Maria Augusta Constante Puget (Magu) Mecânica – Aula 2 Maria Augusta Constante Puget (Magu)

Exemplo de MUV (1) O exemplo mais familiar de um movimento com aceleração constante é a queda livre de um corpo atraído pela força gravitacional da Terra. Quando a distância percorrida na queda livre é pequena em comparação com o raio da Terra, a aceleração é constante. Quando os efeitos de resistência do ar podem ser desprezados, todos os corpos em um dado local caem com a mesma aceleração, independentemente de suas formas e de seus respectivos pesos (*).

Origem da aceleração da gravidade (1) Lei da Gravitação Universal de Newton Dois corpos de massas m1 e m2, a uma distância r entre si, se atraem mutuamente com uma força que é proporcional à massa de cada um deles e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. Matematicamente, essa lei pode ser escrita como:

Origem da aceleração da gravidade (2) onde: F1 (F2) é a força, sentida pelo corpo 1 (2) devido ao corpo 2 (1), expressa em newtons. G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2 é a constante gravitacional universal. m1 e m2 são as massas dos corpos que se atraem entre si, expressas em quilogramas. r é a distância entre os dois corpos, expressa em metros.

Origem da aceleração da gravidade (3) Denotando por M a massa da Terra e m a massa de um corpo que esteja próximo a sua superfície, temos então que a força gravitacional exercida pela Terra sobre o corpo pode ser escrita como: sendo R a distância do corpo ao centro da Terra. Denotando: podemos reescrever esta equação como: F = m gsuperfície

Origem da aceleração da gravidade (4) Considerando os valores: M = 5,972 x1024 kg (Massa da Terra) R = 6 371 km = 6,371 x 106 m (Raio médio da Terra) G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2 resulta: gsuperfície= (6,67x10-11)(5,972 x1024)/(6,371 x 106)2 gsuperfície  9,8 m/s2

Queda Livre e Lançamento Vertical (1) Assim, a aceleração constante de um corpo em queda livre denomina-se aceleração da gravidade e seu módulo é designado por g. Conforme deduzimos, próximo à superfície terrestre, o valor de g é aproximadamente igual a 9,8 m/s2. Os movimentos de lançamento vertical e queda livre são, portanto, exemplos de MUV.

Queda Livre e Lançamento Vertical (2) As equações do MUV são: v = v0 + at (1) s = s0 + v0t + at2/2 (2) Para descrever tais movimentos, costuma-se adotar um sistema de referência orientado debaixo para cima e com origem no ponto de lançamento. Como a aceleração da gravidade atua no sentido contrário ao da orientação deste sistema, temos que: a = -g. Normalmente, toma-se a origem no ponto de lançamento, de forma que s0 = 0. Substituindo nas equações (1) e (2), temos: v = v0 – gt s = v0t - gt2/2

Queda Livre e Lançamento Vertical (3) Esse tipo de movimento apresenta as seguintes propriedades: A velocidade do corpo no ponto mais alto da trajetória (altura máxima) é zero, instantaneamente. Este é o ponto de inversão do movimento. O tempo gasto na subida é igual ao da descida. A velocidade, num dado ponto da trajetória, tem os mesmos valores em módulo, na subida e na descida.

Queda Livre e Lançamento Vertical (4) Tempo de Subida (ts) Fazendo v = 0 na equação: v = v0 – gt obtém-se o tempo necessário para se atingir a altura máxima: 𝑡 𝑠 = 𝑣 0 𝑔 Tempo de Queda (tq) Fazendo s = 0 na equação s = v0t - gt2/2, obtemos o tempo total do movimento t. Temos: v0t - gt2/2 = 0 t(v0-gt/2) = 0 Esta equação tem duas soluções: t = 0 e 𝑡= 2 𝑣 0 𝑔 Como o tempo total do movimento t é a soma do tempo de subida (ts) com o tempo de queda (tq), temos: t = ts + tq logo: 𝑡 𝑞 = 2 𝑣 0 𝑔 - 𝑣 0 𝑔 𝑡 𝑞 = 𝑣 0 𝑔

Queda Livre e Lançamento Vertical (5) Altura Máxima (hMax) Substituindo-se na equação s = v0t - gt2/2, a expressão de ts= v0/g, obtém-se:

Queda Livre - Exemplo(1) Um corpo é lançado verticalmente para cima, a partir do solo, com uma velocidade inicial de 40 m/s. Desprezando-se a resistência do ar e adotando-se g = 10 m/s2, determinar: A altura máxima atingida; O tempo gasto na subida; A duração do movimento; Quanto tempo após o lançamento estará a 60 m do solo; Sua velocidade ao passar por esse ponto; Sua velocidade ao retornar ao chão; Os gráficos de x = f(t) e v = f(t).

Princípio da Independência dos Movimentos Simultâneos (1) Estudando os problemas relativos a movimentos compostos, isto é, resultante da decomposição de dois ou mais movimentos, Galileu propôs o Princípio da Simultaneidade: Se um corpo apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo.

