Geometria com Origami Nesta oficina o nosso objetivo é estudar a matemática sob a perspectiva da modelagem, usando para tal a arte de dobrar papel – O Origami. Com o Origami é possível confeccionar modelos os mais diversos: geométricos, figurativos, artísticos, etc. A nossa proposta é de utilizar este recurso das dobraduras para confeccionar as formas geométricas que são necessárias na construção de alguns jogos apresentados no projeto, como o Jogo da Velha. Pretendemos apresentar uma nova opção de construção de algumas figuras geométricas sem uso dos tradicionais instrumentos de desenho e articular o processo de construção com os conteúdos. Buscando assim, articular o processo de resolução de um problema concreto, isto é, como chegar a uma determinada figura geométrica, partindo de uma folha de papel no formato de um quadrado, interpretando os significados das dobras. Com as variáveis envolvida, como: forma, formato de papel, dimensão, entre outros, vamos explorar a aplicabilidade da matemática, relacionando o mundo real com o campo das abstrações matemáticas. 1

Princípios do Origami Formato de papel Convenções e Normas Formas Básicas Regras Tendo ultrapassado as fronteiras do oriente, hoje o Origami é paraticado em todo os continentes. Essa globalização, naturalmente, resultou numa grande diversificação de modelos e usos. Dentre os formatos de papel, o mais utilizado é o quadrado na dimensão de 15 x 15 cm. No sentido de facilitar a reprodução dos modelos, algumas convenções e normas são respeitadas, tais como: símbolos utilizados para representar determinado tipo de dobra e sua respectiva posição. Possibilitando ao Origamista executar um modelo, interpretando so diagrams apresentados, sem ser necessário nenhuma informação adicional. Por mais que os modelos sejam diferentes, algumas dobras iniciais são as mesmas para diferentes modelos. Essas dobras que se repetem, constituem a Formas Básicas. Sendo necessário, a todo iniciante dessa arte de dobrar papel conhecer para melhor entender a leitura dos diagrams, pois muitos deles já mostram os passos das dobras de um determinado modelo a partir de uma dada Forma Básica. Uma condição fundamental na prática do Origami é respeitar algumas regras, como posicionar o papel a ser dobrado na mesma situação em que o diagrama mostra, ter o máximo cuidado na precisão de cada dobra, procurando sempre fazer os vincos na posição indicada e, principalmente, se concentrar no modelo a ser construído, com calma e tranquilidade. 2

Recurso Didático Concentração Orientação Disciplina Promove a Socialização Característica Interdisciplinar Estimula a Criatividade Desenvolve a Visualização Espacial e a Coordenação Motora Evidencia Propriedades Geométricas Material de fácil uso e baixo custo ... Como Recurso Didático, O Origami apresenta grande benefícios. Pois permite não só a confecção de modelos que são o objeto de estudo, como, também, desenvolve habilidades e situações propícias para o desenvolvimento cognitivo. Confeccionar um modelo com dobradura, naturalmente promove: a concentração o sentido de orientação a necessidade de disciplina a socialização pode ser aplicados para diferentes fins, podendo ser utilizado como um recurso interdisciplinar estimula a criatividade em função dos resultados obtidos através do material empregado na confecção do modelo e das possibilidades de uso desenvolve a visualização espacial na transformação de uma situação plana para outra ao se fazer determinada dobra e, também, aprimora a coordenação motora no processo de execução das diversas dobras na matemática, é muito útil para evidenciar propriedades geométricas, pois facilmente são construídos modelos concretos que ilustram determinadas propriedades ou através dos passos das dobras, que necessitam atender a condições específicas é um recurso que não exige grande habilidades para a confecção dos modelos, podendo ser executado por crianças e adultos e a um custo baixo, pois pode ser utilizado papel comum ou reciclado 3

Onde está a Geometria? Nos modelos No conjunto de dobras que permite obter um modelo Nas estruturas formadas pelos vincos das dobras Nas representações concretas das propriedades geométricas ... A geometria subjacente ao Origami pode ser constatada sob diferentes ângulos: na confecção formas geométricas bi ou tridimensionais nos passos das dobras, que devem obedecer a determinados parâmetros para resultar no modelo que se quer nas relações entre as diversas dobraduras feitas para um determinado modelo, que resulta numa estrutura ou malha com propriedades específicas na exploração ou constatação de algumas propriedades nas figuras geométricas , como o exemplo ilustrado da implicação do baricentro de um triângulo no uso de propriedades geométricas para atingir a um objetivo, como a solução adotada para fechar uma embalagem etc. 4

