1 Lógica de 1a Ordem Introdução Na Lógica Proposicional (LP) um átomo (P, Q, R,...) representa uma sentença declarativa que pode ser V ou F, mas não ambos. Um átomo é tratado como uma entidade única. Seus atributos e componentes são desprezados Muitas idéias não podem ser tratadas de maneira tão simples

2 Lógica de 1a Ordem Introdução Exemplo: Representar na Lógica Proposicional Todo homem é mortal Sócrates é um homem Logo, Sócrates é mortal Se representarmos por: P: Todo homem é mortal Q: Sócrates é um homem R: Sócrates é mortal {P, Q} | ≠ R Isso acontece porque os atributos (predicados ou características) de P, Q e R não são considerados

3 Lógica de 1a Ordem Introdução Para provar que esse argumento é válido, é necessário identificar indivíduos tais como Sócrates, e os predicados desse indivíduo (é mortal, é homem). Predicados descrevem características ou relacionamentos entre indivíduos (objetos, elementos) A Lógica dos Predicados apresenta mais três conceitos lógicos: termos, predicados e quantificadores.

4 Enunciados Categóricos Todo S é P Qualquer que seja x, se x é S, então x é P.  x (S(x)  P(x)) Nenhum S é P Qualquer que seja x, se x é S, então x não é P.  x (S(x)  ~P(x))

5 Enunciados Categóricos Algum S é P Para pelo menos um x, x é S e x é P.  x (S(x) ^ P(x)) Algum S não é P Para pelo menos um x, x é S e x não é P.  x (S(x) ^ ~P(x))

6 Enunciados Categóricos É preciso considerar: Universo (ou Conjunto, ou domínio): Os Homens Predicados: M(x): x é mortal H(x): x é um homem Um individuo: Sócrates Exemplo Formalizar: Todo homem é mortal Sócrates é um homem Logo, Sócrates é mortal  x (H(x)  M(x)) H(sócrates) M(sócrates)

7 Exercício: Para formalizar os argumentos que seguem, Interprete as letras C, R, V e S como: C  está chovendo; R(x)  x é uma rã; V(x)  x é verde; S(x)  x é saltitante; a – Todas as rãs são verdes.  x (R(x)  V(x))

8 Exercício: b – Nenhuma rã é verde.  x (R(x)  ~V(x)) c – Algumas rãs são verdes.  x (R(x) ^ V(x)) d – Toda coisa é uma rã.  x (R(x)) e – Nada é uma rã.  x (~R(x)) ou ~  x (R(x))

9 Exercício 1: f – Qualquer coisa é uma rã verde.  x (R(x) ^ V(x)) g – Está chovendo e algumas rãs estão saltitando. C ^  x (R(x) ^ S(x)) h – Somente rãs são verdes.  x (V(x)  R (x))

10 Exercício 1: i – Algumas rãs verdes não estão saltitando.  x ((R(x) ^ V(x)) ^ ~S(x)) j – Rãs verdes saltitam se, e somente se, está chovendo.  x ((R(x) ^ V(x))  (S(x)  C))

11 Exercício 2: Para formalizar os argumentos que seguem considere a interpretação: Indivíduos: Carlos, João e Maria Predicados: Mecânico(x)  x é mecânico Enfermeiro(x)  x é enfermeiro Ama(x, y)  x ama y

12 Exercício 2: 1) Carlos é mecânico Mecânico(Carlos) 2) Carlos e João são mecânicos Mecânico(Carlos) ^ Mecânico(João) 3) Carlos é mecânico ou enfermeiro Mecânico(Carlos) v Enfermeiro(Carlos)

13 Exercício 2: 4) Se Carlos é mecânico então Carlos não é enfermeiro Mecânico(Carlos)  ~Enfermeiro(Carlos) 5) João ama Maria Ama(João, Maria) 6) João ama a si próprio Ama(João, João)

14 Exercício 2: 7) Todo mundo ama João  x(Ama(x, João)) 8) Existe alguém que Maria não ama  x(~Ama(Maria, x)) 9) Todo mundo é amado por alguém  x  y(Ama(y, x))

15 Exercício 2: 10) Alguém é amado por todos  x  y(Ama(y,x)) 11) Alguém que ama todo mundo  x  y(Ama(x,y)) 12) Alguém ama alguém  x  y(Ama(x,y))

16 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: um quantificador e predicados monádicos Não existem marcianos (M(x)  x é marciano) (não existe x tal que x seja um marciano) ~  x M(x) ( oupara todo x, x não é um marciano)  x (~ M(x))

17 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: um quantificador e predicados monádicos Nem todos são sábios (S(x)  x é sábio) (para nem todo x, x é sábio ) ~ (  x S(x)) (ou existe um x tal que x não é sábio)  x (~ S(x))

