Capítulo 15 CINEMÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS z Na translação de corpo rígido, todos os pontos do corpo tem a mesma velocidade e a mesma aceleração em um dado instante. A’ B q P f Considerando a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo, a posição do corpo é definida pelo ângulo q que a linha BP, traçada do eixo de rotação a um ponto P do corpo, forma com um r O x y A plano fixo. A intensidade da velocidade de P é ds dt . v = = rq sin f . onde q é a derivada temporal de q.

. ds v = = rq sin f dt dr v = = w x r dt . w = wk = qk z A’ A velocidade de P é expressa como B q dr dt P f v = = w x r r O x onde o vetor y A . w = wk = qk é orientado ao longo do eixo fixo de rotação e representa a velocidade angular do corpo.

. dr v = = w x r dt w = wk = qk a = a x r + w x (w x r) .. . z dr dt . A’ v = = w x r w = wk = qk B Representando por a a derivada dw/dt da velocidade angular, expressamos a aceleração de P como q P f r O x a = a x r + w x (w x r) y A Diferenciando w e lembrando que k é constante em intensidade e direção, encontramos . .. a = ak = wk = qk O vetor a representa a aceleração angular do corpo e é orientado ao longo do eixo de rotação fixo.

v = wk x r an= -w2 r an = rw2 at = ak x r at = ra y Considerando o movimento de uma placa localizada em um plano perpendicular ao eixo de rotação do corpo. Como velocidade angular é perpendicular à placa, então a velocidade do ponto P da placa é v = wk x r P O r x w = wk v = wk x r onde v esta contido no plano da placa. A aceleração do ponto P pode ser decomposta nas componentes normal e tangencial, iguais a, respectivamente y at = ak x r P an= -w2 r O x w = wk an= -w2 r an = rw2 a = ak at = ak x r at = ra

dq w = dt dw d2q a = = dt dt2 dw w = a dq A velocidade angular e a aceleração angular da placa podem ser expressas como dq dt w = dw dt d2q dt2 a = = ou dw dq w = a Dois casos particulares de rotação são frequentemente encontrados: rotação uniforme e rotação uniformemente acelerada. Problemas envolvendo um desses movimentos podem ser resolvidos usando equações similares àquelas para movimento retilíneo uniforme e uniformemente acelerado de uma partícula, onde x, v, e a são trocados por q, w, e a.

vB = vA + vB/A vA vA wk vB vA vB/A y’ wk vB (fixed) vA x’ A A A rB/A vB/A B B B Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A O movimento plano mais geral de uma placa rígida pode ser considerado como a soma de uma translação e de uma rotação. Pode-se considerar que a placa mostrada translada com o ponto A, enquanto gira simultaneamente em torno de A. Disso resulta que a velocidade de qualquer ponto B da placa pode ser expresso como vB = vA + vB/A onde vA é a velocidade de A e vB/A é velocidade relativa de B com relação a A.

vB/A = wk x rB/A vB/A = (rB/A )w = rw vA vA vB/A y’ wk vB (fixed) vA x’ vA vB A A A rB/A vB/A B B B Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A vB = vA + vB/A Representando por rB/A a posição de B relativa a A, notamos que vB/A = wk x rB/A vB/A = (rB/A )w = rw A equação fundamental que relaciona as velocidades absolutas dos pontos A e B e a velocidade relativa de B em relação a A pode ser expressa sob a forma de um diagrama vetorial e usada para resolver problemas envolvendo o movimento de vários tipos de mecanismos.

Outra abordagem para solução de problemas envolvendo as velocidades dos pontos de uma placa rígida em movimento plano é baseada na determinação do centro instantâneo de rotação C da placa. C C vB B vB A vA vA

aB = aA + aB/A aA aA aB/A aB (aB/A)n aA (aB/A)t y’ aA wk aA ak aB/A aB x’ A A A (aB/A)n aA (aB/A)t B B B Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A O fato de que qualquer movimento plano de uma placa rígida pode ser considerado como a soma de uma translação da placa com um ponto de referência A e de uma rotação em torno de A, é usada para relacionar as acelerações absolutas de dois ponto quaisquer A e B da placa e a aceleração relativa de B com relação a A. aB = aA + aB/A onde aB/A consiste de um componente normal (aB/A )n de intensidade rw2,orientado para A, e um componente tangencial (aB/A )t de intensidade ra, perpendicular à linha AB.

