Densidade e Massa, Momentos e Centro de Massa e Momento de Inércia Aula 22 Densidade e Massa, Momentos e Centro de Massa e Momento de Inércia
Aplicações: Densidade e Massa
Aplicações: Momentos e Centro de Massa
Massa total da lâmina
Integral Dupla sobre o Retângulo Outro tipo de densidade Exemplo 4 Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região e a densidade de carga (em unidades de carga por unidades de área) é dada por em um ponto então a carga total é dada por
Integral Dupla sobre o Retângulo Exemplo 1 Exemplo 4 Exemplo 4 Uma carga está distribuída sobre uma região da figura de modo que a densidade de carga em seja medida em coulombs por metro quadrado Determine a carga total.
Exemplo 1
Exemplo 1
Momentos e Centro de Massa
Momentos Momento em torno do eixo
Centro de Massa As coordenadas do centro de massa de uma lâmina são dadas por onde (massa) e é a função densidade.
Exemplo 2 Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices se a função densidade é
Exemplo 2
Exemplo 2
Exemplo 2
Exemplo 2
Exemplo 3 A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é proporcional à distância do centro do círculo. Determine o centro de massa da lâmina.
Exemplo 3
Exemplo 3 Função densidade onde é uma constante. Conversão para coordenadas polares e a região é dada por
Exemplo 3
Exemplo 3 (pois tanto a lâmina como a função densidade são simétricas com relação ao eixo ).
Momento de Inércia O momento de inércia (segundo momento) de uma partícula de massa em torno de um eixo é definido como onde é a distância da partícula ao eixo.
Momento de Inércia Momento de inércia da lâmina em torno do eixo
Momento de Inércia Momento de inércia em torno da origem, também chamado momento polar.
Exemplo 4 Determine os momento de inércia do disco homogêneo com densidade centro na origem e raio Note que a fronteira de é o círculo que em coordenadas polares é descrito como
Exemplo 4
Exemplo 4 e (da simetria do problema) Portanto
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