18 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: um quantificador e predicados monádicos Os morcegos são mamíferos (C(x)  x é morcego; M(x)  x é um mamífero) (para todo x, se x é um morcego, x é um mamífero)  x (C(x)  M(x))

19 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: um quantificador e predicados monádicos Os cavalheiros não são sempre ricos (para nem todo x, se x é um cavalheiro então x é rico) ~  x (C(x)  R(x)) (ou, existe um x tal que x é um cavalheiro e x não é rico)  x (C(x)  ~R(x))

20 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: um quantificador e predicados monádicos Somente os médicos podem cobrar por tratamento clínico (para todo x, se x pode cobrar por tratamento clínico, então x é médico)  x (C(x)  M(x))

21 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: um quantificador e predicados monádicos Nenhum carro é seguro, a menos que tenha bons freios (para todo x, se x é um carro, então x é seguro se e somente se tiver bons freios)  x [ C(x)  (S(x)  F(x)) ]

22 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: mais de um quantificador e predicados monádicos Alguns são espertos, outros não (existe x tal que x é esperto, e existe y tal que y não é esperto)  x E(x)   y (~E(y))

23 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: mais de um quantificador e predicados monádicos Existem políticos honestos e desonestos (existe x tal que x é político e x é honesto, e existe y tal que y é político e y não é honesto)  x (P(x)  H(x))   y (P(y)  ~H(y))

24 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: Relações Todos têm pai (F(x,y) : x é pai de y) (para todo x existe y tal que y é pai de x)  x  y F(y,x) Todas as pessoas têm pai (para todo x, se x é uma pessoa, existe y tal que y é pai de x)  x (P(x)   y F(x,y))

25 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: Relações Existe um ancestral comum a todas as pessoas (existe um x tal que para todo y, se y é uma pessoa, x é ancestral de y)  x  y (P(y)  A(x,y)) (ou, para todo y, se y é uma pessoa, existe um x tal que x é ancestral de y)  y (P(y)   x A(x,y))

26 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: Relações estabelecendo regras de parentesco Genro se x é casado com a filha de y, então x é genro de y; ou, mais precisamente: se existir z tal que x seja casado com z, e z seja filha de y, então x é genro de y  x  y [  z (C(x,z)  F(z,y))  G(x,y) ]

27 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: Relações estabelecendo regras de parentesco Avô se x é pai do pai de y, então x é avô de y  x  y [  z (P(x,z)  P(z,y))  A(x,y) ]

28 Exercício 3: EXPRESSÕES TEXTUAIS MOSTRANDO FORMAS LÓGICA E SIMBÓLICA: Relações estabelecendo regras de parentesco Irmão se o pai de x for também pai de y, x é irmão de y  x  y [  z (P(z,x)  P(z,y))  I(x,y) ]

29 Cuidados na Formalização: 1) Variáveis diferentes não classificam necessariamente objetos diferentes. Ex.:  x  y ama(x, y) Afirma não somente que qualquer pessoa ama uma outra pessoa, como também que qualquer pessoa ama a si própria.

30 Cuidados na Formalização: 2) O nome de variáveis não faz diferença para o significado. Ex.:  x  y ama(y, x) equivale a  y  x ama(x, y) equivale a  z  w ama(w,z)

31 Cuidados na Formalização: 3) Quando dois ou mais quantificadores justapõem-se numa mesma parte da fórmula, uma variável diferente deve ser usada para cada quantificador. Ex.:  x  x ama(x, x) não é correto  x  y ama(y, x) é correto

32 Cuidados na Formalização: 4) A mesma variável usada em vários quantificadores, não designa necessariamente o mesmo objeto em cada caso. Ex.:  x ama(josé, x) ^  x ama(carlos, x)

33 Cuidados na Formalização: 5) A ordem dos quantificadores consecutivos afeta o significado somente quando os quantificadores são diferentes. Ex.:  x  y ama(x,y) e  y  x ama(x,y) tem significados distintos  x  y ama(x,y) e  y  x ama(x,y) significam a mesma coisa

34 Regras de Inferência para a Lógica de 1ª Ordem As regras do Sistema Formal S1 para a lógica proposicional também são usadas para a lógica de 1ª ordem: Exemplo: Provar o argumento: {~F(a) v  x F(x),  x F(x)  P} ├ F(a)  P

35 Prova: {~F(a) v  x F(x),  x F(x)  P} ├ F(a)  P 1. ~F(a) v  x F(x) P 2.  x F(x)  PP 3. | F(a) H p/ PC 4. |~~F(a)3 DN 5. |  x F(x)1e 4 SD 6. |P2e 5 MP 7. F(a)  P3e 6 PC

36 Regras de Inferência para a Lógica de 1ª Ordem A Lógica de 1a Ordem herda todas as regras da Lógica Proposicional e adicionalmente tem regras específicas para a Introdução e a Eliminação dos quantificadores Universal e Existencial.

