Dept. de Ciência da Computação da USP www.ime.usp.br/~vwsetzer A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS E SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA ROTEIRO DA AULA Valdemar W. Setzer Dept. de Ciência da Computação da USP www.ime.usp.br/~vwsetzer V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Chamar alguns alunos para desenharem uma espiral no quadro negro. Desenhar a espiral de Fibonacci no quadro negro, e pedir para os alunos desenharem-na na folha de papel almaço quadriculada, tudo a mão livre. Chamar a atenção para o fato de o ser humano ser capaz de verificar se o desenho está razoável, bonito, próximo do correto (arcos perfeitos de circunferências). Colocar o tamanho dos lados dos quadrados Colocar os tamanhos numa sequência: 1 1 2 3 5 8 13 ... 610, bem em cima no quadro negro, deixando espaço acima para o seguinte. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Espiral de Fibonacci V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Numerar os elementos 1 2 3 4 5 6 7 ... 1 1 2 3 5 8 13 ... Colocar n e fn : n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16... fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987... Perguntar se todos entendem essa notação. Pedir para indicarem o valor de f7, f13 etc. Mostrar como se expressa a sequência: f1 = 1 f2 = 1 fn = fn-1 + fn-2 Mostrar por exemplo f16 = f15 + f14 V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Essa é uma fórmula de recorrência e permite calcular subsequentemente todos os elementos da sequência. Essa sequência tem um nome famoso. Essa é a Sequência de Fibonacci. Contar a história do Fibonacci, Leonardo Pisano Bigollo, (1170-?1250), filho de Guglielmo Bonacci, “Filius Bonacci”, daí seu conhecido nome. Outro nome: Leonardo Pisano. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Fibonacci, de autor desconhecido V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Guglielmo era um rico mercador italiano; dirigia um posto comercial em Bugia, um porto no Norte da África. Fibonacci viajou muito, encontrando mercadores e aprendendo seus sistemas de fazer contas. Logo percebeu as vantagens do sistema de numeração hindu-arábico. Escreveu então seu livro Liber Abaci (“O Livro dos Cálculos”) de 1202, quando introduziu os números hindo-arábicos na Europa, cuja principal propriedade é ser posicional, isto é, 243 = 2x100 + 4x10 + 3x1 Nesse livro, mostrou como se poderia usar esse sistema em contabilidade, conversão de pesos e medidas, cálculo de juros, câmbio de moedas e outras aplicações. No livro, introduz sua sequência: V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Trecho do original do Liber Abaci V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

No início, nasce um casal de coelhos. Essa sequência já era conhecida por matemáticos hindus desde o séc. VI. Fibonacci escreveu a sequência até o 13º elemento, 233. No livro (no texto do fac-simile) resolveu o problema da multiplicação dos coelhos, com as seguintes regras: No início, nasce um casal de coelhos. Os coelhos nascidos levam 1 mês para atingir a maturação sexual. Cada casal produz um casal de novos coelhos a cada mês. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Quantos casais de coelhos haverá depois de um ano? f12 ! Recém nascidos: cinza; férteis: rosa Quantos casais de coelhos haverá depois de um ano? f12 ! V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Fibonacci tornou-se um visitante do imperador Frederico II, que gostava de matemática e ciência. Em 1240 a República de Pisa deu a ele um salário, referindo-se a ele como Leonardo Bigollo. Mostrar a estátua dele no Campo Santo, em Pisa. O asteroide 6.765 recebeu o nome de Fibonacci. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Estátua no Camposanto, em Pisa V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

9. A sequência de Fibonacci aparece em muitas áreas da matemática, como no triângulo de Pascal: Agora vamos ver a aplicação mais interessante da sequência de Fibonacci. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Pedir para os alunos calcularem as razões de cada 2 consecutivos: 2 1,666 1,625 1,619 1,61818 1,618035 1,618025 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1 1,5 1,6 1,615 1,6176 1,61797 1,61805 1,618032 11. Desenhar as duas curvas, a de baixo e a de cima em um gráfico cartesiano, com uma reta no meio, mostrando que elas convergem. Perguntar: (1) Será que as curvas convergem para um só valor, e daí para diante esse valor se repete? Nesse caso, há uma segunda questão: (2) qual é esse valor, que chamaremos de ϕ? Nesse caso, isso se chamaria de “convergência para ϕ”. Escrever no quadro negro Convergência. Já sabemos que ϕ ≈ 1,6180 Marcar ϕ na reta do gráfico para onde as curvas convergem. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Mostrar que as curvas convergem aparentemente para o mesmo número ϕ. Pedir 2 números quaisquer, não muito grandes. Podem ser negativos. Colocar os números dados como f1 e f2 . Construir a sequência de Fibonacci. Não é preciso colocar o número de ordem n. Pedir para calcularem as razões de cada dois consecutivos, e ir colocando em cima e abaixo da sequência. Cuidado para a razão de cima decrescer e a de baixo crescer. Trocar os primeiros (acima e abaixo) se necessário. Mostrar que as curvas convergem aparentemente para o mesmo número ϕ. Portanto, essa convergência aparentemente depende exclusivamente da regra fn = fn-1 + fn-2 e não dos números iniciais f1 e f2 , desde que um deles seja diferente de 0. O que acontece se os dois forem 0? V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

