Integração numérica Aula 10 Fórmulas de Newton-Cotes: Trapézios; Simpson; Quadratura Gaussiana. Funções mal condicionadas

Integração Numérica Embora na maioria das situações práticas tem-se derivadas, que constituem equações diferenciais, para resolver, em outras situações objetiva-se determinar o valor aproximado da integral onde a função integrando f(x) pode ser dada analiticamente ou por meio de uma tabela de pontos [xi,f(xi)], i = 0, 1, ..., n. Se f(x) for dada para um conjunto discreto de pontos contidos no intervalo [a,b] ou se for conhecida uma regra para o cálculo de f(x), para qualquer valor de x, então é possível realizar a interpolação de f(x) por meio de um polinômio e integrar este polinômio para que um valor aproximado de I seja obtido. A seguir são apresentadas algumas fórmulas para intervalos igualmente espaçados: Trapézios e Simpson.

Fórmula dos Trapézios A integral de uma função f no intervalo [a,b] pode ser aproximada pela área de um trapézio, conforme a figura de forma que O valor fornecido por esta fórmula é uma aproximação de ordem 1 do valor exato da integral. Assim, existe um erro, dado pela diferença:

Fórmula dos Trapézios Para reduzir este erro pode-se obter uma melhor aproximação com a soma de vários trapézios. Sejam f(x), f'(x) e f''(x) contínuas em [a,b] e seja n um inteiro positivo. Subdividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos de mesmo comprimento h = (b-a)/n, considerando x0 = a, xn = b e os pontos intermediários xi+1 = xi + h, para i = 0,1,...,n-1, obtêm-se, para cada subintervalo [xi-1,xi], uma integral

Fórmula dos Trapézios Somando todos os subintervalos obtém-se a fórmula dos trapézios (composta) para f(x) com espaçamento h: que é uma aproximação da integral de f(x) e, portanto, escreve-se e o erro de truncamento é estimado como Exemplo ...

Fórmula de Simpson Visando obter uma melhor aproximação para integração utiliza-se um polinômio de ordem 2 na fórmula de Simpsom. Para o intervalo [a,b], assumindo que h = ( b – a )/2 resulta onde corresponde ao ponto médio entre “a” e “b”; para obter um polinômio de segundo grau são necessários 3 pontos. Via mudança de variáveis e e mudança do intervalo para [0,2], resulta

Fórmula de Simpson ou seja Quando este processo é repetido em subintervalos de [a,b] tem-se a extensão da regra. Sejam f, f', f'', f(3) e f(4) contínuas no intervalo [a,b]; subdividindo o intervalo em 2n subintervalos de espaçamento igual h = e usando os pontos a = x0 < x1 < ... < x2n = b, tem-se

Fórmula de Simpson ou então Esta é uma aproximação para a integral de f (x). Portanto, onde Observe que o intervalo [a,b] deve ser dividido sempre em um número par de subintervalos para poder aplicar esta fórmula. Exemplo ...

Fórmula de Simpson Exemplo: Considere que um agricultor pretende reaproveitar uma benfeitoria como depósito para estocar a safra. Sabe-se que a benfeitoria tem 30m de largura, 4,5m de altura máxima e 60m de comprimento. Para a curvatura, segundo a figura, considere que x seja a posição de cada estaca e y a sua altura, dada na tabela. A partir destes dados, qual a capacidade de armazenamento deste depósito? Solução: Usando o método de Simpson, para n = 6, tem-se Como o depósito possui 60 m de comprimento a capacidade total será de

Quadratura de Gauss A idéia da Quadratura de Gauss-Legendre é determinar fórmulas de integração que sejam exatas para polinômios de grau ≤ 2n – 1 (onde n são pontos distintos utilizados). Para isso, relaxa-se o critério de Newton-Cotes de que os pontos de integração sejam igualmente espaçados. Os pontos podem ser escolhidos de tal maneira que a área do trapézio seja a mais próxima possível da área sob a curva.

Quadratura de Gauss De maneira geral, uma fórmula de Newton-Cotes que aproxima f (x) por um polinômio que interpola f (x) em x0, x1, ..., xn (igualmente espaçados) é exata para polinômios de grau menor ou igual a n. As fórmulas de Gauss são exatas para polinômios de grau menor ou igual a 2n+1 e são escritas como ( * ) Para obter a fórmula para n = 1 é necessário determinar A0, A1, x0 e x1 tais que seja exata para polinômios de grau menor ou igual a 3.

