FUNÇÃO EXPONENCIAL

Função exponencial Microbiologia. Em condições ideais o número de bactérias de uma colônia dobra sempre no mesmo período de tempo. A colônia gerada mantém as mesmas características da original e também duplica em número no mesmo período de tempo. Sabendo que determinada colônia, iniciada por uma única bactéria, dobra a cada 20 minutos, quantas bactérias existirão depois de 2 horas e 40 minutos?

Quantidade de períodos de 20 min Esquematizando a situação, temos: Quantidade de períodos de 20 min Tempo Número de bactérias 0 min 20 = 1 20 min 1 21 = 2 40 min 2 22 = 4 Logo, após 2 horas e 40 minutos, haverá 256 bactérias. Após x períodos de 20 minutos, o número de bactérias será dado por 2x. 60 min 3 23 = 8 . . . 2h40 min 8 28 = 256 20x min x 2x

Definição de função exponencial Uma função f: ℝ  ℝ é chamada de função exponencial de base a quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = ax, para todo x  ℝ. Exemplos a) b) c) Observação Além da função exponencial, existem funções que podem ser obtidas a partir dela. Por exemplo: f(x) = 32x + 1 g(x) = 5 ∙ 4x h(x) = 2x – 1 

Gráfico da função exponencial f(x) = 2x x f(x) –2 –1 1 1 2 D(f) = 2 4 Im(f) = 3 8

Gráfico da função exponencial g(x) = x g(x) –3 8 –2 4 –1 2 1 1 D(f) = Im(f) = 2

Características da função exponencial Para qualquer função exponencial f(x) = ax, temos: Domínio: D(f) = Imagem: Im(f) = O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto (0, 1) e não cruza nem encosta no eixo x.

Função crescente (a > 1) Crescimento e decrescimento da função exponencial Função crescente (a > 1) Função decrescente (0 < a < 1) x2 > x1  f(x2) > f(x1) x2 > x1  f(x2) < f(x1) 

Exercício resolvido R1. Observe o gráfico da função f dada por f(x) = a ∙ 3–x + b e determine os valores de a e b. Resolução Os pontos (–1, 1) e (0, –1) pertencem ao gráfico de f. Para x = –1, temos: f(–1) = 1 Então: 1 = a ∙ 3–(–1) + b  1 = a ∙ 3 + b (I) Para x = 0, temos: f(0) = –1 Então: –1 = a ∙ 3–(0) + b  –1 = a ∙ 1 + b (II) Resolvendo o sistema formado por (I) e (II), obtemos a = 1 e b = –2 Portanto, f(x) = 3–x – 2, ou seja: f(x) =

Equação exponencial Toda equação que tem a incógnita no expoente é chamada de equação exponencial. Exemplos a) c) d) b)

Resolução de equações exponenciais Algumas equações exponenciais podem ser resolvidas escrevendo-se ambos os membros da igualdade como potências de mesma base a (com a > 0 e a ≠ 1) e aplicando-se a propriedade:

Resolução de equações exponenciais Exemplos Vamos resolver a equação exponencial . Para isso seguimos alguns passos:  1o) Escrevemos ambos os membros da igualdade como potências de mesma base:  2o) Aplicamos a propriedade: Portanto: S =

Resolução de equações exponenciais Exemplos b) Vamos resolver a equação exponencial (2x)x + 1 = 64.  (2x)x + 1 = 64  2x2 + x = 26 Logo: x2 + x = 6  x2 + x – 6 = 0   x = 2 ou x = –3 Portanto: S =

Resolução de equações usando artifícios Exemplos a) Vamos resolver a equação 4x + 4 ∙ 2x = 5. 1o) Usando as propriedades da potenciação, fazemos uma transformação na equação para identificar um termo comum:  4x + 4 ∙ 2x = 5  (22)x + 4 ∙ 2x – 5 = 0  (2x)2 + 4 ∙ 2x – 5 = 0 2o) Consideramos 2x = y e resolvemos a equação obtida: y2 + 4y – 5 = 0  y = 1 ou y = –5 3o) Substituímos em 2x = y os valores encontrados: 2x = 1  2x = 20  x = 0 ou 2x = –5 (não existe x real tal que 2x = –5) Logo, o único valor de x que satisfaz a equação 4x + 4 ∙ 2x = 5 é x = 0; portanto: S = {0} 

Resolução de equações usando artifícios Exemplos b) Agora, vamos resolver a equação exponencial 32x + 4 ∙ 3x – 3x + 1 = 0. 1o) Usando as propriedades da potenciação, temos: 32x + 4 ∙ 3x – 3x + 1 = 0  (3x)2 + 4 ∙ 3x – 3 ∙ 3x = 0 2o) Consideramos 3x = y: y2 + 4y – 3y = 0  y2 + y = 0  y = 0 ou y = –1 3o) Substituímos em 3x = y os valores encontrados: 3x = 0  ou 3x = –1 (como 3x é sempre positivo, não existe x real que satisfaça tais equações); portanto: S =  

Sistema de equações exponenciais Exemplo Vamos calcular x e y no sistema de equações: 1o) Desenvolvemos cada uma das equações: (I) 2x ∙ 4y =  2x ∙ (22)y = 2–1  2x + 2y = 2–1  x + 2y = –1 (II) 7x + y = 1  7x + y = 70  x + y = 0 2o) Consideramos, então, o sistema formado por (I) e (II): 3o) Como (I) e (II) são equações que decorrem das equações iniciais, a solução desse sistema é solução do sistema original. Portanto, a solução do sistema é: S = {(1, –1)}

Exercício resolvido 1. Determine o ponto de intersecção dos gráficos das funções e Resolução Para que os gráficos tenham um ponto em comum, deve existir um valor de x de modo que as imagens desse valor pelas duas funções coincidam, ou seja, f(x) = g(x). Assim:  2–x – 1 = 22x + 2  –x – 1 = 2x + 2  Logo, para x = –1, temos:   3x = –3  x = –1. Portanto, o ponto de intersecção dos gráficos das funções f e g é (–1, 1).

Inequação exponencial Toda inequação que tem a incógnita no expoente é chamada de inequação exponencial. Exemplos a) 3𝑥 < 27 c) b) 2–3𝑥 ≥ 5 d)

Resolução de inequações exponenciais Exemplos a) Vamos resolver a inequação exponencial 5x + 12 < 25 1o) Escrevemos ambos os membros da inequação como potências de mesma base: 5x + 12 < 25  5x + 12 < 52 2o) Como a base é maior que 1, a relação de desigualdade entre as potências se mantém entre os expoentes: 5x + 12 < 52  x + 12 < 2  x < –10 Portanto: S =

Resolução de inequações exponenciais Exemplos b) Agora, vamos determinar o conjunto solução da inequação Portanto: S = Note que, utilizando propriedades das potências, poderíamos também trabalhar com uma inequação com base maior que 1:

Exercício resolvido 2. Resolva a inequação . Resolução Resolvendo a equação do 2o grau –x2 + 5x – 6 = 0, obtemos x = 2 ou x = 3 Então, para –x2 + 5x – 6  0, temos o intervalo ao lado: Portanto: S =

Exercício resolvido 3. Determinar o conjunto solução da inequação 2x < 23 < 22x . Resolução Quando a inequação tem mais de uma desigualdade, analisamos cada uma separadamente: 2x < 23  x < 3 23 < 22x  3 < 2x  x > (I) (II) As duas desigualdades devem ser simultaneamente satisfeitas: e . Portanto: S =