fn fn-1 lim ––– = lim ––– = ϕ n→∞ fn-1 n→∞ fn-2 16. Vamos supor que, para n bem grande, haja convergência; para n muito grande: fn fn-1 ––– = ––– = ϕ fn-1 fn-2 Isso se escreve, usando a abreviatura de “limite” (escrever no quadro negro): fn fn-1 lim ––– = lim ––– = ϕ n→∞ fn-1 n→∞ fn-2 V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

17. Exemplo de limite: 1+n 1+∞ ∞ lim –––– = ––––– = ––– = 1 n→∞ n ∞ ∞ Mostrar como gráfico, convergindo para o 1, mas nunca chegando nele, isto é, o limite de uma função pode não ser um dos valores dela. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

18. Mas pela regra de Fibonacci, fn fn-1 + fn-2 fn-2 1 ––– = –––––––––– = 1 + –––– = 1+ –––––– fn-1 fn-1 fn-1 fn-2 –––– fn-1 Então fn 1 1 1 ϕ= lim ––– = lim (1 + –––– ) = 1+ –––––––– = 1 + ––– n→∞ fn-1 n→∞ fn-1 fn-1 ϕ ––– lim –––– fn-2 n→∞ fn-2 V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

ϕ = –––––––––– = ––––––– 2 2 19. De 1 ϕ = 1 + ––– ϕ Tem-se ϕ2 = ϕ + 1 ou ϕ2 – ϕ – 1 = 0 _____ __ 1 ±√ 1 + 4 1 ±√ 5 ϕ = –––––––––– = ––––––– 2 2 V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

20. Queremos a raiz positiva, pois se fn-1 e fn forem negativos (para n grande sempre ou ambos são positivos, ou ambos são negativos), a razão também será positiva. __ 1 +√ 5 ϕ = ––––––– 2 √ 5 = 2,2360667977896964091736687313... é um número irracional, nunca acaba ou se repete. Portanto ϕ = 1,618033988948482045868343606... é irracional e jamais será atingido na convergência das duas curvas. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

21. Notar que 1 1 1 ϕ = 1 + ––– = 1 + –––––––––– = 1 + –––––––––––––– ϕ 1 1 1 + ––––– 1 + –––––––––– ϕ 1 1 + –––––– 1 + ... Essa fração é chamada de Fração Contínua. Isso prova que ϕ é irracional, pois a segunda parcela vai sempre diminuindo, e nunca converge para um número fixo. Notar que ϕ > 1 portanto 0 < 1/ϕ < 1. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Como fórmula de recorrência: 1 ϕn+1 = 1 + –––– ϕn Se começarmos com ϕ1 = 1, temos a sequência, calculando com 16 algarismos significativos, 2, 1,5, 1,666..., 1,5999..., 1,625, 1,615, 1,619, 1,6176, 1,61818, 1,61797 ... V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

22. Outra forma de calcular. De ϕ2 = ϕ + 1 _____________ tem-se _________ / _________ _____ / _____ / / _____ ϕ = √ 1 + ϕ = √ 1+√ 1 + ϕ = √ 1+ √ 1+√ 1+ ... Usando como fórmula de recorrência ______ ϕn+1 = √1 + ϕn começando com ϕ1 = 1 tem-se a sequência 1, 1,4142, 1,5537, 1,5980, 1,6118, 1,6161, 1,6174, 1,6178, 1,6179, 1,6180, 1,61802, 1,618032, 1,618033, ... V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

23. Algumas propriedades do ϕ 23. Algumas propriedades do ϕ. De 1 ϕ = 1 + ––– ϕ Temos 1 ––– = ϕ – 1 = 0,618034... ϕ e ϕ2 = ϕ + 1 = 2,618034... V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