37 Eliminação Universal (EU) De uma fórmula quantificada universalmente  x , podemos inferir uma fórmula  ’ da forma  [a/x], que resulta da substituição de todas as ocorrências de x em  pela constante a

38 Eliminação Universal (EU) Exemplo Provar que: {  x (H(x)  M(x)), H(s)} |- M(s) 1.  x (H(x)  M(x)) P 2. H(s) P 3. H(s)  M(s) 1 EU 4. M(s)2, 3 MP

39 Eliminação Universal (EU) Esta regra estabelece que o que é verdade para qualquer indivíduo deve ser verdade para um indivíduo particular

40 Eliminação Universal (EU) Ex:{~F(a)} |- ~  x F(x) 1. ~F(a) 2. |  x F(x)H p/RAA 3. | F(a)2 EU 4. | F(a) ^ ~F(a)1, 2 ^I 5. ~  x F(a) RAA

41 Eliminação Universal (EU) Ex:{  x  yF(x,y)} |- F(a,a) 1.  x  yF(x,y)P 3.  yF(a,y)1 EU 4. F(a,a)2 EU

42 Introdução Universal (IU) Para uma fórmula  contendo uma constante ‘a’, podemos inferir uma fórmula da forma  x  `, onde  ` é  com a variável x substituindo todas as ocorrências da constante ‘a’,  [x/a] Restrições: ‘a’ não ocorre nas premissas ‘a’ não ocorre em qualquer hipótese vigente na linha em que  ocorre ‘x’ não ocorre em .

43 Introdução Universal (IU) Exemplo: {  x (F(x) ^ G(x))} ├  x F(x) ^  x G(x) 1.  x (F(x) ^ G(x))P 2. F(a) ^ G(a)1 p/ EU 3. F(a)2 p/ ^E 4. G(a)2 p/ ^E 5.  x F(x) 3 p/ IU 6.  x G(x)4 p/ IU 7.  x F(x) ^  x G(x)5e 6 ^I

44 Introdução Universal (IU) Esta regra estabelece que se pudermos provar algo a respeito de uma indivíduo b sem fazer suposição que distinga b de um outro indivíduo, então o que tivermos provado para b estará provado para todos.

45 Introdução Universal (IU) Restrições: 1) A constante ‘a’ não deve ocorrer em qualquer premissa. 1. P(a)P 2.  x P(a)1 p/ IU derivação é incorreta ! “Da premissa que ‘a’ é primo, não implica que todos os números são primos”

46 Introdução Universal (IU) Restrições: 2)A constante ‘a’ não deve ocorrer em qualquer hipótese vigente numa linha em que  ocorre: 1.  x (P(x)  C(x)) P 2. P(a)  C(a) 1 EU 3. | P(a) H p/PC 4. | C(a) 2, 3 MP 5. |  x C(x) 4 IU 6. P(a)   x C(x)3, 5 PC Derivação incorreta ! (Suponha P: é Políto; C é corrupto)

47 Introdução Universal (IU) Restrições: Derivação incorreta! Da premissa de que “todos os políticos são corruptos, não se segue que, se João é político todos são corruptos.

48 Introdução Existencial (IE): Dada uma fórmula  contendo uma constante ‘a’, podemos inferir uma fórmula da forma  x  `, onde  ` é obtida de  pela substituição de uma ou mais ocorrências de ‘a’ em  pela variável x,  [x/a]. Restrição: x não ocorre em .

49 Introdução Existencial (IE): Ex.: {  x (F(x) v G(x))} ├  x (F(x) v G(x)) 1.  x (F(x) v G(x))P 2. F(a) v G(a)1 p/ EU 3.  x (F(x) v G(x))2 p/ IE

50 Introdução Existencial (IE): A regra IE estabelece duas pressuposições: 1) Todas as constantes referem-se a indivíduos existentes Exemplo: M (a) Apolo é mitológico  x M(x) 2) Existe pelo menos um indivíduo

51 Eliminação Existencial (EE): Dada uma fórmula quantificada existencialmente  x  e uma derivação de alguma conclusão  a partir de uma hipótese da forma  [x/a], podemos descartar a hipótese e reafirmar . Restrições: ‘a’ não ocorre em , ‘a’ não ocorre em  ‘a’ não ocorre em qualquer premissa ‘a’ não ocorre em qualquer hipótese vigente na linha em que EE é aplicada.

