Potenciação an = a . a . a . ... . a (a ≠ 0) n fatores onde: a: base n: expoente resultado: potência Por exemplo: 24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16 (‒5)2 = (‒5) . (‒5) = 25 = . . =

Propriedades da potenciação 1ª propriedade: Multiplicação de potências de mesma base am . an = am + n (a ≠ 0) Por exemplo: (‒3)2 . (‒3)4 = (‒3)2 + 4 = (‒3)6 . = = 2ª propriedade: Divisão de potências de mesma base am : an = am – n (a ≠ 0) Por exemplo: 57 : 54 = 57 – 4 = 53 (0,2)5 : (0,2) = (0,2)5 – 1 = (0,2)4

Propriedades da potenciação 3ª propriedade: Potência de potência (am)n = am . n (a ≠ 0) Por exemplo: [ (‒0,1)3 ]2 = (‒0,1)3 . 2 = (‒0,1)6 (32)4 = 32 . 4 = 38 4ª propriedade: Potência de um produto ou de um quociente (a . b)n = an . bn ou = = an : bn = (a : b)n (a ≠ 0 e b ≠ 0) Por exemplo: (2 . 3)3 = (2 . 3) . (2 . 3) . (2 . 3) = (2 . 2 . 2) . (3 . 3 . 3) = 23 . 33 (5 : 2)2 = = = . = 52 : 22

Expoente zero Observe as sequências que se seguem: 23 22 21 20 23 22 21 20 33 32 31 30 8 4 2 1 27 9 3 1 O padrão dessas sequências é sempre dividirmos o termo anterior pela base. 8 : 2 = 4 27 : 3 = 9 De modo geral, escrevemos: 4 : 2 = 2 9 : 3 = 3 a0 = 1 (a ≠ 0) 2 : 2 = 1 3 : 3 = 1

Potenciação com número inteiro negativo no expoente Veja esta divisão: 35 : 36 = = = ou então: 35 : 36 = 35 – 6 = 3 –1 então: 3 –1 = Analise agora a sequência: 23 22 21 20 2‒1 2‒2 2‒3 8 4 2 1 Portanto: a –n = =

Notação científica Um número escrito na notação científica corresponde ao produto de um número decimal de 1 a 10, excluído o 10, por uma potência de base 10. Por exemplo: O comprimento de uma célula do olho é de, aproximadamente, 0,0045 cm. Em notação científica 0,0045 = 4,5 . 10–3 Outros exemplos: 26 000 000 000 = 2,6 . 1010 EYE OF SCIENCE / SCIENCE PHOTO LIBRARY / LATINSTOCK 0,0000942 = 9,42 . 10–5

Radiciação A ideia de raiz quadrada Exemplos: = 2 (22 = 4) = 4 (42 = 16) = 1,5 (1,52 = 2,25) Raiz quadrada exata É uma raiz quadrada de um número real que dá um número racional. = = = 1,5, pois (1,5)2 = 2,25 225 75 25 1 3 5 15 15 = 7, pois 72 = 49 = , pois =

Radiciação Raiz quadrada não exata Qual é a raiz de 18? A raiz de 18 é maior que 4, pois 42 = 16, e menor que 5, pois 52 = 25. Portanto fica entre 4 e 5, ou seja, 4 < < 5. (4,1)2 = 16,81; Portanto fica entre 4,2 e 4,3 (4,2 < < 4,3) (4,2)2 = 17,64; ≃ 4,2 (por falta) (4,3)2 = 18,49; ≃ 4,3 (por excesso) Podemos continuar o processo fazendo aproximações sucessivas.

Radiciação Raiz cúbica 8: radicando 3: índice 2: raiz : radical = 2, pois: 23 8 4 2 1 Então: = 2 Raízes cúbicas exatas e não exatas é raiz cúbica exata, pois: não é raiz cúbica exata, pois: 45 15 5 3 1 2744 1372 686 2 343 49 7 1 33 = 27 e 43 = 64 2744 = 23 . 73 = 143 (3,5)3 = 42,875 e (3,6)3 = 46,656 = 14 ≃ 3,5 (por falta) ≃ 3,6 (por excesso)

Radiciação Raiz enésima de um número real Para a e b reais não negativos e n natural maior que 1, as afirmações an = b e = a são equivalentes e indicamos assim: an = b = a Quando n é ímpar, a e b podem ser negativos. Exemplos: = 3, pois 34 = 81 = ‒10, pois (‒10)5 = ‒100 000 não existe em , pois nenhum número real elevado à quarta potência dá número negativo.

