Divisibilidade Divisores e Múltiplos Profº: Keyson Gondim

Divisores a) 0 16 80 5 Como o resto é zero, a divisão é exata. Vejamos os exemplos das divisões abaixo: a)    0  16         Como o resto é zero, a divisão é exata. Dizemos que 80 é divisível por 5 ou que 5 é divisor de 80. 80 5

b) 84 5 4 16 Como o resto é quatro, a divisão não é exata. Dizemos que 84 não é divisível por 5 ou que 5 não é divisor de 84.

Relação fundamental da divisão Dada a relação fundamental da divisão: Dividendo = divisor x quociente + resto Podemos concluir que: Resto = dividendo – divisor x quociente    Exemplo: Na divisão 84 5                                        4    16 Temos que Resto = 84 – 5 x 16, ou seja, Resto = 4. 

Critérios de divisibilidade Os critérios de divisibilidade são regras práticas que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número natural é ou não divisível por outro número natural. Qualquer número natural, com exceção do zero, tem por divisores o número 1 e ele mesmo. A seguir apresentaremos alguns desses critérios.

Divisibilidade por 2 Um número natural será divisível por 2 quando ele for par, ou seja, terminar em  0, 2, 4, 6, 8. Exemplos: 9734 é divisível por 2 (termina em 4) 2867 não é divisível por 2. 1420 é divisível por 2 (termina em 0)

Divisibilidade por 3 Um número natural será divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 3. Exemplos: 1437 é divisível por 3, temos (1+4+3+7=15) e 15 é divisível por 3. b) 29 não é divisível por 3, temos (2+9+=11) e 11 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4 Um número natural será divisível por 4 quando terminar em 00 ou os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4. Exemplos: 2008 é divisível por 4 (08 é divisível por 4) 600 é divisível por 4 (termina em 00) 427 não é divisível por 4, temos (27 não é divisível por 4) 

Divisibilidade por 5 7805 é divisível por 5 (termina em 5) Um número natural será divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5. Exemplos: 7805 é divisível por 5 (termina em 5) 6290 é divisível por 5 (termina em 0) 1342 não é divisível por 5

Divisibilidade por 6 Um número natural será divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3, ao mesmo tempo. Exemplos: 7314 é divisível por 6 (é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo) 249 não é divisível por 6 (não é divisível por 2 embora seja divisível por 3)

Divisibilidade por 7 Um número natural será divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar em um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7. 

Número sem o último algarismo - 8 Dobro de 4 (último algarismo) 245 Exemplos: 2534 é divisível por 7, temos: Repetir o processo com este último Número (245).  253 Número sem o último algarismo - 8 Dobro de 4 (último algarismo) 245 Diferença

Número sem o último algarismo - 10 Dobro de 5 (último algarismo) 14 24 Número sem o último algarismo - 10 Dobro de 5 (último algarismo) 14 Diferença A última diferença 14 é divisível por 7, logo o número 2534, também é divisível por 7.

Número sem o último algarismo - 16 Dobro de 8 (último algarismo) 627 b) 6438 não é divisível por 7, temos:    Repetir o processo com este último Número (627).  643 Número sem o último algarismo - 16 Dobro de 8 (último algarismo) 627 Diferença

Número sem o último algarismo - 14 Dobro de 7 (último algarismo) 48     A última diferença é 48 que não é divisível por 7, logo o número 6438 também não é divisível por 7.  62 Número sem o último algarismo - 14 Dobro de 7 (último algarismo) 48 Diferença

Divisibilidade por 8 Um número natural será divisível por 8 quando terminar em 000 ou quando os três últimos algarismos forem divisíveis por 8. Exemplos: 3456 é divisível por 8 (456 é divisível por 8) 12000 é divisível por 8 (termina em 000) 951 não é divisível por 8

Divisibilidade por 9 Um número natural será divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos: 6984 é divisível por 9, temos (6+9+8+4=27) e 27 é divisível por 9 5641 não é divisível por 9, temos (5+6+4+1=16) e 16 não é divisível por 9

Divisibilidade por 10 Um número natural será divisível por 10 quando terminar em zero ( 0 ). Exemplos: 4580 é divisível por 10 74560 é divisível por 10 98704 não é divisível por 10

Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente. Exemplos: 1) 57948     Si (soma das ordens ímpares) = 8+9+5 = 22     Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11     Si-Sp = 22-11 = 11     Como 11 é divisível por 11, então o número 57948 é divisível por 11. 2) 439087     Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10     Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21     Si-Sp = 10-21     Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.     Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. 

Múltiplo de um número  Consideremos a e b dois números Naturais, sendo b diferente de zero. Podemos dizer que um número natural a é múltiplo de um número natural b, quando a for divisível por b ou b for divisor de a. Exemplo: O número 120 é múltiplo de 30, pois 120 é divisível por 30.

Atividade de revisão Dividendo Divisor Quociente Resto 458 12 38 ? Complete a tabela abaixo, usando os conhecimentos adquiridos nesta aula. Dividendo Divisor Quociente Resto 458 12 38 ? 1250 125 35 20 15