Axiomas de Huzita As construções com régua/compasso permitem os seguintes procedimentos, considerando-se que a régua não seja graduada: - traçado de uma reta conhecendo dois de seus pontos; - traçado de um círculo de centro e raio conhecido; - determinação das interseções entre retas ou círculos conhecidos. O matemático Humiaki Huzita formulou os seguintes axiomas para as dobras possíveis: Dados dois pontos, é possível fazer uma dobra que passe por eles. Dados dois pontos é possível fazer uma dobra que sobreponha um sobre o outro. Dadas duas retas, é possível fazer uma dobra que sobreponha uma sobre a outra. Dados um ponto e uma linha, é possível fazer uma dobra perpendicular à linha passando pelo ponto. Dados dois pontos e uma linha, é possível fazer uma dobra passando por um dos pontos e deixando o outro ponto sobre a linha dada (corresponde a tangente a uma parábola). Dados dois pontos e duas linhas, é possível fazer uma dobra que coloque cada ponto em cima de uma das linhas (corresponde a tangente à duas parábolas). Com esses axiomas, Hull mostra que as dobras mais abaixo equivalem, respectivamente, ao traçado de tangentes a uma parábola que tem como foco e diretriz o ponto e linha dados e a obtenção da tangente comum a duas parábolas, com focos e diretrizes correspondendo aos pontos e linhas dados. Esses dois últimos axiomas permitem a solução de alguns problemas impossíveis de serem resolvidos com as ferramentas euclidianas, ou seja, tri-seccionar um ângulo genérico e duplicar o volume de um cubo, pois equivalem a resolver problemas de equações cúbicas. Assim, temos com esse recurso novas possibilidades e facilidades para construção de alguns modelos. 5

Traçados geométricos Fundamentais com Dobraduras Podemos também fazer alguns paralelos entre as dobraduras e alguns traçados fundamentais com os instrumentos de desenho. Como o a da mediatriz, pela dobradura que divide ao meio o lado do quadrado. No estabelecimento de pertinência ou equidistância. Na obtenção de bissetrizes de ângulos. Na equidistância pelo paralelismo. Etc. 6

Convenções Aqui são apresentadas algumas convenções mais utilizadas nos diagramas. A representação para a situação em que se deseja apenas fazer uma marca de dobra, a dobra do tipo côncava, que é a dobra vale, representada por uma linha tracejada. A convexa, que é representada pela dobra montanha, identificada por uma linha pontilhada ou por uma linha do tipo ponto-traço-ponto e o indicativo de girar o papel em relação ao plano por meio do desenho de uma seta com uma linha que sugere uma rotação. Em vez de ilustrar com diagramas os diversos passos das dobras, alguns autores preferem fazer uma mixagem com fotografias e grafismo, como é ilustrado à direita do slide. Esse tipo de representação procura facilitar a leitura dos passos das dobras ao apresentar imagens semelhantes ao observada pelo executor na ocasião em que está fazendo a dobra, inclusive, mostrando, por meio da cor, a relação entre o direito e o avesso do papel. 7

Formas Básicas Neste slide temos as formas básicas, que são comuns a diversos modelos, com papel de formato quadrado. 8

Símbolo do Origami Tsuru 9 O Tsuru é um modelo símbolo do Origami. Tem todo um significado místico. Este modelo é obtido a partir de um formato de papel quadrado. Na sequência dos diagramas apresentados, a primeira dobra já parte de uma situação em que o papel teve algumas dobras anteriores. O que ocorre é que essa dobra faz parte do elenco das dobras básicas, por isso é importante conhecê-las para acompanhar melhor os diagramas apresentados por alguns autores. 9

10 Vamos ver agora alguns modelos. Neste caso temos exemplos que exploram a tridimensionalidade, aplicando cortes e giros de dobras. Os desenhos abaixo ilustram diversos móbiles, com efeitos plásticos interessantes. Outra coisa a se chamar atenção é referente às condições impostas aos cortes, que exploram diferentes transformações e simetrias. 10

Explorando dobras e grafismos, podem surgir modelos curiosos e alegres. 11