aB = aA + aB/A aA aA aB/A aB (aB/A)t (aB/A)n aA y’ aA wk aA ak aB/A aB x’ A A A (aB/A)t (aB/A)n aA B B B Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A aB = aA + aB/A A equação fundamental relacionando as acelerações absolutas dos pontos A e B e a aceleração relativa de B com relação a A pode ser expressa na forma de um diagrama vetorial, e usada para determinar as acelerações de determinados pontos de vários mecanismos. (aB/A)n (aB/A)t aA aB aB/A

aB = aA + aB/A aA aA aB/A aB (aB/A)t (aB/A)n aA y’ aA wk aA ak aB/A aB x’ A A A (aB/A)t (aB/A)n aA B B B Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A aB = aA + aB/A (aB/A)n (aB/A)t aA aB aB/A O centro instantâneo de rotação C não pode ser usado para a determinação de acelerações, pois o ponto C , em geral, não tem aceleração nula.

. . (Q)OXYZ = (Q)Oxyz + W x Q Y A taxa de variação de um vetor é a mesma em relação a um sistema de referência fixo e em relação a um sistema de referência em translação. A taxa de variação de um vetor em relação a um sistema de referência rotativo é diferente. A taxa de variação de um vetor Q y Q A j x i W O X k Z z em relação a um referencial fixo OXYZ e em relação a um referencial Oxyz girando com velocidade angular W é . . (Q)OXYZ = (Q)Oxyz + W x Q A primeira parte representa a taxa de variação de Q em relação ao sistema rotativo Oxyz e a segunda parte, W x Q, é induzida pela rotação do sistema de referência Oxyz.

. Y Considerando a análise bidimensional de uma partícula P movendo-se em relação a um sistema de referência F girando com velocidade angular W em torno de um eixo fixo. A velocidade absoluta de P pode ser expressa como vP/F = (r)Oxy vP’ = W x r P P’ y r x O X W vP = vP’ + vP/F onde vP = velocidade absoluta da partícula P vP’ = velocidade do ponto P’ do sistema de referência móvel F coincidente com P vP/F = velocidade de P relativa ao sistema de referência móvel F A mesma expressão para vP é obtida se o sistema de referência esta em translação em vez de rotação.

aP = aP’ + aP/F + ac . . Y vP/F = (r)Oxy Quando o sistema de referência esta em rotação, a expressão para a aceleração de P contem um termo adicional ac chamado aceleração complementar ou aceleração de Coriolis. vP’ = W x r P P’ y r x O X W aP = aP’ + aP/F + ac onde aP = aceleração absoluta da partícula P aP’ = aceleração do ponto P’ do sistema de referência móvel F coincidente com P aP/F = aceleração de P relativa ao sistema de referência móvel F . ac = 2W x (r)Oxy = 2W x vP/F = aceleração complementar, ou de Coriolis

aP = aP’ + aP/F + ac . . . Y vP/F = (r)Oxy vP’ = W x r aP = aceleração absoluta da partícula P P P’ y aP’ = aceleração do ponto P’ do sistema de referência móvel F coincidente com P r x O X aP/F = aceleração de P relativa ao sistema de referência móvel F W . . ac = 2W x (r)Oxy = 2W x vP/F Uma vez que W e vP/F são perpendiculares entre si no caso de movimento plano, a aceleração de Coriolis tem intensidade ac = 2WvP/F . Sua direção é obtida girando-se o vetor vP/F de 90o no sentido da rotação do sistema de referência móvel. A aceleração de Coriolis pode ser usada para analisar o movimento de mecanismos que contêm partes que deslizam umas sobre as outras.

dr v = = w x r dt a = a x r + w x (w x r) Em três dimensões, o deslocamento mais geral de um corpo rígido com um ponto fixo em O é equivalente a uma rotação do corpo em torno de um eixo passando por O. A velocidade angular w e eixo instantâneo de rotação do corpo em um dado instante pode ser definida. w a P r O A velocidade de um ponto P do corpo pôde novamente ser expressa como dr dt v = = w x r Diferenciando essa expressão, temos a aceleração a = a x r + w x (w x r) Como a direção w muda de um instante para outro, a aceleração angular a não é, em geral, dirigida ao longo do eixo instantâneo de rotação.

