par são iguais. O único par do “universo” (SxT) que satisfaz essa relação é (2,2), Relação menor do que: isto é, primeiro elemento do par é menor do que o segundo. Três pares se distinguem: (1,2), (1,3), (2,3). 5

Relações Binárias Definição de uma relação   ST: com palavras pela enumeração dos pares ordenados que a satisfazem. Por uma fórmula relacional Pela definição do conjunto  . Usaremos a notação xy ou (x,y) para indicar que o par ordenado (x,y) satisfaz ou pertence à relação : x y  (x,y)  . Uma relação   ST também é denotada por (ST) 6

Relações Binárias Exemplos. Sejam S = {1,2} e T = {2,3,4} : descrição: x  y  x+y é ímpar. x  y  x+y = 2n+1, com n  N x  y = {(1,2), (1,4), (2,3)}  = {(x,y) | x  S e y T e x+y é ímpar} Seja PESSOA um conjunto de pessoas, podemos ter: casado-com(PESSOA, PESSOA) 7

Relações Binárias Para cada uma das seguintes relações binárias  em NN, determine quais dos pares ordenados apresentados pertencem à : x  y  x = y+1 ((2,2), (2,3), (3,3), (3,2) x  y  x divide y (2,4), (2,5), (2,6) x  y  x é ímpar (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) x  y  x > y2 (1,2), (2,1), (5,2), (5,4), (4,3)) 8

Relações n-árias Dados os conjuntos S1, S2, ..., Sn, uma relação n-ária em S1S2...Sn é um subconjunto de S1S2...Sn. Neste caso para uma relação  em S1S2...Sn escrevemos (s1, s2, ...,sn) se s1, s2, ...,sn pertence à relação. Exemplo: A= {1,2}, B = {2}, C = {2,3}. ABC = {(1,2,2), (1,2,3), (2,2,2), (2,2,3)} (x,y,z)  x=y=z  = {(2,2,2)} (x,y,z)  x>y  = ?? 9

Relações unárias Uma relação unária  em um conjunto S é um subconjunto particular de S. Um elemento x de S satisfaz ou pertence à  se, e somente se, x pertence ao subconjunto que define a relação. Exemplo 1: O conjunto dos números pares P (subconjunto de N) é definido pela relação: x   x é par. Exemplo 2: Para o conjunto pessoa podemos ter a relação unária maior-de-idade(PESSOA). 10

Relações em um conjunto S Uma relação binária em um conjunto S é um subconjunto de S2 = (SxS). Ex.: x  y  xy em N Analogamente, uma relação n-ária em um conjunto S é um subconjunto de Sn. Ex.: (x,y,z)   x+y=z em N. 11

Definições Seja  uma relação binária em SxT. Então,  consiste de um conjunto de pares ordenados da forma (s,t).  é uma relação um-para-um se cada primeiro elemento s e cada segundo elemento t aparecem exatamente uma vez na relação. Formalmente: se (s,t)   e (s,t’)   então t=t’ e se (s,t)   e (s’,t)   então s=s’ Ex.: Sejam S = {2,5,7,9} e T = {1,3,4,5}  = {(2,4), (5,5), (7,3), (9,1} 12

Definições  é uma relação um-para-muitos se algum primeiro elemento s aparece mais de uma vez. Ex.:  = {(7,4), (2,5), (2,3)}  é uma relação muitos-para-um se algum segundo elemento t fizer par com mais de um primeiro elemento s.. Ex.:  = {(2,4), (3,4), (5,2)}  é uma relação muitos-para-muitos se pelo menos um s fizer par com mais de um t e pelo menos um t fizer par com mais de um s.. Ex.:  = {(7,4), (2,5), (9,4), (2,3)} 13

Operações sobre relações Seja B o conjunto de todas as relações binárias em um dado conjunto S: B = P(SxS) = {:  é uma relação binária em S} Isto é, se   B, então   S2 . Assim, se  e   B, então podemos aplicar as operações de conjuntos à  e  resultando em novos subconjuntos de S2, isto é, em novas relações binárias: x (  ) y  x  y ou x y x (  ) y  x  y e x y x ’ y  não x  y. 14

Exercícios 1. Sejam  e  duas relações binárias em S={1,2,3,4,5} definidas por: x  y  x = y e x  y  x < y. Encontre:    ’ ’      ’ 2. Analise as relações pai-de(PESSOA,PESSOA), casado-com(PESSOA, PESSOA) e trabalha-em(PESSOA,EMPRESA) Quanto às características um-para-um, um-para-muitos, etc.) 15

Propriedades das relações Seja  uma relação binária em S.  é reflexiva quando xx para todo x  S.  é simétrica quando xy se, e somente se yx para todo x e y  S.  é transitiva quando, xy e yz implica xz para todo x, y e z  S.  é anti-simétrica quando xy e yx implica x = y para todo x e y  S. 16

Exemplo Seja S = N os naturais, e x  y  x+y é par.  é reflexiva.  é transitiva.  é simétrica 17

Fecho de uma relação Se uma relação  em um conjunto S não tem uma certa propriedade, podemos tentar estender  a fim de obter uma relação * em S que tenha a propriedade. Uma relação binária * em um conjunto S é dita ser o fecho de uma relação  em S relativo à propriedade P se: * tem a propriedade P;   * ; * é a ‘menor’ relação contendo  com a propriedade P 18

Fecho de uma relação Exemplo: Obs.: a nova relação * conterá todos os pares ordenados que  contém mais os pares ordenados adicionais necessários para que a propriedade desejada se verifique. Portanto,   *. Exemplo: Seja S = {1,2,3} e  = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} Então, o fecho reflexivo de  em S é: * = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)} o fecho simétrico de  em S é: * = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)} 19

 = {(c,c), (a,c), (a,d), (b,d), (c,a)} Exercício Seja S = {a,b,c,d} e  = {(c,c), (a,c), (a,d), (b,d), (c,a)} Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo de . 20