Propriedades dos radicais n natural maior que 1 a real não negativo, se n é par a real qualquer, se n é ímpar = a Exemplos: = 2, pois = = 2 = ‒ 2, pois = = –2 2ª propriedade m, n e p naturais maiores que 1 p divisor comum de n e m = e = Exemplos: = =

Propriedades dos radicais n natural maior que 1 a e b real não negativo, se n é par a e b real qualquer, se n é ímpar = . Exemplos: = . = . . 4ª propriedade n natural maior que 1 a real não negativo e b real positivo, se n é par a real qualquer e b real não nulo, se n é ímpar = ou = : Exemplos: = =

Propriedades dos radicais n e m natural maior que 1 a real não negativo, se n . m é par a real qualquer, se n . m é ímpar = = Exemplos: =

Radiciação Operações com radicais: Multiplicação e divisão Exemplos: . = . = . = . = . ( + ) = . + . = + = + Operações com radicais: Adição e subtração Exemplos: + = + = + = 2 ‒ = + = ‒ =

Radiciação Racionalização de denominadores 1º caso: O denominador contém radical de índice 2 = = = 2º caso: O denominador contém radical de índice diferente de 2 = = = = 3º caso: O denominador contém uma soma ou uma diferença envolvendo raiz quadrada = = =

Grau de uma equação com uma incógnita Um equação é toda igualdade que contém letras que representam números desconhecidos, chamados de incógnitas. Observe os exemplos abaixo: 3x – 1 = 14 É uma equação de incógnita x. x2 + y = 5 É uma equação de incógnita x e y. 2x + 5 < 3 Não é uma equação. 1 + 1 = 2 Não é uma equação. Quais deles são equações? Quais as suas incógnitas?

Examine agora essas equações e seus respectivos nomes. x2 – 2x + 1 = 0 2x3 = 16 + 5 = x2 + 1 = 10 x3 + x2 + 2x -3 = 0 Você sabe o que define o grau da equação? Observe novamente os exemplos acima e tente encontrar uma regra. Depois de reduzir os termos semelhantes, quando todos os expoentes da incógnita forem número naturais, o maior desses expoentes é o que determina o grau da equação.

Então, a área de cada quadrado é x2. Leonel tem um terreno retangular de 162 m2 e deseja dar o terreno para seus dois filhos; para isso ele precisa dividi-lo em dois terrenos quadrados iguais. 162 m2 x Se a medida do lado de cada quadrado é x, como podemos calcular esse valor? Então, a área de cada quadrado é x2. A área total é a soma das áreas dos quadrados; então, é 2x2 = 162.

Forma geral ou forma reduzida. ax2 + bx + c = 0 Os números a, b, c são chamados coeficientes da equação, e x é a incógnita. Equações completas e incompletas 3x2 – 2x = 0 (a = 3; b = 2 ; c = 0) 3x2 + x + 8 = 0 (a = 3; b = 1; c = 8) -4x2 +10 = 0 (a = - 4; b = 0; c = 10) 5x2 = 0 (a = 5; b = 0 ; c = 0)

Raízes ou soluções de uma equação do 2º grau Você se recorda do que significa resolver uma equação? Resolver uma equação é calcular suas raízes ou encontrar suas soluções. Vamos substituir e verificar se esses valores são realmente raízes? Substituindo por 2: Substituindo por 3: 22 – 5(2) + 6 = 0 32 – 5(3) + 6 = 0 4 – 10 + 6 = 0 9 – 15 + 6 = 0 0 = 0 0 = 0 Logo, x = 2 é solução da equação. Logo, x = 3 é solução da equação.

Qual a medida de cada lado de uma região quadrada com área de 144 cm2? Indicando ℓ como a medida do lado da figura têm-se: ℓ2 = 144 Note que essa equação é equivalente a ℓ2 – 144 = 0. Ou seja, é uma equação incompleta. ℓ = ± ℓ = ±12 Fique atento ao uso do ou e do e! Pode-se dizer então que ℓ = + 12 ou ℓ = –12 ou, ainda, que ℓ′ = + 12 e ℓ″ = –12.

3x2 = 0 x2 = x2 = 0 x = ± x′ = x″ = 0 Como +0 e –0 indicam o mesmo número, podemos concluir que esse tipo de equação sempre tem duas raízes reais e iguais a zero.