aB = aA + a x rB/A + w x (w x rB/A) Y’ O movimento mais geral de um corpo rígido no espaço é equivalente, em um instante qualquer, à soma de uma rotação e uma translação. Considerando duas partículas A e B de um corpo a w B Y rB/A A Z’ X’ vB = vA + vB/A rA O onde vB/A é a velocidade de B relativa ao sistema de referência AX’Y’Z’ ligado a A e de orientação fixa. Representando por rB/A X Z o vetor de posição de B em relação a A, escrevemos vB = vA + w x rB/A onde w é a velocidade angular do corpo no instante considerado. A aceleração de B é, por raciocínio semelhante aB = aA + aB/A aB = aA + a x rB/A + w x (w x rB/A) or

X Y Z x y z O i j k P W A r Considerando o movimento tri-dimensional de uma partícula P em relação a um sistema de referência Oxyz girando com velocidade angular W relativamente a um sistema de referência fixo OXYZ. A velocidade absoluta vP de P pode ser expressa por vP = vP’ + vP/F onde vP = velocidade absoluta da partícula P vP’ = velocidade do ponto P’ do sistema de referência móvel F coincidente com P vP/F = velocidade de P relativa ao sistema de referência móvel F

Y y P A aceleração absoluta aP de P é expressa por r A j x i W aP = aP’ + aP/F + ac O X k onde aP = aceleração absoluta da partícula P Z aP’ = aceleração do ponto P’ do sistema de referência móvel F coincidente com P z aP/F = aceleração de P relativa ao sistema de referência móvel F . ac = 2W x (r)Oxy = 2W x vP/F = aceleração de Coriolis A intensidade ac da aceleração de Coriolis não é igual a 2WvP/F exceto no caso especial quando W e vP/F são perpendiculares entre si.

vP = vP’ + vP/F aP = aP’ + aP/F + ac Y’ As equações y P rP/A x e A Y Z’ rP permanecem válidas quando o sistema de referência Axyz move-se de maneira conhecida, porem arbitrária, em relação ao sistema de referência fixo OXYZ, desde rA z O X Z que o movimento de A seja incluído nos termos de vP’ e aP’ representando a velocidade e aceleração absolutas do ponto coincidente P’. Sistemas de referência rotativos são particularmente úteis no estudo do movimento tridimensional de corpos rígidos.

Exercício Resolvido 15.1 SOLUÇÃO: Devido a ação do cabo, a velocidade tangencial e a aceleração de D são iguais a velocidade e a aceleração de C. Calcule a velocidade e a aceleração angular iniciais. Aplicar as relações para o movimento de rotação uniformemente acelerada para determinar a velocidade e a posição angular da polia após 2 s. O cabo C tem uma aceleração constante de 22,5 m/s2 e uma velocidade inicial de 30 m/s, ambas orientadas para direita. Determine (a) o número de revoluções da polia em 2 s, (b) a velocidade e a mudança de posição da carga B após 2 s, e (c) a aceleração do ponto D sobre o aro interno da polia em t = 0. Determinar as componentes de aceleração tangencial e normal iniciais de D.

SOLUÇÃO: A velocidade tangencial e a aceleração de D são iguais a velocidade e a aceleração de C. Aplicar as relações para o movimento de rotação uniformemente acelerada para determinar a velocidade e a posição angular da polia após 2 s.

Determinar as componentes de aceleração tangencial e normal iniciais de D. Intensidade e direção da aceleração total,

Exercício Resolvido 15.2 SOLUÇÃO: O deslocamento do centro A da engrenagem em uma revolução é igual ao perímetro da circunferência externa. Relacionar a translação e o deslocamento angular. Diferenciar para relacionar as velocidades linear e angular. A engrenagem dupla rola sobre a cremalheira inferior, estacionária; a velocidade de seu centro A é 1,2 m/s. Determine (a) a velocidade angular da engrenagem, e (b) as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem. A velocidade em qualquer ponto P na engrenagem pode ser escrita como Calcular as velocidades dos pontos B e D.

Para xA > 0 (desloca-se para direita) e SOLUÇÃO: O deslocamento do centro A da engrenagem em uma revolução é igual ao perímetro da circunferência externa. Para xA > 0 (desloca-se para direita) e w < 0 (gira em sentido horário) x y Diferenciar para relacionar as velocidades linear e angular.