Lançamento Horizontal (no vácuo) (1) Quando um corpo é lançado horizontalmente no vácuo, nas proximidades da superfície terrestre, ele descreve, em relação à Terra, uma trajetória que corresponde a um arco de parábola. A trajetória do objeto abandonado a partir do helicóptero será vista, por um observador que esteja fixo ao solo, conforme o que está indicado na figura.

Lançamento Horizontal (no vácuo) (2) Este arco de parábola pode ser considerado, de acordo com o Princípio da Simultaneidade, como o resultado da composição de dois movimentos simultâneos e independentes: Queda livre: Movimento na vertical, sob a ação exclusiva da gravidade. Trata-se de um MUV, pois a aceleração se mantém constante (aceleração da gravidade). Movimento horizontal: É um MU, pois não há nenhuma aceleração na direção horizontal. O corpo mantém a velocidade 𝑣 0 com que foi lançado.

Lançamento Horizontal (no vácuo) (3) Em cada ponto da trajetória, a velocidade resultante 𝑣 do corpo, cuja direção é tangente à trajetória, é dada pela soma vetorial da velocidade horizontal 𝑣 0 , que permanece constante, com a velocidade vertical 𝑣 𝑦 cujo módulo varia, pois a aceleração da gravidade tem direção vertical: 𝑣 = 𝑣 0 + 𝑣 𝑦

Lançamento Oblíquo (no vácuo) (1) No lançamento oblíquo, o vetor velocidade inicial da partícula tem uma componente horizontal e uma componente vertical. O movimento pode ser decomposto em: Um movimento horizontal com velocidade constante. Um movimento vertical com aceleração constante.

Lançamento Oblíquo (no vácuo) (2)

Lançamento Oblíquo (no vácuo) (3) Considerando que em t = 0, o projétil esteja na posição (x0, y0), com velocidade inicial (v0x, v0y) e que as componentes de sua aceleração são ax = 0 e ay = -g, então temos as seguintes equações: Movimento na Direção x Movimento na Direção y vx = v0x x = x0 + v0xt vy = v0y - gt y = y0 + v0yt – gt2/2

Lançamento Oblíquo (no vácuo) (4) Considerando que o ângulo que a velocidade v0 faz com a direção horizontal seja 0, conforme figura ao lado: y x v0y v0x 0 𝒗 𝟎 Podemos escrever: v0x = v0 cos 0 v0y = v0 sen 0 Considerando ainda: x0 = 0 y0 = 0 Movimento na Direção x Movimento na Direção y vx = v0 cos 0 x = (v0 cos 0)t vy = v0 sen 0 - gt y = (v0 sen 0)t – gt2/2

Lançamento Oblíquo (no vácuo) (5) Dadas as equações do movimento, queremos determinar: A altura máxima atingida pelo projétil (hmax). A que distância do ponto de lançamento ele atinge o solo (A). Movimento na Direção x Movimento na Direção y vx = v0 cos 0 x = (v0 cos 0)t vy = v0 sen 0 - gt y = (v0 sen 0)t – gt2/2

Lançamento Oblíquo (no vácuo) (6) Para determinar a altura máxima, basta notar que quando o projétil atinge a altura máxima, a componente y da sua velocidade tem que se anular. Na equação de vy, faz-se então vy = 0, e obtém-se o instante tm para o qual isto ocorre: 0 = v0 sen 0 – gtM t M = v 0 sen α 0 g Substituindo este resultado na equação de y: y = (v0 sen 0)t – gt2/2 h max = v 0 sen α 0 v 0 sen α 0 g − g 2 v 0 sen α 0 g 2

Lançamento Oblíquo (no vácuo) (7) obtém-se: h max = v 0 2 𝑠𝑒𝑛 2 α 0 2g

Lançamento Oblíquo (no vácuo) (8) Para determinar o alcance A, basta notar que quando o projétil atinge o solo sua altura é zero. Substituindo esta condição na equação y(t): y = (v0 sen 0)t – gt2/2 temos: (v0 sen 0)t – gt2/2 = 0 que é uma equação de segundo grau em t, que possui duas raízes: t0 = 0 e t A = 2 v 0 sen α 0 g

Lançamento Oblíquo (no vácuo) (9) Interpretando os resultados: t0 = 0 e t A = 2 v 0 sen α 0 g A primeira raiz nos fornece o instante em que o projétil foi lançado, quando a altura também era zero. A segunda nos fornece o instante em que o projétil chegou ao solo. Note-se que tA = 2tm , o que significa que a partícula leva um tempo tm para chegar ao ponto mais alto da trajetória e o mesmo tempo tm para descer.

Lançamento Oblíquo (no vácuo) (10) Substituindo t A = 2 v 0 sen α 0 g na equação de x(t), encontramos o quanto a partícula percorreu na direção horizontal, isto é, o seu alcance A: x = (v0 cos 0)t A = (v0 cos 0) 2 v 0 sen α 0 g 𝐴= v 0 2 sen (2 α 0 ) g A partir da expressão acima, conclui-se que o alcance é máximo quando 0= 45º(ou π/4), porque 20= π/2 e sen(π/2)= 1, que é o valor máximo da função seno. Assim, para 0 = 45º, temos que o alcance máximo é: 𝐴= v 0 2 g