Tecnologias - Matemática Equações da circunferência Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 3ª Ano Geometria analítica: Equações da circunferência

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência INTRODUÇÃO Neste tópico, estudaremos as equações da circunferência no plano cartesiano. Antes, porém, é importante compreender alguns conceitos de Geometria Plana ou Euclidiana, que veremos a seguir.

CIRCUNFERÊNCIA Circunferência Centro (C) MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência CIRCUNFERÊNCIA REVISANDO Corda: distância (segmento) entre dois pontos da circunferência. Raio (r): distância do centro a qualquer ponto da circunferência. Diâmetro = 2r. O diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Circunferência Centro (C)

DIFERENÇA ENTRE CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência DIFERENÇA ENTRE CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA REVISANDO Área do círculo Ac = r² Circunferência não tem área. Ex.: anel. Círculo Ex.: moeda. Comprimento da circunferência (C = 2r)

EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA: EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA: EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência Considere no plano cartesiano uma circunferência de centro C (a, b), raio r e um ponto qualquer da circunferência P(x, y), como mostra a figura a seguir: y Note que, ao localizar o ponto P(x, y) e o centro C(a, b), formamos um triângulo retângulo. y P(x, y) r b C(a, b) O raio (r) da circunferência é a hipotenusa desse triângulo retângulo. a x x

REVENDO O TEOREMA DE PITÁGORAS MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência REVENDO O TEOREMA DE PITÁGORAS Hipotenusa “a”. É o maior lado do triângulo retângulo. Cateto “c”. a c b Cateto “b”. Teorema de Pitágoras: a² = b² + c² REVISANDO

Pelo Teorema de Pitágoras, temos: MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência Na circunferência, temos o triângulo retângulo de raio r, cateto (x – a) e cateto (y – b). Dessa forma, ao aplicarmos o Teorema de Pitágoras, encontramos a equação reduzida da circunferência. Pelo Teorema de Pitágoras, temos: r (x – a)² + (y – b)² = r² (y – b) Equação reduzida da circunferência. (x – a)

RESOLVA AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência RESOLVA AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. S1) Considerando a equação da circunferência (x - 2)² + (y + 5)² = 16, determine o centro e o raio dessa circunferência.

Essa circunferência possui C(2, -5) e r = 4. MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência SOLUÇÃO Vamos comparar a equação reduzida da circunferência com a equação da situação proposta. - a = -2 . (-1) a = 2 (x – a)² + (y – b)² = r² - b = +5 . (-1) b = -5 (x – 2)² + (y + 5)² = 16 r² = 16 r = 4 Conclusão Essa circunferência possui C(2, -5) e r = 4.

RESOLVA AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência RESOLVA AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. S2) Escreva a equação reduzida da circunferência que tem centro C(-3, 6) e raio r = 5.

A equação reduzida da circunferência é (x + 3)² + (y – 6)² = 25. MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência SOLUÇÃO A equação reduzida da circunferência é da forma (x – a)² + (y – b)² = r². Como o centro é C(-3, 6) e o raio é r = 5, vamos substituir os valores do centro e do raio nessa equação. (x – a)² + (y – b)² = r² (x – (-3))² + (y – 6)² = 5² (x + 3)² + (y – 6)² = 25 Conclusão A equação reduzida da circunferência é (x + 3)² + (y – 6)² = 25.

EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA: EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA: EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA

(a – b)² = a² - 2ab + b² (a + b)² = a² + 2ab + b² MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência Antes de determinarmos a equação geral da circunferência, vamos relembrar a regra dos produtos notáveis: o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois termos. (a – b)² = a² - 2ab + b² (a + b)² = a² + 2ab + b² Quadrado da diferença de dois termos. Quadrado da soma de dois termos. REVISANDO

EXEMPLO: Calcule os produtos notáveis a seguir. MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EXEMPLO: Calcule os produtos notáveis a seguir. a) (a – 2)² = a² - 2. a . 2 + 2² = a² - 4a + 4. b) (b + 3)² = b² + 2 . b . 3 + 3² = b² + 6b + 9. RESPOSTAS REVISANDO

x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r² MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência Para determinar a equação geral da circunferência, utilizaremos a equação reduzida da circunferência (x – a)² + (y – b)² = r² e resolveremos os produtos notáveis: quadrado da diferença de dois termos. (x – a)² + (y – b)² = r² Equação geral da circunferência. x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r² x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0

RESOLVA AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência RESOLVA AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. S1) Escreva a equação geral da circunferência, que tem centro C(-1, 2) e raio r = 3.

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência SOLUÇÃO S1) Vamos utilizar a equação reduzida e substituir o centro C(-1, 2) e o raio r = 3. Em seguida, vamos resolver os produtos notáveis. (x – a)² + (y – b)² = r² Equação geral da circunferência. (x – (-1))² + (y – 2)² = (3)² (x + 1)² + (y – 2)² = (3)² Conclusão: x² + y² + 2x – 4y+ 2 = 0 x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4 = 3 x² + y² + 2x – 4y+ 4 + 1 - 3 = 0

RESOLVA AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência RESOLVA AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. S2) A equação x² + y² - 6x + 8y + 5 = 0 representa uma circunferência. Determine as coordenadas do centro e o raio.

x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0 x² + y² - 6x + 8y + 5 = 0 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência SOLUÇÃO S2) Vamos comparar a equação da situação com a equação geral da circunferência. x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0 x² + y² - 6x + 8y + 5 = 0 a² + b² - r² = 5 (3)² + (-4)² - r² = 5 9 + 16 – r² = 5 r² = 20  r = 20=25 -2a = -6 . (-1) a = 3 -2b = 8  b = -4 Conclusão C(3, -4) e r = 25 .

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1º) Determine as coordenadas do centro C(a, b) e o raio r das circunferências de equação:   a) ( x – 5) ² + (y + 6) ² = 8 x ² + (y – 4) ² = 25 RESPOSTAS C(5, -6) e r = 8=22 C(0, 4) e r = 5

RESPOSTA (x – 2)² + (y – 5)² = 9 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2º) Determine a equação reduzida da circunferência de centro (2, 5) e raio igual a 3. RESPOSTA (x – 2)² + (y – 5)² = 9

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 3º) Escreva a equação geral da circunferência de centro C (-1, -2) e de raio 4. RESPOSTA x² + y² + 2x + 4y – 11 = 0

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 4º) Verifique entre os pontos A(-1, 3), B(-1, 2), C(-2, 3) e D(7, 2) quais pertencem à circunferência de equação (x – 3)² + (y + 1)² = 25. RESPOSTA B e D

MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 5º) Escreva a equação geral da circunferência, representada pelo gráfico a seguir. y RESPOSTA x² + y² - 64 = 0 x -8

PROBLEMAS DE VESTIBULARES MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência PROBLEMAS DE VESTIBULARES 1º) (FEI-SP) Quais são o centro e o raio da circunferência de equação x² + y² = 2(x – y) + 1? RESPOSTA C(1, -1) e r = 3

PROBLEMAS DE VESTIBULARES MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência PROBLEMAS DE VESTIBULARES 2º) (UFRS) A equação da circunferência de diâmetro AB , com A (3, 1) e B (1, -3), é: a) x2 + y2 + 4x – 2y – 15 = 0 b) x2 + y2 – 4x + 2y – 15 = 0 c) x2 + y2 – 4x + 2y = 0 d) x2 + y2 + 4x + 2y = 0 e) x2 + y2 – 2x + 4y = 0 RESPOSTA

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005. IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 3ª série, Ensino Médio. Atual, São Paulo, 2004. GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003. PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999.