24. ϕ é chamado de Razão Áurea. Um segmento de reta com tamanho a+b |––––|––––––––|––––––––––––| a P b a+b é dividido na “razão áurea” pelo ponto P sse b a+b ––– = ––––– a b o que dá o ϕ (se a = 1, então b = ϕ = 1,618034... ou, se b = 1, a+b = ϕ) Notar que se a, b, a+b são 3 elementos de uma sequência de Fibonacci, estarão apenas aproximadamente na razão áurea. Fibonacci não introduziu a razão áurea. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Quem primeiro mencionou a razão áurea foi Euclides (325-265 a. C Quem primeiro mencionou a razão áurea foi Euclides (325-265 a.C.), em seu Elementos (ca. 300 a.C.): “Uma linha reta é dita ter sido seccionada na razão extrema e média quando a linha toda está para o segmento maior assim como o maior para o menor.” Ela é chamada de Razão Áurea pois ocorre aproximadamente no corpo humano em várias proporções de partes deste. Os pintores usaram essas proporções. Um ser humano é considerado proporcional, bonito, se preserva as proporções da razão áurea. Mostrar a foto do rosto da garota com as proporções áureas. Mostrar o filme com as proporções. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Proporções áureas: cabelo→queixo/olhos→queixo, olhos→queixo/nariz→queixo V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

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28. Aparelhos que geram a proporção áurea 28. Aparelhos que geram a proporção áurea. Mostrar a foto de um deles verificando as proporções o rosto de uma mulher, e foto do aparelho de dentista (aplicação prática!). V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Aparelho usado por pintores V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Aparelho de dentista para deduzir o tamanho de coroas na arcada toda V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

29. Vamos verificar se um dos presentes é bonito 29. Vamos verificar se um dos presentes é bonito. Para isso vamos usar aparelhos que eu construí. Mostrar meus aparelhos (triângulos) de verificar a razão áurea. Explicar por que funcionam. Se os triângulos tiverem lados a, b, c e a', b', c' construí-os de tal modo que a/b = a'/b' = 1,6; como os dois triângulos têm um mesmo ângulo (oposto pelo vértice do parafuso), eles são semelhantes, então c/c' = 1,6 Medir com os aparelhos algumas proporções no corpo, por exemplo base do queixo até o nariz e até o lábio superior; tamanho da perna toda e do pé até o joelho. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

30. Retângulo áureo, com lados proporcionais a 8 e 5, ou a 13 e 8 30. Retângulo áureo, com lados proporcionais a 8 e 5, ou a 13 e 8. Proporções bonitas? 8 5 V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Partenon, Atenas, e o retângulo áureo V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Se se quiser fazer uma caixa com proporções bonitas, usar as proporções áureas: um lado proporcional a 13, outro a 8 e o terceiro a 5; ou um lado com o retângulo áureo, com lados proporcionais a 13 e 8, e a outra face um quadrado. 31. Algumas figuras geométricas já contêm a razão áurea. A proporção entre uma diagonal de um pentágono regular e um lado é ϕ. No pentagrama, o ϕ também aparece em várias proporções. Isso tudo pode ser provado. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

vermelho vermelho verde azul ––––––––– = ––––––––– = ––––––– = –––––––– = ϕ amarelo verde azul magenta V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

32. Como desenhar um segmento dividido na proporção áurea: ____ __ a2 = 12 + ½2 = 1 + ¼= 5/4 a = √ 5/4 a = ½√ 5 V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

33. Pedir aos alunos para desenharem uma espiral logarítmica (mostrar que deveria ser chamada de espiral exponencial), com passo de razão 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32) de 180º em 180º. Notar que a espiral de Fibonacci é desenhada colocando-se cada elemento da sequência a cada 90º. Chamar a atenção para que, quanto mais bonito o desenho, mais próximo se estará da espiral perfeita. Mostrar que a razão é a mesma para qualquer raio do foco, em qualquer ângulo. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

As espirais logarítmicas têm propriedades extraordinárias As espirais logarítmicas têm propriedades extraordinárias. Por exemplo, a tangente em qualquer ponto faz sempre o mesmo ângulo com o raio desse ponto até o foco da espiral. Isso também ocorre nas circunferências, mas com o ângulo de 90º; a circunferência é uma espiral particular. Qual é a razão do passo nesse caso? É 1. Se fizermos uma espiral logarítmica mover-se nos pontos correspondentes a uma outra espiral igual (isto é, sem escorregar) o foco traça novamente a mesma espiral. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

34. Quem estudou as espirais logarítmicas foi Jakob Bernoulli (1665-1705). Foi um grande matemático, catedrático na universidade de Basel. Com seu irmão Johann introduziu o Cálculo das Variações. Introduziu a Lei dos Grandes Números, que levou ao cálculo de probabilidades. Brigou com o irmão em uma disputa de quem seria o melhor matemático. Johann ficou muito bravo pelo fato de Jakob ter ganho a cátedra de matemática da Universidade de Basel, e ele teve que ir para a de Groningen, Holanda. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Bernoulli chamou a espiral logarítmica de Spira Mirabilis Bernoulli chamou a espiral logarítmica de Spira Mirabilis. Ele escreveu o seguinte: “[A espiral logarítmica] pode ser usada com um símbolo para o corpo humano, na força de espírito e constância na adversidade, o qual depois de todas suas mudanças, mesmo depois da morte, é restaurado para seu ‘si próprio’ (self), exato e perfeito.” Ele quis que se colocasse em seu túmulo uma espiral logarítmica e se escrevesse a frase “Eadem mutata resurgo” (“Apesar de mudada, ressurjo”). Isso foi feito, mas foi em volta de uma espiral de Arquimedes (passo constante). V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Lápide do túmulo de Jacob Bernoulli (†1708), na catedral de Basel, Suíça V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