Quadratura de Gauss Para facilitar os cálculos, façamos uma mudança de variável de x para t, no intervalo [-1,1], representando em: Dedução ... resultando com F(t) = f [x(t)].

Quadratura de Gauss Dedução: Para generalizar o resultado para o intervalo [a, b], precisamos entender como x se relaciona com t: Para relacionar x com t, posso definir uma reta passando pelos pontos (-1, a) e (1, b), Então, tomando a equação da reta, temos que:

Quadratura de Gauss Esta fórmula é exata para polinômios de grau menor ou igual a 3 e considerando que

Quadratura de Gauss obtêm-se o sistema cuja solução é

Quadratura de Gauss Para F(t) correspondendo aos polinômios tk para k = 0, 1, ..., 2n+1, tem-se Da teoria dos polinômios ortogonais, segue que os tk são as raízes de polinômios de Legendre e os coeficientes Ak (da Equação (*) ) são obtidos da solução do sistema de equações resultantes, cujos valores são indicados na tabela a seguir:

Quadratura de Gauss n tk Ak k 1 -0,57735027 1,00000000 0,57735027 2 0,57735027 2 -0,77459667 0,55555556 0,00000000 0,88888889 0,77459667 3 -0,86113631 0,34785485 -0,33998104 0,65214515 0,86113631 0,33998104 4 -0,90617985 0,23692689 -0,53846931 0,47862867 0,56888889 0,90617985 0,53846931

Quadratura de Gauss Exemplo: Integre f (t) = t3 + 2 em (-1,1) por quadratura gaussiana com n=2. Solução: Observe que, pela tabela t0 = - 0,77459667 A0 = 0,55555556 t1 = 0,00000000 A1 = 0,88888889 t2 = 0,77459667 A2 = 0,55555556 Desta forma, I = 0,55555556 [(-0,77459667)3 + 2] + 0,88888889 [(0,00000000)3+2] + 0,55555556 [( 0,77459667)3 + 2] = 4,0 Exemplo ...

Funções mal condicionadas Funções singulares ou mal condicionadas são aquelas de difícil convergência para o resultado real. O exemplo que segue torna clara a situação. Exemplo: Discuta o procedimento de solução de Se x = 1, esta função apresenta singularidade, que precisa ser evitada. Através da substituição x = sen(u) e dx = cos(u) du resulta Após a mudança qualquer método pode ser empregado para obter a solução.

Exercícios Integre f (x) = no intervalo [2,6] com a fórmula dos trapézios considerando h = 1. Refaça os cálculos para h = 0,1 e compare os resultados. Determine h para que por Simpson a integral tenha erro menor que 10-4. Determine h de forma que o erro máximo de seja da ordem de 10-5 por trapézios. O valor de h seria o mesmo no caso da fórmula de Simpson? 4. Calcule por Simpson com erro menor que 10-4.  

Exercícios Determine a integral de pelo método numérico mais preciso.   Determine a integral de pelo método numérico mais preciso. Via Gauss com n = 3 obtenha e compare com a solução exata. Calcule o valor de a partir da relação com 4 sub- intervalos por Simpson. A função é usada em termodinâmica para o cálculo do calor específico a volume constante de certas substâncias. Calcule uma aproximação para esta função no ponto x = 2 com 3 subintervalos.

Exemplos da aula Trapézios: Na tabela é fornecida a velocidade (km/h) de um cavalo em função do tempo. Deseja-se determinar a distancia percorrida pelo cavalo após 24 min t (h) 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 v (t) 4,2 7,5 9,0 10,5 7,0 Solução: A distância percorrida (d) é dada por Pela fórmula dos trapézios para n = 4 e h = 0,1 resulta Desta forma, a distância percorrida é de aproximadamente

Exemplos da aula Simpson: Determine o volume de uma racha supondo que a mesma possa ser aproximada pelos pontos da tabela, onde R(x) é o raio médio na posição x. x 1 2 3 4 R (x) 0,7 2,6 3,9 2,1 0,2 Solução: Por Simpson com n = 3 e h = 1 obtêm-se

Exemplos da aula Quadratura Gaussiana: Aproxime a integral por quadratura gaussiana com n=2 Solução: O intervalo I = [0,4] deve ser transformado para [-1,1]. Assim, deve-se calcular Via mudança de variáveis resulta com t0 = -0,7745967, t1 = 0,000000 e t2 = 0,7745967.

Fonte: Material do professor Dr. Régis Quadros; RUGIERO, Márcia A. G. & LOPES, Vera L. R. Cálculo Numérico aspectos Teóricos e Computacionais. 2. Ed. São Paulo, Makron Books do Brasil, 1996.