52 Eliminação Existencial (EE): Exemplo: {  x (F(x) ^ G(x)) } ├  x F(x) 1.  x (F(x) ^ G(x))P 2. | F(a) ^ G(a)H 3. | F(a) 2 ^E 4. |  x F(x)3 IE 5.  x F(x)1 e 2-4 EE

53 Essa regra requer cuidados: 1)A constante ‘a’ não deve ocorrer em  : 1.  x A(x, x)P 2. | A(a, a)H P/EU 3. |  xA(a, x)2 IE 4.  xA(a, x)1e 2-3 EE Derivação incorreta! “ Da premissa que alguém ama a si próprio não se segue que Ana ama alguém” (  x A(a, x)).

54 Essa regra requer cuidados: 2)A constante ‘a’ não pode ocorrer em  : 1.  x  y F(y, x)P 2.  y F(y, a)1 EU 3. | F(a, a)H p/ EU 4. |  x F(x, x)3 IE 5.  x F(x, x)2e 3e 4 EE Derivação incorreta! “Da premissa que todos tem um pai (  x  y F(y, x)) não se segue que alguém é pai de si mesmo.”

55 Exemplo de prova da validade de um argumento. 1.  x (H(x)  M(x)) P 2. H(sócrates) P 3. H(socrates)  M(sócrates) 1, EU 4. M(sócrates) 2,3 MP Todo homem é mortal Sócrates é um homem Logo, Sócrates é Mortal

56 Exemplo de uma prova de teorema. ├ ~(  x F(x) ^  x ~F(x)) 1. |  x F(x) ^  x ~F(x)H p/ RAA 2. |  x F(x) 1 ^E 3. |  x ~F(x)1 ^E 4. ||~F(a)H p/EE 5. ||F(a)2 EU 6. ||P ^ ~P4,5 CONTRAD 7. |P ^ ~P3 E 4-6 EE 8. ~(  x F(x) ^  x ~F(x)) 1-7 RAA

57 Exercícios: Prove {  x(F(x)  G(x)),  xF(x)} ├  xG(x) 1.  x(F(x)  G(x))P 2.  xF(x)P 3. |F(a)H p/EE 4. |F(a)  G(a)1 EU 5. |G(a)3,4 MP 6. |  xG(x) 5 IE 7.  xG(x) 2,3-6 EE

58 Exercícios: Prove {  x(F(x) v G(x))} ├  xF(x) v  xG(x) 1.  x(F(x) v G(x)) P 2. |F(a) v G(a) H p/EE 3. ||F(a) H p/PC 4. ||  xF(x) 3 IE 5. ||  xF(x) v  xG(x) 4 vI 6. |F(a)   xF(x) v  xG(x) 3-5 PC 7. ||G(a) H p/PC 8. ||  xG(x) 7 IE 9. ||  xF(x) v  xG(x) 8 vI 10.| G(a)  (  xF(x) v  xG(x)) 7-9 PC 11.| (  xF(x) v  xG(x) 2,6,10 vE 12.  xF(x) v  xG(x) 1,2-11 EE

59 Exercícios: Prove {  x(F(x)  (G(x) v H(x)),  x~G(x)} ├  x(F(x)  H(x)) 1.  x(F(x)  (G(x) v H(x))P 2.  x~G(x) P 3. F(a)  (G(a) v H(a)) 1 EU 4. ~G(a)2 EU 5. |F(a)H p/PC 6. |G(a) v H(a)3,5 MP 7. |H(a) 4,6 SD 8. F(a)  H(a)5-7 PC 9.  x(F(x)  H(x)) 8 IU

60 Exercícios: Prove {  xF(a,x),  x  y(F(x,y)  G(x,y))} ├  xG(x,a) 1.  xF(a,x)P 2.  x  y(F(x,y)  G(x,y))P 3. F(a,b) 1 EU 4.  y(F(a,y)  G(x,a)) 2 EU 5. F(a,b)  G(b,a)4 EU 6. G(b,a) 3,5 MP 7.  xG(x,a) 6 IU

61 Exercícios: Prove  x  y L(x,y) ├  x  y L(y,x) 1.  x  y L(x,y) P 2. |  y L(a,y) H p/EE 3. |L(a,b) 2 EU 4. |  y L(y,b) 3 IU 5. |  x  y L(y,x) 4 IU 6.  x  y L(y,x) 1,2-5 EE

62 Exercícios: Prove  x(F(x)  ~G(x)) ├ ~  x (F(x) ^ G(x)) 1.  x(F(x)  ~G(x)) P 2. |  x (F(x) ^ G(x)) H p/RAA 3. ||F(a) ^ G(a)H p/EE 4. ||F(a)  ~G(a) 1 EU 5. ||F(a)3 ^E 6. ||~G(a) 4,5 MP 7. ||G(a) 3 ^E 8. ||P ^ ~P 6,7 CONTRAD 9. |P ^ ~P 2,3-8 EE 10. ~  x (F(x) ^ G(x))2-9 RAA