35. Uma espiral logarítmica com passo de razão ϕ é uma Espiral Áurea 35. Uma espiral logarítmica com passo de razão ϕ é uma Espiral Áurea. As distâncias do foco serão, calculando os resultados com 10 algarismos e arredondando para 2 algarismos: 1, 1,6, 2,6, 4,2, 6,9, 11, 18, 29, 47, 76 Notar que acaba dando a regra de cada um ser a soma dos dois anteriores, como não poderia deixar de ser! Se for para trás, dá 1, 0,6, 0,4, 0,2 V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

36. Pode-se começar a espiral com um retân-gulo áureo; adicionando-se quadrados sempre se conserva a razão áurea. Construir a espiral como fizemos com a primeira, de Fibonacci. A diferença para a espiral áurea será o uso de arcos de círculos em lugar de arcos de uma espiral áurea, mas a diferença é pequena nos primeiros quadrados. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

35. Verde: espiral de Fibonacci; vermelha: espiral áurea; amarelo: coincidentes. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

A partir dele pode-se construir uma sequência de triângulos áureos 37. Um triângulo áureo: ϕ 1 A partir dele pode-se construir uma sequência de triângulos áureos V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Uma sequência de triângulos isóceles áureos: 1 ϕ 1+ϕ 1+2ϕ 2+3ϕ 3+5ϕ 5+8ϕ Uma sequência de triângulos isóceles áureos: A partir dessa sequência pode-se construir uma espiral áurea, ligando-se os vértices de cada triângulo V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

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38. Ocorrência de espirais logarítmicas na na-tureza: Caramujos, Girassol, Margarida, outras plantas, furacão, galáxia. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

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Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

Girassol V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

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Qual a maior maravilha física na natureza? O corpo humano! Exercício. Prestar atenção nas plantas e descobrir as espirais na natureza. Dessa maneira desenvolve-se um respeito, uma veneração pela natureza, a única maneira de preservá-la e cultivá-la. Qual a maior maravilha física na natureza? O corpo humano! V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

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PARA OS PROFESSORES Por que essa aula foi tão interessante, quem sabe entusiasmando os alunos? Ingredientes básicos para uma aula interessante: Ter algo estético (desenhar as espirais), que mexa com os sentimentos. Para isso, na matemática é necessário usar a geometria. A álgebra não tem estética, é morta. Exemplo de como ensinar a equação de 2º grau. 1. começar com os alunos desenhando uma parábola como lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto e de uma reta (usar uma régua, um esquadro se movendo sobre a régua e um compasso). 2. Recordar as retas de equações lineares, desenhando algumas. 3. Pedir para desenharem a curva de y=x2. Depois a de y=–x2, y=x2+4, depois de y=x2–4. 5. falar das raízes (y=0), generalizar para y=x2–2x–4 (desenhar). 6. Será que há alguma forma algébrica de se achar as raízes? Deduzir a fórmula de Baskara, falando de completar os quadrados: deve-se procurar uma forma (x + d)2 = e; para isso é preciso chegar a x2+2dx+d2=e V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

A aula deve ter atividade dos alunos (desenhar, calcular as razões) A aula deve ter atividade dos alunos (desenhar, calcular as razões). Muito importante: dar uma aula sempre com ritmo de inspiração (alunos absorvem algo) e expiração (alunos fazem algo, põem para fora). Perguntar aos alunos com frequência. A aula deve conter algo da história da matéria, inclusive biografias. Estas últimas contêm sempre algo de realidade, algo que ocorreu. A história da matemática segue o desenvolvimento do pensamento matemático da humanidade. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15

A aula deve relacionar o que é visto com a realidade, eventualmente com a natureza. Exemplo: dar áreas de figuras geométricas calculando quantas telhas é preciso comprar para construir um telhado com aquelas telhas. Contra-exemplos: movimento uniformemente acelerado de uma partícula elementar; dar um salto na Lua, com gravidade menor. Não dar aulas exclusivamente corretas. Avisar que se vai cometer alguns erros e pedir para ver quem os descobre. V.W.Setzer – roteiro da aula sobre Fibonacci e espirais 8/6/15