A velocidade em qualquer ponto P na engrenagem A velocidade da cremalheira superior é igual a velocidade do ponto B: Velocidade do ponto D:

Exercício Resolvido 15.3 SOLUÇÃO: Determinar a velocidade absoluta do ponto D com A velocidade é obtida a partir da rotação da manivela. As direções da velocidade absoluta e da velocidade relativa são determinadas pela geometria do problema. A manivela AB tem velocidade angular horária constante de 2000 rpm. Para a posição mostrada, determine (a) a velocidade angular da barra de conexão BD, e (b) a velocidade do pistão P. As intensidades das velocidades podem ser determinadas a partir de um diagrama vetorial. A velocidade angular da barra de conexão é calculada a partir de

SOLUÇÃO: Determinar a velocidade absoluta do ponto D com A velocidade é obtida a partir da rotação da manivela. As direção da velocidade absoluta é horizontal, e a velocidade relativa é perpendicular a BD. Calcule a ângulo entre a horizontal e a barra de conexão pela lei dos senos.

As intensidades das velocidades podem ser determinadas a partir de um diagrama vetorial.

Exercício Resolvido 15.4 SOLUÇÃO: O ponto C esta em contato com a cremalheira inferior estacionaria e, instantaneamente, tem velocidade nula. Essa deve ser a localização do centro instantâneo de rotação. Determine a velocidade angular em torno de C baseada na velocidade dada em A. A engrenagem dupla rola sobre a cremalheira inferior, estacionária; a velocidade de seu centro A é 1,2 m/s. Determine (a) a velocidade angular da engrenagem, e (b) as velocidades da cremalheira superior R e do ponto D da engrenagem. Calcular as velocidades em B e D baseadas em suas rotações em torno de C.

SOLUÇÃO: O ponto C esta em contato com a cremalheira inferior estacionaria e, instantaneamente, tem velocidade nula. Essa deve ser a localização do centro instantâneo de rotação. Determine a velocidade angular em torno de C baseada na velocidade dada em A. Calcular as velocidades em B e D baseadas em suas rotações em torno de C.

Exercício Resolvido 15.5 SOLUÇÃO: Determine a velocidade em B a partir da rotação da manivela. As direções dos vetores de velocidade em B e D são conhecidas. O centro instantâneo de rotação esta na interseção das linhas perpendiculares aos vetores de velocidades B e D. A manivela AB tem velocidade angular horária constante de 2000 rpm. Para a posição mostrada, determine (a) a velocidade angular da barra de conexão BD, e (b) a velocidade do pistão P. Determine a velocidade angular em torno do centro de rotação baseado na velocidade em B. Calcular a velocidade em D baseada na rotação em torno do centro instantâneo de rotação.

SOLUÇÃO: Do problema resolvido 15.3, O centro instantâneo de rotação esta na interseção das linhas perpendiculares aos vetores de velocidades B e D. Determine a velocidade angular em torno do centro de rotação baseado na velocidade em B. Calcular a velocidade em D baseada na rotação em torno do centro instantâneo de rotação.

Exercício Resolvido 15.6 SOLUÇÃO: A expressão da posição da engrenagem como uma função de q é diferenciada duas vezes para definir a relação entre as acelerações de translação e angular. A aceleração de cada ponto na engrenagem é obtida pela soma da aceleração do centro da engrenagem e as acelerações relativas com relação ao centro. A ultima inclui as componentes normal e tangencial das acelerações. O centro da engrenagem dupla tem velocidade e aceleração para a direita de 1,2 m/s e 3 m/s2, respectivamente. A cremalheira inferior é estacionária. Determine (a) a aceleração angular da engrenagem, e (b) a aceleração dos pontos B, C, e D.

SOLUÇÃO: A expressão da posição da engrenagem como uma função de q é diferenciada duas vezes para definir a relação entre as acelerações de translação e angular.

A aceleração de cada ponto na engrenagem é obtida pela soma da aceleração do centro da engrenagem e as acelerações relativas com relação ao centro. A ultima inclui as componentes normal e tangencial das acelerações.

Exercício Resolvido 15.7 SOLUÇÃO: A aceleração angular da barra BD e a aceleração do ponto D serão determinadas a partir de A aceleração de B é determinada a partir da velocidade de rotação de AB. As direções das acelerações são determinadas a partir de geometria. A manivela AB tem velocidade angular horária constante de 2000 rpm. Para a posição mostrada, determine a aceleração angular da barra de conexão BD, e a aceleração do ponto D. As equações para aceleração do ponto D são resolvidas simultaneamente para aceleração de D e aceleração angular da barra de conexão.

