BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ENGF97 - CONTROLE E SISTEMAS NÃO LINEARES ADRIANO SILVA MARTINS BRANDÃO, SUBSTITUTO

BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO Diagrama de fases do atrator de Lorentz Fonte: https://jmth21202f08.wordpress.com/my-second-problem/ Conteúdo Noção de estabilidade estrutural; Conceito de bifurcações e diagrama de bifurcação; Bifurcações de codimensão um: Bifurcação sela-nó; Bifurcação transcrítica; Bifurcação forquilha; 14/05/2015 BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO

Noção de estabilidade estrutural “Seja o fluxo 𝑑 𝑥 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑢 ( 𝑥 ), que depende dos parâmetros 𝜇 = 𝜇 1 , 𝜇 2 ,…, 𝜇 𝑘 . Para valores fixos dos parâmetros 𝜇 = 𝜇 0 , o fluxo 𝑑 𝑥 𝑑𝑡 = 𝑓 𝜇 0 ( 𝑥 ) é estruturalmente estável se há 𝜀>0 tal que 𝑑 𝑥 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑢 ( 𝑥 ) é topologicamente equivalente a 𝑑 𝑥 𝑑𝑡 = 𝑓 𝜇 0 ( 𝑥 ), para todos os valores de 𝜇 , tais que 𝜇 − 𝜇 0 <𝜀.” ? Fonte: Monteiro 14/05/2015 BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO

Noção de estabilidade estrutural Em outras palavras, um sistema é estruturalmente instável onde ocorre uma mudança qualitativa no retrato de fases, com a variação de um parâmetro deste sistema. Exemplo 1: Mudanças no 𝜶 alteram o retrato de fases 𝒅𝒚(𝒕) 𝒅𝒕 =−𝒚(𝒕) 𝒅𝒙(𝒕) 𝒅𝒕 =𝜶− 𝒙 𝟐 (𝒕) Falar, no final do exemplo, que o alfa altera a estabilidade e, portanto, o retrato de fases. 𝜶 é um parâmetro (não varia no tempo) Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Saddle-node_bifurcation 14/05/2015 BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO

Conceito de bifurcação A mudança topológica no diagrama de fases, causada pela variação de um ou mais parâmetros do sistema, é chamada de bifurcação; Os valores de parâmetros nos quais ocorrem as mudanças no plano de fase são chamados de pontos críticos, ou pontos de bifurcação. Exemplo 1: A bifurcação deste sistema ocorre em 𝜶=𝟎, portanto, o sistema é estruturalmente instável neste ponto 14/05/2015 BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO

Diagrama de bifurcação É o gráfico dos pontos de equilíbrio x valores do parâmetro. Exemplo 1: 𝒅𝒙(𝒕) 𝒅𝒕 =𝜶− 𝒙 𝟐 𝒕 =𝟎 𝒙 =∓ 𝜶 𝝀 𝟏 =−𝟏 𝝀 𝟐 =−𝟐 𝜶 Autovalores negativos (nó, estável) Calcular aqui!!! Autovalores com sinais diferentes (sela, instável) 14/05/2015 BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO

Codimensão da bifurcação É o número de parâmetros a serem variados para produzir as bifurcações; Estudaremos apenas bifurcações de codimensão um: Bifurcação sela-nó; Bifurcação transcrítica; Bifurcação forquilha. 14/05/2015 BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO

BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO Bifurcação sela-nó Também conhecida como bifurcação tangente ou bifurcação de dobra; Ocorre quando dois pontos de equilíbrio colidem e se anulam; Exemplo 1: 𝒅𝒚(𝒕) 𝒅𝒕 =−𝒚(𝒕) 𝒅𝒙(𝒕) 𝒅𝒕 =𝜶− 𝒙 𝟐 (𝒕) Autovalores negativos (nó, estável) Autovalores com sinais diferentes (sela, instável) Plano de fases Diagrama de bifurcação 14/05/2015 BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO

BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO Bifurcação sela-nó Exemplo 2: 𝒅𝒙(𝒕) 𝒅𝒕 =𝟏+𝒓.𝒙 𝒕 + 𝒙 𝟐 (𝒕) 𝒙 = −𝒓∓ 𝒓 𝟐 −𝟒 𝟐 𝝀=∓ 𝒓 𝟐 −𝟒 Fonte do exemplo: http://texas.math.ttu.edu/~gilliam/s06/m4330/4330_ds_2.pdf 14/05/2015 BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO

Bifurcação transcrítica Na bifurcação transcrítica, existe sempre um ponto de equilíbrio fixo, para todos os valores do parâmetro variado (este ponto nunca é destruído). A estabilidade deste ponto fixo muda, com a variação do parâmetro. Exemplo 3: Ponto fixo, que têm a estabilidade alterada 𝒅𝒙(𝒕) 𝒅𝒕 =𝒓.𝒙 𝒕 − 𝒙 𝟐 (𝒕) 𝒙 =𝟎 ou 𝒙 =r P/ 𝒙 =𝟎 , 𝝀=𝒓 P/ 𝒙 =𝒓 , 𝝀=−𝒓 Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Transcritical_bifurcation 14/05/2015 BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO

Bifurcação forquilha Definição formal: Uma EDO 𝑥 =𝑓(𝑥,𝑟), descrita pela função, de um parâmetro, 𝑓(𝑥,𝑟) com 𝑟∈ℝ, satisfazendo: −𝑓 𝑥,𝑟 =𝑓(−𝑥,𝑟) (f é uma função ímpar); 𝜕𝑓 𝜕𝑥 0, 𝑟 0 =0, 𝜕 2 𝑓 𝜕 𝑥 2 0, 𝑟 0 =0, 𝜕 3 𝑓 𝜕 𝑥 3 0, 𝑟 0 ≠0 𝜕𝑓 𝜕𝑟 0, 𝑟 0 =0, 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑟𝜕𝑥 0, 𝑟 0 ≠0 Têm uma bifurcação forquilha em 𝑥,𝑟 = 0, 𝑟 0 . A forma da forquilha é dada pelo sinal da terceira derivada: 𝜕 3 𝑓 𝜕 𝑥 3 0, 𝑟 0 <0, 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 >0, 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation 14/05/2015 BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO

BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO Bifurcação forquilha Caso supercrítico Caso subcrítico Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation 14/05/2015 BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO

BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO Bifurcação forquilha Exemplo 4 (supercrítico): Exemplo 5 (subcrítico): 𝒅𝒙(𝒕) 𝒅𝒕 =𝒓.𝒙 𝒕 − 𝒙 𝟑 (𝒕) 𝒅𝒙(𝒕) 𝒅𝒕 =𝒓.𝒙 𝒕 + 𝒙 𝟑 (𝒕) 𝒙 =𝟎 ou 𝒙 =∓ 𝒓 P/ 𝒙 =𝟎 , 𝝀=𝒓 P/ 𝒙 =∓ 𝒓 , 𝝀=−𝟐𝒓 𝒙 =𝟎 ou 𝒙 =∓ −𝒓 P/ 𝒙 =𝟎 , 𝝀=𝒓 P/ 𝒙 =∓ −𝒓 , 𝝀=−𝟒𝒓 14/05/2015 BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO Fonte do exemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Pitchfork_bifurcation

Obrigado pela atenção  FIM Obrigado pela atenção 

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BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO Estabilidade Caso lambda = 0 inconclusivo, pois os termos de segunda ordem da série de taylor dominam a estabilidade Fonte: ftp://ftp.dca.fee.unicamp.br/pub/docs/vonzuben/ea619_1s09/topico6_03.pdf 14/05/2015 BIFURCAÇÕES EM SISTEMAS DE TEMPO CONTÍNUO