Qual o número que tem o dobro do seu quadrado igual ao seu quádruplo? x 2x2 4x Como essa questão pode ser resolvida? Tente encontrar uma solução por meio de uma equação incompleta com b 0 e c = 0. Então, montando a equação tem-se que: 2x2 = 4x 2x2 – 4x = 0 Note que nessa passagem foi feita uma fatoração. x . (2x – 4) = 0 (2x – 4) = 0 2x = 4 x = 0 x = 2

Equações do tipo ax2 + bx + c = 0 cujo primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito 9x2 – 30x + 25 = 0 (3x)2 2 . 5 . 3x 52 (3x – 5)2 = 0 O único número real que elevado ao quadrado dá zero é o próprio zero. Assim, 3x – 5 = 0. 3x – 5 = 0 3x = 5 Outros exemplo: x2 + 8x + 16 = 0 x = (x + 4)2 = 0 x + 4 = 0 x = –4

Método de completar quadrados Veja como podemos resolver a equação x2 + 6x – 7 = 0: x2 + 6x – 7 = 0 x2 + 6x = 7 x2 + 6x + 9 = 7 + 9 Quadrado de x 2 . x . 6 Quadrado de 3 Essa é a interpretação geométrica desse “completamento de quadrado”. x2 x x x x 1 O que fizemos foi completar o quadrado juntando 9 regiões quadradas de área 1 e então encontramos um quadrado perfeito. x x

Agora vamos resolver a equação: x2 + 6x – 7 = 0 x2 + 6x = 7 x2 + 6x + 9 = 7 + 9 (x + 3)2 = 16 x + 3 = ± x + 3 = ±4 x + 3 = + 4 x + 3 = – 4 x = + 4 – 3 x = – 4 – 3 x = + 1 x = – 7

ax2 + bx + c = 0 x2 + x + = 0 Dividimos agora todos os membros por a. Completamos o quadrado do primeiro membro somando x2 + x + = – = Fatoramos o trinômio quadrado perfeito.

x + = ± Extraindo a raiz quadrada temos x = Obtemos então a fórmula: Podemos indicar o valor da expressão b2 – 4ac pela letra grega (delta). x = Obtemos então a fórmula

O valor de (positivo, negativo ou nulo) é que determina quantas raízes reais a equação tem quando seus coeficientes são números reais. Quando > 0 a equação tem duas raízes reais distintas. Quando = 0 a equação tem duas raízes reais iguais. Quando < 0 a equação não tem raízes reais.

+ = = = S = x′ + x″ = . = = P = x′ . x″ = = = = = =

S = P = –1 e –6 O produto das duas raízes é positivo (6) e a soma é negativa (–5); então, as raízes são dois números negativos. x2 + 5x + 6 = 0 –2 e –3 Como a soma deve ser –5, as raízes são –2 e –3.

Lembrando que a soma e o produto das raízes podem ser escritas como: Exemplo: Assim, a equação é: x = ‒ e x = x2 = ‒ x ‒ = 0 oposto de b S = ‒ + = ‒ + = = a ou c P = ‒ . = ‒ 40x2 – 2x – 3 = 0 a

ax2 + bx + c = a (x – x′)(x – x″) Uma expressão do tipo ax2 + bx + c = 0, sempre que tiver raízes reais (distintas ou iguais), pode ser fatorada e escrita como: ax2 + bx + c = a (x – x′)(x – x″) Equações biquadradas A resolução desse tipo de equação é feita da seguinte forma:

Equações irracionais Equação irracional é uma expressão em que há incógnita em um ou mais radicais. Para resolver esse tipo de equação, precisamos eliminar os radicais utilizando algumas estratégias. 7 + = x 2 = x = x ‒ 7 (2 )2 = x2 ( ) 2 = (x – 7)2 4(x + 3) = x2 x – 1 = x2 – 14x + 49 –x2 + 4x + 12 = 0 x2 – 15x + 50 = 0 x’ = 6 ou x” = –2 x’ = 10 ou x” = 5 Testando as raízes: Testando as raízes: x = 6 2 2 = 6 (V) x = 10 7 + = 10(V) x = 5 7 + = 5(F) x = – 2 2 2 = 2 . 1 = –2 (F) Assim, só 10 é raiz. Assim, só 6 é raiz.

Examine esse problema: A diferença entre dois números é 10, e o produto deles, –16. Quais são esses números? xy = –16 x – y = 10 x – y = 10 xy = – 16 Para determinar x e y temos que resolver o sistema: Isolando o x na primeira equação temos: x = 10 + y Substituindo na segunda equação: x = 10 + (–2) = 8 (10 + y )y = –16 Solução: (x,y) = (8, –2) y2 + 10y + 16 = 0 = 100 – 64 y = = –2 x = 10 + (–8) = 2 = 36 Solução: (x,y) = (2, –8) y = y = = –8