SOLUÇÃO: A aceleração angular da barra BD e a aceleração do ponto D serão determinadas a partir de A aceleração de B é determinada a partir da velocidade de rotação de AB.

As direções das acelerações são determinadas a partir de geometria. Do problema resolvido 15.3, wBD = 62,0 rad/s, b = 13,95o. A direção de (aD/B)t é conhecida mas o sentido não,

As equações para aceleração do ponto D são resolvidas simultaneamente para aceleração de D e aceleração angular da barra de conexão. componente x: componente y:

Exercício Resolvido 15.8 SOLUÇÃO: As velocidades angulares são determinadas resolvendo simultaneamente as componentes da equação As acelerações angulares são determinadas resolvendo simultaneamente as componentes da equação Na posição mostrada, a manivela AB tem velocidade angular constante w1 = 20 rad/s no sentido anti-horário. Determine as velocidades e acelerações angulares da barra de conexão BD e da manivela DE.

SOLUÇÃO: As velocidades angulares são determinadas resolvendo simultaneamente as componentes da equação componente x: componente y:

As acelerações angulares são determinadas resolvendo simultaneamente as componentes da equação componente x: componente y:

Exercício Resolvido 15.9 SOLUÇÃO: A velocidade absoluta do ponto P pode ser escrita como A intensidade e direção da velocidade do pino P são calculadas a partir do raio e da velocidade angular do disco D. A direção da velocidade do ponto P’ em S coincidente com P é perpendicular ao raio OP. Disco D do mecanismo Geneva gira com velocidade angular constante de wD = 10 rad/s no sentido anti-horário. No instante em que f = 150o, determine (a) a velocidade angular do disco S, e (b) a velocidade do pino P relativa ao disco S. A direção da velocidade de P com relação a S é paralela à ranhura. Resolver o diagrama vetorial para a velocidade de S e a velocidade relativa de P.

A velocidade absoluta do ponto P pode ser escrita como SOLUÇÃO: A velocidade absoluta do ponto P pode ser escrita como A intensidade e direção da velocidade do pino P são calculadas a partir do raio e da velocidade angular do disco D. A direção da velocidade de P com relação a S é paralela à ranhura. Da lei dos co-senos, Da lei dos senos, O ângulo interior do diagrama vetorial é

A direção da velocidade do ponto P’ em S coincidente com P é perpendicular ao raio OP.

Exercício Resolvido 15.10 SOLUÇÃO: A aceleração absoluta do ponto P pode ser escrita como A velocidade angular instantânea do Disco S é determinada como no exercício resolvido 15.9. A única incógnita envolvida na equação da aceleração é a aceleração angular instantânea do Disco S. Disco D do mecanismo Geneva gira com velocidade angular constante de wD = 10 rad/s no sentido anti-horário. No instante em que f = 150o, determine a aceleração angular do disco S. Resolver cada termo da aceleração na componente paralela a ranhura. Calcular a aceleração angular do Disco S.

A aceleração absoluta do ponto P pode ser escrita como SOLUÇÃO: A aceleração absoluta do ponto P pode ser escrita como Do problema resolvido 15.9. Considerando cada termo na equação da aceleração, nota: aS pode ser positivo ou negativo

A direção da aceleração de Coriolis é obtida pela rotação da velocidade relativa de 90o no sentido de wS. A aceleração relativa deve ser paralela à ranhura. Equacionando os componentes da aceleração em termos perpendiculares à ranhura,

Exercício Resolvido 15.11 SOLUÇÃO: Com A velocidade angular da lança, O guindaste gira com velocidade angular constante de w1 = 0,30 rad/s e a lança esta sendo erguida com velocidade angular constante de w2 = 0,50 rad/s. O comprimento da lança é l = 12 m. A aceleração angular da lança, Determine: A velocidade angular da lança, A aceleração angular da lança, A velocidade da ponta da lança, e A aceleração da ponta da lança. A velocidade na ponta da lança, A aceleração na ponta da lança,

SOLUÇÃO: A velocidade angular da lança, A aceleração angular da lança, A velocidade na ponta da lança,

A aceleração na ponta da lança,